![](/user_photo/_userpic.png)
книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике
.pdfЛ е к ц и я 7
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ЛАМПЫ С БЕГУЩЕЙ ВОЛНОЙ ТИПА О
Линейная теория электронных волн, изложенная в 6-й лекции, справедлива при слабой модуляции электронного пучка по скорости и току. При сильной модуляции электронного пучка возникает ряд новых явлений: 1) изменение средней скорости электронов; 2) об гон одних электронов другими, формирование сгустков, их дефор мация и движение относительно поля синхронной волны; 3) по
явление |
высших |
гармоник; тока |
и поля пространственного за |
ряда на |
частотах |
2си, З о , ...; 4) |
расслоение электронного пучка |
в результате неравномерной модуляции пучка по сечению, вызван ной неравномерностью поля медленной волны и поля пространст венного заряда; 5) остановка и поворот электронов; 6) поперечные движения электронов под действием сверхвысокочастотных полей замедляющей системы и пространственного заряда.
Наиболее важно учесть изменение средней скорости электронов, обгон и появление высших гармоник, поскольку эти эффекты су щественны уже при средних мощностях и небольших к. п. д. По ворот электронов возможен только при больших значениях к. п. д . (превышающих 60%), которые в настоящее время практически не достигнуты, а поперечные движения, приводящие к оседанию элект ронов на поверхность замедляющей системы, появляются, как правило, в тех случаях, когда фокусирующие поля недостаточно сильны.
В данной лекции мы изложим нелинейную теорию лампы с бегущей волной, учитывая лишь три первых (наиболее важных) явления из шести перечисленных выше. Несмотря на ограниченность этой тео рии, получаемые таким образом результаты существенно дополняют результаты линейной теории, в рамках которой нельзя рассмотреть ни энергетических превращений, ни фазировки при конечных ам плитудах сверхвысокочастотного поля.
а. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
|
|
Уравнение движения берем в виде |
|
|
^r=—Ez, |
(7.01) |
|
dt |
т |
|
где v = щ — скорость электрона (точнее, средняя скорость данного поперечного сечения электронного пучка), а
Ez = Ez{t, 2) = |
§Et$dS |
|
Se |
— усредненная (по сечению пучка) продольная составляющая элект рического поля; при этом предполагаем, что функция гр (х, у), соот-
150
ветствующая нарастающей волне в линейной теории, вещественна.
Обобщение на случай комплексных of> |
возможно, но ведет к излишним |
||
усложнениям. В предыдущей лекции |
через Ег |
и Ег |
мы обозначали |
комплексные амплитуды, теперь же — сами |
физические величины. |
||
В уравнении (7.01) независимыми переменными являются теку |
|||
щее время t и начальное время t0 — момент появления |
рассматривае |
мого сечения электронного пучка в начале пространства взаимодейст вия. При таком выборе переменных мы фактически следим за движе нием каждого сечения электронного пучка вдоль лампы. Однако рас сматривать z как функцию t и t0 неудобно, так как при расчете воз буждения поля в волноводе координата z является независимой пере менной. Брать в качестве независимых переменных г и /также неудоб
но, |
поскольку при этом |
|
учет |
обгона |
становится весьма |
громоздким |
|||||
(см. |
1-ю лекцию и задачу |
3 к ней). Поэтому в качестве |
независимых |
||||||||
переменных мы берем z |
и t0, |
полагая |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
t = t(z,t0) |
(7.02) |
|||||||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
дН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dv |
|
дг2 |
,п |
п |
о |
ч |
|
|
° |
— * - |
|
|
|
|
( 7 |
- 0 |
3 |
) |
|
|
|
|
дг |
|
|
|
|
|
|
|
|
так |
что уравнение (7.01) |
принимает вид |
|
|
|
|
|||||
|
__дЧ_ |
і dt V |
|
е |
(7.04) |
||||||
|
|
дг2 |
дг J |
|
±- Ег |
||||||
или |
|
|
|
т |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д / |
mv2\ |
|
|
тг |
|
|
|
|
|
|
|
— |
2 |
= еЕ,. |
|
|
|
|
||
|
|
|
dz \ |
|
|
|
|
|
|
|
При таком описании движения электронов их скорость при обгоне остается однозначной функцией г и многозначность появляется только при повороте электронов. Рассматривая лампы, в которых поворота нет, берем уравнение движения (7.04). Функцию соt = соt (г, t0)— текущую фазу электрона — мы представляем в виде
a>f = <B/# + |
fc.z-t-(£,/„) |
( h e = ^ > |
Є = е М |
) , |
( 7 - 0 5 ) |
где Ф — возмущение, |
вызываемое |
полем Ег. |
Ввиду |
малости сил, |
действующих на электрон, т. е. малости параметра усиления є (є^0,2), т> является медленно меняющейся функцией координаты, т. е. зависит не от z, а от £ = %hez. Целесообразность введения медленно меняющей
ся безразмерной координаты £ видна из линейной |
теории электрон |
ных волн, в которой каждая электронная волна |
характеризуется |
зависимостью |
|
е / ( Л г - ш О = e * [ A e ( I + en)z - caf] = &i (he г-со^ + пЕ) <
так что влияние поля Ez приводит к появлению слагаемого т]£ в экс поненте. Надо иметь в виду, что хотя т> меняется медленно, но в нели нейных режимах достигает конечных значений (при конечных и
больших |
£). |
|
|
|
Закон |
сохранения заряда |
в |
выбранных переменных z, t0 |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
J0dt0 |
= |
J(t,z)\dt\, |
(7.06) |
где dt0 > 0 есть промежуток времени, за который через начальное сечение лампы z = 0 проходят электроны, пересекающие сечение z > 0 за промежуток времени | dt | (абсолютная величина пишется,
поскольку может быть | т - < 0 и dt < 0). Существенно, что в левую часть этого соотношения входит эффективный постоянный ток пучка JQ — ^е т-> а не его полный ток J Е . Это объясняется тем, что в резуль-
тате усреднения по поперечному сечению реальный электронный пучок как бы заменяется эквивалентным пучком с площадью поперечного сечения S, причем плотность постоянного тока в обоих пучках одинакова:
Je |
Jо |
s e ~ |
s ' |
В эквивалентном пучке с током J 0 |
на все электроны данного попереч |
ного сечения действует одно и то же поле Е Г , это соответствует тому, что в реальном пучке группируется только часть электронов, которой соответствует эффективный ток J 0 (| J01 < ; I J E I). Отношение S / S E вхо дит в выражения для параметра усиления и полного сопротивления связи (см. задачу 5 к 6-й лекции), и чтобы получить линейную теорию, изложенную в 6-й лекции, в формуле (7.06) надо брать именно / 0 .
Используя соотношение (7.06), можно получить выражение для гармоник тока. Ввиду сильной группировки электронов ток пучка в нелинейном режиме при периодическом сигнале может быть записан как ряд Фурье, т. е. как суперпозиция временных гармоник. Для наших целей этот ряд удобно представить в виде
оо |
|
J(t, z) = J0 + Re 2 ; л ( г ) е - « , |
(7.07) |
п= 1 |
|
Учитывая формулы (7.05) и (7.06), для коэффициентов Фурье |
Jn (z) |
|||
получаем |
следующее |
выражение: |
|
|
|
|
|
2я |
|
|
Jn |
(z) = — |
f J (t, z) e<-™< d {at) = J0 In (£) e'»*e 2 , |
(7.08) |
где |
|
2я |
|
|
|
|
|
|
|
/ n(S) |
= |
-H- J e " ' " « . » . ) d « 0 , u ( £ , « 0 ) = « o + * ( C , a «o = ^ o - |
( 7 - 0 9 ) |
0
Чтобы получить замкнутую систему уравнений, надо еще найти Ez. По аналогии с линейной теорией мы полагаем
|
Ez=Re |
І |
ё п ( г ) е - ^ ~ ~ , |
(7.10) |
где ёп |
(z) — поле синхронной волны на п-й гармонике, а Ф = |
Ф (t, z) — |
||
— усредненный по сечению |
потенциал пространственного заряда. |
|||
Поле |
пространственного |
заряда — ^ также обусловлено всеми гар |
||
мониками тока, однако здесь |
мы не будем разлагать его в ряд Фурье, |
так как этот ряд при сильной группировке электронного пучка сходит
ся медленно в противоположность ряду для синхронных |
волн, кото |
||||
рый обычно сводится к первому члену |
(п = 1), и лишь в исключи |
||||
тельных |
случаях приходится |
учитывать |
синхронное |
взаимодействие |
|
на 2-й или 3-й гармонике. |
|
|
от z |
|
|
Поскольку в нелинейном |
режиме соп (г) зависит |
уже не по |
|||
простому |
экспоненциальному |
закону, мы вместо простого |
выражения |
2{hn — hs, п)
справедливого при
|
|
|
|
К (г) = К |
(0) e'"»г , |
Jn (z) = Jn (0) eihn |
\ |
|
|||
должны |
взять |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Щ?-іКпК=-Щ*-к, |
|
|
(7-п) |
||||
|
hs n |
|
dz |
|
|
|
2 |
|
п-й гармонике, |
||
где |
— волновое число |
синхронной волны |
на |
||||||||
R s,n |
— соответствующее |
сопротивление |
связи. |
Определяя |
є так же |
||||||
как |
в |
линейной теории |
при п = |
1 (на |
основной частоте), |
полагаем |
|||||
|
|
|
|
- i - g„(z) =weJFn{t>)zinheZ |
|
|
|
(7.12) |
|||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
и вводим обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Ав ,п = м Л в ( 1 + в У , |
Xn = |
i P - ' |
X i = l . |
(7-13) |
|||
Тогда |
уравнение (7.11) |
можно переписать в безразмерном виде |
|||||||||
|
|
|
|
^^inlnFn=-XnIn. |
|
|
|
|
(7.14) |
||
|
Уравнение |
движения в безразмерной форме |
|
|
|||||||
|
|
|
|
= 1 + 8 |
| |
^ e 2 ^ ( Q e - - » + |
fj |
(7.15) |
содержит еще безразмерное поле f |
|
пространственного заряда, |
кото |
||||||
рое определяется соотношением |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
_ _ ! _ ^ = Ю У е Б 2 ^ ) |
|
(7.16) |
||||
аналогичным |
соотношению |
(7.12). |
|
|
|
|
|||
Наиболее серьезные аппроксимации приходится делать, вычисляя |
|||||||||
§ . В нелинейном режиме формулу |
(6.08) |
следует модифицировать |
|||||||
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
0(t,z)= |
j |
G(z~~z)P{t, |
z)dz, |
(7.17) |
||
|
|
|
|
— |
оо |
|
|
|
|
где P |
= |
P (t, |
z) —линейная |
плотность заряда, связанная с |
током |
||||
J == |
J |
(t, z) |
законом сохранения |
заряда |
|
|
|||
|
|
|
|
І |
£ + |
^ |
= 0. |
|
(7.18) |
|
|
|
|
ct |
dz |
|
|
|
Отметим, что по формуле (7.17) для немодулированного однород
ного пучка (Р = const) получается Ф = const и ^5 = 0. Фактически
в этом случае продольное электростатическое поле может существо вать лишь вблизи концов лампы, на расстояниях порядка с от них (см. ниже). Если перейти к переменным г и t0, то закон сохранения заряда можно представить в виде
Pdz = J\dt \ = J0dt0, |
(7.19) |
где dtQ — тот промежуток времени, за который через начальное сече ние лампы прошли электроны, образовавшие в момент t заряд Pdz на отрезке (z, z + dz).
В формуле (7.17) величины Ф и Р берутся в один и тот же момент времени t (в квазистатическом поле запаздывания нет) и интегриро вание ведется по координатам электронов z в тот же момент. Обозначая через t0 время влета в систему электрона, находящегося в момент t в сечении z, имеем
z = z { t , 7о) |
(7.20) |
и в формуле (7.17) можем перейти от интегрирования по г к интегри рованию по t0 с помощью закона сохранения заряда (7.19); получаем
оо
ф(г, z) = J0 |
j G(z~z)d70. |
(7.21) |
— |
оо |
|
Если закон движения электронов (7.20) известен, то интеграл (7.21) можно найти численно или даже аналитически при достаточно простых функциях G и z (t, t0). Однако при численном интегрировании нелинейных уравнений Л Б В мы сталкиваемся со следующей прин-
154
ципиальной трудностью. Она связана с вычислением интеграла (7.21)
вусловиях, когда независимой переменной является z (или Q,
вследствие чего нам известны положения электронов лишь слева от
z (z<2), а справа от z(z>z)функция |
(7.20) неизвестна. Чтобы обойти |
эту трудность, учтем, что вследствие быстрого убывания G (z — z)
с |
увеличением | z—z \ |
(см. задачу |
б к 5-й лекции) |
интеграл (7.21) |
по |
существу ограничен |
интервалом |
|
|
|
|
\z~z\^a, |
|
(7.22) |
где а — радиус действия сил пространственного заряда (по порядку величины равный радиусу замедляющей системы или радиусу пучка). Поэтому при вычислении интеграла (7.21) следует экстраполировать функцию (7.20) для значений z > z. В случае рассматриваемых одно родных ламп это делается довольно просто: для значений z < z, удовлетворяющих условию (7.22), выводится интерполяционная фор мула, приближенно отображающая движение электронов, а затем она же используется для экстраполяции.
Безразмерную силу f, определяемую соотношениями (7.16) и (7.17), можно представить в виде
оо
— сю
где
|
|
E ( f t e |
2 ) = - 4 " ^ Г |
1 - |
|
|
<7-24) |
|||
|
|
|
|
|
4л |
dz |
|
|
|
|
В соответствии с формулами |
(7.02), (7.05), (7.09) и (7.20) полагаем |
|||||||||
|
и = и(£, |
и0)= |
«<, + |
#(£, /0 ), |
«0 = ^ 0 , |
|
(7.25) |
|||
|
и = и(Х, «o) = «o + lEK?> ?о). |
«о = со70, |
|
|||||||
причем |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.26) |
|
|
|
cctf =hez |
+ ы(£, «o) = hez |
-\-uiX, "о)> |
|
|||||
поскольку при вычислении Ф и f |
координаты частиц берутся в один |
|||||||||
и тот же момент |
t. Предполагая, |
что выполняется условие |
|
|
||||||
|
|
|
|
е / г е а « 1 , |
|
|
|
|
(7.27) |
|
можно |
написать |
разложение |
|
|
|
|
|
|
|
|
he{z~~z) = и— и == u{l,~uQ) — и {I, |
«„)—^~ |
(£, и0)(і,—£) |
+ |
..., |
||||||
в котором |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I—X |
= &K(z— |
z) = є [и (£, «о) — и(І, |
и0)]— |
е,~ІІ,и0)ІЛ— |
ї)+ |
... |
так что с погрешностью порядка є2 имеем |
|
|
he (z—7) = [и (£, н0 ) — и (£, и0)] |
ди |
/f. — ч |
є — |
(ъ, "о) |
|
|
Е (he (z—г)) |
= Е (и (С, «о) — и (I, щ)) |
|
(7.28) |
||||||
|
|
+ |
ЄЕІ (И (Б, и0) — ц (£, и0)) |
(С, и0), |
|
|
|||||
где* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.29) |
|
|
|
|
Ех (%) = — х Е ' (x) = zG (z), |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
причем последнее выражение следует из формул |
(6.61) и (7.24). |
||||||||||
|
В силу |
периодичности |
процессов |
|
|
|
|
|
|||
и (I, и0 + 2лк) = и (Г, и0) + 2nk, |
^ - ( £ , ы 0 + 2 я Л ) |
= |
^r(lu0), |
(7.30) |
|||||||
|
|
|
k=-hl, |
|
±2 |
|
|
|
|
|
|
и поэтому, разбивая бесконечный интеграл (7.23) |
на ряд интегралов |
||||||||||
по |
интервалу 2п, |
получаем |
для f |
следующее |
выражение: |
|
|||||
|
|
|
|
2я _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0> |
(7.31) |
где |
поды уже понимается |
и(£,ы0 ), |
а не ы(£, |
и0), |
как |
раньше, |
|||||
а функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
D(x)= |
2 |
Е(х + 2л&), |
£>-(*)= |
2 |
ЕІ(Х + 2ЯЙ) |
(7.32) |
||||
|
|
А = — о о |
|
|
|
k——оо |
|
|
|
|
учитывают суммарное квазистатическое поле электронов в виде ин
теграла по одному периоду колебаний. При этом функция |
D дает |
поле электронов, движущихся равномерно со скоростью ve, |
а функ |
ция Di определяет поправку к этому полю, вызванную модуляцией скорости, поскольку согласно формулам (7.03) и (7.05)
1 |
да |
|
|
1 -г- є ди |
|
Вероятно, в некоторых случаях (например, для периодической фоку сировки) использованная выше экстраполяция движения является недостаточной, однако рассмотрение относящихся сюда вопросов завело бы нас слишком далеко.
* Разложение |
(7.28) для Е {he{z — г)) можно |
применять и в широких |
элект |
|||||||
ронных пучках, когда не выполняется |
условие |
(7.27) и первая |
формула |
(7.28) |
||||||
дает значительную |
погрешность. Это объясняется тем, что в широких |
пучках |
||||||||
функция |
Е (сила взаимодействия |
между |
сечениями) |
изменяется |
с |
расстоянием |
||||
медленно |
и |
погрешность в силе |
гораздо меньше |
погрешности |
в |
расстоянии |
||||
(см. задачу |
13). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Выше |
мы получили уравнения (7.14) |
и (7.15), которые |
вместе |
с формулой |
(7.09) для /„ и формулой (7.31) |
для f дают систему |
урав |
нений нелинейной теории лампы с бегущей волной, основанную на предположении о том, что каждое сечение электронного пучка дви
жется как единое целое под действием |
усредненных (по |
сечению) |
сил, т. е. на пренебрежении расслоением |
пучка, вызываемым |
неравно |
мерностью продольных электрических полей синхронной волны и
пространственного |
заряда. |
К |
этому |
предположению |
мы вернемся |
в самом конце лекции, сейчас же отметим следующие |
обстоятельства. |
||||
Во-первых, при условии |
|
|
|
|
|
|
| 0 | |
= |ы — ы 0 |
| < 1 |
(7.33) |
|
выведенные выше |
уравнения |
линеаризуются, и мы |
возвращаемся |
к линейной теории, развитой в предыдущей лекции (см. задачу 1). Это в какой-то мере является проверкой полученных нелинейных уравнений и, кроме того, вселяет надежду на то, что не слишком боль шие изменения функции г|) (х, у) в нелинейном режиме будут, как и в линейном режиме, слабо влиять на характеристики лампы. Вовторых, функции D (х) и Dx (х) в ряде случаев (см. задачи 2—4) на ходятся в виде сравнительно простых выражений, так что вычисление интеграла в формуле (7.31) не представляет принципиальных труд ностей. В-третьих, использованное нами выражение для сил прост ранственного заряда в сущности пригодно лишь для бесконечно длин
ной лампы, что особенно |
видно |
из формул |
(7.21) и (7.23), в |
кото |
||
рых интегрирование производится |
в пределах |
— |
оо < ; z < |
со. |
Это |
|
значит, что на расстояниях |
порядка а (а—радиус |
действия |
сил про |
странственного заряда) от входа и выхода лампы, а также от любой неоднородности, например от начала и конца поглощающей секции, выведенные выше нелинейные уравнения, как впрочем и линейные, не применимы. Однако на таких расстояниях в силу условия (7.27) по существу ничего не успевает произойти: как поле, так и пучок из меняются незначительно. Поэтому все уравнения можно применять на всей длине лампы, в том числе на концевых и переходных участках.
б. Ф А З И Р О В К А В СЛАБЫХ И СИЛЬНЫХ ПОЛЯХ
Сформулированные выше нелинейные уравнения нельзя решить точно; для их решения используются обычно методы числен ного интегрирования или же приближенные аналитические методы; некоторые из них рассмотрены в приложении V I I . Физический анализ нелинейных режимов облегчается, если использовать общие свойства уравнений и, в частности, учесть наличие трех законов сохранения (см. приложение V I ) .
Чтобы избежать громоздких выкладок, мы не будем применять здесь законов сохранения и ограничимся качественным анализом процессов. Прежде всего, дополним уравнения начальными условиями. Обычно на вход лампы поступает невозмущенный пучок и некоторый
сигнал, который мы считаем периодической функцией t с основной частотой со, и начальные условия имеют вид
« = «„, |
— = О, Fn |
= An |
при £ = 0. |
(7.51) |
Они соответствуют |
упрощенной |
модели |
Л Б В — бесконечной |
замед |
ляющей линии с полубесконечным электронным пучком (рис! 7.1). Начальный сигнал в данной модели можно представлять как волну, набегающую слева на сечение £ = 0. Те же уравнения и начальные
условия справедливы и для конечного электронного пучка (0 < |
£0 , |
см. рис. 7.2) в бесконечной замедляющей линии. Вместо бесконечной линии можно, разумеется, взять конечный отрезок линии, полностью согласованный на обоих концах.
|
|
г |
|
і,-о |
|
Рис. 7.1. Первая модель лам |
Р и с 7.2. Вторая |
модель лам |
пы с бегущей волной. |
пы с бегущей |
волной. |
Нелинейные уравнения с начальными условиями (7.51) неодно кратно решались на вычислительных машинах. О полученных таким образом результатах мы будем говорить ниже, сейчас же рассмотрим механизм фазировки в слабых и сильных полях, имея в виду наиболее важный случай, когда на вход лампы подается слабый сигнал, который усиливается лампой до такой амплитуды, при которой вблизи выход ного конца лампы создается существенно нелинейный режим. Рас смотрение механизма фазировки проведем в наиболее простом случае малых є, пренебрегая не только слагаемыми порядка є2 , но даже и порядка е, и кроме того, будем считать, что синхронизм имеется лишь на основной частоте (я = 1). Тогда уравнение движения (7.15) можно переписать в следующем простом виде:
д 2 |
м _ |
dV |
(7 52) |
dt,2 |
3ди•' |
|
|
где функцию |
|
|
(7.53) |
V = V(u, |
l) = Vs + Vc |
||
можно назвать безразмерной |
потенциальной энергией |
электронов |
впеременном поле, являющейся суммой Vs — потенциальной энергии
вполе синхронной волны и Vc — потенциальной энергии в поле про
странственного заряда. Функция |
Vs |
равна |
|
Vs = Re (iFe-lu) |
= |
I F I sin (u — a), |
(7.54) |
где |
|
|
|
F1 = F = \F\ela, |
(7.55) |
а функция Vc определяется выражением |
|
|
|
|
|
||||
|
|
(S)2 |
I Д ( " - » ) ^ о , |
|
(7.56) |
||||
где |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A W J £ |
S |
o ( ^ f ) , |
* |
W |
- |
~ |
^ . |
(7,7 ) |
|
Какой смысл потенциальных энергий |
V s и |
Ус? Чтобы |
это понять, |
||||||
вспомним, что согласно |
формулам (7.05) |
и (7.09) |
имеем |
|
|||||
и = ы(0 + ® = at—hez= |
—he(z |
— |
vet), |
|
|||||
так что — и есть |
безразмерная |
координата |
в |
системе, |
движущейся |
||||
со скоростью ve. В этой системе |
как синхронные |
волны, так и поле |
|||||||
пространственного |
заряда меняются медленно — тем медленнее, чем |
||||||||
меньше параметр е. Действительно, Vs |
и Vc являются периодическими |
||||||||
функциями от и и, кроме того, зависят |
лишь |
от переменной £ = ehez, |
которая заметно изменяется лишь на протяжении многих периодов по и.
Иначе говоря, |
в лабораторной |
системе |
координат |
и — фаза |
||
(т. е. безразмерное |
время), |
£ — координата, |
а в системе |
координат, |
||
движущейся со скоростью ve, |
и — координата, а £ — время |
(медленно |
||||
меняющееся); последнее сразу видно |
из уравнения движения |
(7.52), |
||||
и это позволяет ввести потенциальные энергии, зависящие |
от и и |
£; в частности, согласно формулам (7.56) и (7.57) Vc складывается из потенциальных энергий взаимодействия данного сечения со всеми
остальными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перепишем |
теперь |
комплексное |
уравнение |
|
|
||
|
|
£-ltF=-I, |
|
(F = Flt |
/ = /-, £ = У , |
(7.58) |
||
т. е. уравнение |
(7.14) |
при п = 1, в виде двух |
вещественных |
урав |
||||
нений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- J — i - = — | / | C O S ( M * — a), |
|
|
|||
|
|
|
d £ |
|
|
|
(7.59) |
|
|
|
|
l) \ F \ ^ ~ К I sin (ы, — a), |
|
||||
где для простоты параметр |
£ считаем вещественным и представляем / |
|||||||
в |
виде |
|
|
|
/ = | / | е ' в - . |
|
(7.60) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Легко видеть, что фаза |
определяет центр сгущения электронов |
||||||
в |
движущейся |
системе |
координат, а |
абсолютная величина [ /1 дает |
||||
меру этого сгущения. Так, если все электроны |
собраны при и = и*, |
|||||||
то |
| / | = 2 , |
при | /1 < |
2 их фазы имеют некоторый разброс, |
а при |
||||
ы = ы0 -f- ft |
и |
| # | < с ( 1 |
ток мал, | /1 ~ | ft | (см. задачу 7). В правую • |
|||||
часть уравнений |
(7.59) |
входит |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Ф = ы*— a |
|
(7.61) |
1 59