книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике
.pdfпространство взаимодействия электронным пучком. Только учет неизохронности привел к открытию нового механизма фазировки и
новых возможностей |
в сверхвысокочастотной |
электронике. |
||
Как можно показать (см. задачу |
6), релятивистская |
поправка |
||
к частоте обращения |
в корне изменяет |
характер |
движения |
электрона |
в переменном поле, частота которого близка к циклотронной. Это видно уже из того, что релятивистская поправка делает уравнение движения нелинейным, вследствие чего нарушается принцип суперпо зиции и движение под действием переменного поля не просто склады вается с движением, обусловленным начальными условиями, а зависит от последних. Благодаря этому становится возможной фазировка и электроны могут отдавать свою кинетическую энергию электромагнит ному полю в резонаторе. Это можно показать разными путями, в ча стности, ниже будет выведено характеристическое уравнение, свиде тельствующее о наличии нарастающих колебаний, и приведены числен ные результаты, показывающие, какая часть начальной кинетической энергии электронов превращается в энергию сверхвысокочастотного поля.
В приложении IX тот же вопрос исследуется с более общей точки зрения; там показано, что совокупность нелинейных (или, что то же, неизохронных) осцилляторов, частота колебаний которых зависит от энергии, является в определенном интервале частот активной средой, способной поддерживать генерацию или усиление.
Отметим, что мы рассматривали движение электронов в однород ном переменном поле. Это значит, что в пределах данного электрон ного потока поле собственного колебания должно быть однородным, в частности, для кольцевого потока это колебание должно обладать аксиальной симметрией или иметь вид вращающейся волны (бегущей в азимутальном направлении). В противном случае возникают те же осложнения, что и в приборах типа О с толстым пучком: в нелинейном режиме пучок расслаивается (см. начало 7-й лекции), т. е. степень модуляции и положение сгустков относительно фазы поля в разных слоях разные в зависимости от напряженности сверхвысокочастотного поля, действующего на электроны данного слоя.
На практике расслоение в той или иной степени возникает, осо бенно в мощных приборах с плотными и широкими пучками, однако его учет сильно усложняет теорию; поэтому в дальнейшем мы рас слоения учитывать не будем.
б. УСРЕДНЕННОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ
При нестационарных колебаниях резонансное электриче ское поле в резонаторе согласно 2-й лекции можно записать в виде
E(0 = Re(C r E,e - <»') . |
(8.51) |
где комплексный коэффициент Ст есть медленно меняющаяся функция времени, удовлетворяющая уравнению (2.17). Для наших целей удоб
но вместо выражения (8.51) |
взять выражение |
|
E(0 |
= Re(Cr EI .e-'°0, |
(8.52) |
-заменяя со на циклотронную частоту Q, мало от нее отличающуюся; тогда вместо уравнения (2.16) получим уравнение
_ ^ |
+ i - ( Q _ C u r ) C r = J - |
{iEre^dV, |
(8.53) |
dt |
Nr |
J |
|
в правую часть которого входит плотность тока j (t). Продольная -составляющая плотности тока равна pve (р — плотность заряда), •если пренебречь модуляцией продольной скорости. Это законно, если колебание в резонаторе не имеет составляющей Ez, но даже если она есть, то ее нерезонансным воздействием на продольную скорость обычно можно прене бречь.
Вычислим правую часть (8.53), считая колебания стационарными (см. 2-ю лекцию). Образуем комплексные величины
|
|
|
IE г, У |
(8.54) |
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
j Er = Re (/£*) + pve Er, z |
= -~ |
(jE* + j*E) + |
|
|
||
|
-pveEr, |
|
|
(8.55) |
Рис. 8.4. Винтовой пу |
|
т*де Ег, |
г — продольная |
составляющая |
векто |
чок конечной |
толщины, |
|
создаваемый |
круговым |
|||||
ра Е г . |
Составляющие j |
x и |
j y обусловлены |
эмиттирующим |
пояском. |
|
поперечным движением |
электронов. |
|
|
|
||
В дальнейшем для простоты ограничимся рассмотрением электрон ного кольца в резонаторе (см. рис. 8.4). В этом случае невозмущенный пучок состоит из совокупности электронов, движущихся по круго вым орбитам с начальными углами ср0, равномерно распределенными ло окружности ( 0 < ер о < 2 я ) ; орбиты заполняют кольцевую область. Комплексные величины z и р, характеризующие движение электронов, зависят от времени t и начального угла ср0.
Наряду с усреднением по времени t в правой части (8.53) при интегрировании по электронному кольцу производится также усред
нение |
по углу |
ф 0 ; последнее будем обозначать |
волнистой чертой, так |
|
что, |
например, |
|
|
|
|
|
|
_1_ 2л |
(8.56) |
|
|
|
zdq>0. |
|
|
|
|
2л |
|
Поскольку мы считаем вектор Е г и комплексные величины Е и Е* |
||||
постоянными |
в пределах |
сечения пучка (из-за того, что величина | f> \ |
||
мала |
и пучок |
достаточно |
тонок, см. рис. 8.4), |
то при интегрировании |
по кольцу эти величины можно вынести |
за знак интеграла. Учитывая |
соотношение = pz и считая плотность |
электронного заряда р в пре |
делах пучка постоянной, приходим к выражениям
(8.57)
181
где
q =\pdV |
(8.58) |
есть полный заряд в пространстве взаимодействия, являющийся важной константой прибора. Таким образом, по формуле (8.55) получаем
\\ErdV = q Д 2- (е*Т+ ЕГ) + Ег, г ve) , |
(8.59) |
причем согласно второй формуле (8.06) мы имеем
Т = — іО]Ге- <°', F = /Q pV°<.
Будем также для простоты считать, что в продольном направлении поле Е г не изменяется, по крайней мере в пределах перемещения электронного кольца. Тогда, умножая обе части (8.59) на е ' й / и усред няя по t, получаем
j j l ^ o * dV = l- QqE* p\ |
(8.60) |
так как вектор E r от времени не зависит.Таким образом, при расчете возбуждения поля в резонаторе мы произвели усреднение по двум переменным: по t (за время 2nlQ\ величина р\ входящая в формулу (8.60), уже является усредненной) и по <р„. Если бы рассматривался непрерывный электронный поток, как в гиромонотроне, то прибави лась бы еще одна переменная (момент t0, в который данное сечение пучка входит в пространство взаимодействия).
Прежде чем выписать полную систему уравнений, надо учесть соотношения
Fx = -l-Ex = |
-±-Re(C,Er,xe-™), |
тт
|
Fy = — Ey = — Re (Cr Е„ у е - «"), |
|
|
( 8 - 6 1 > |
|||||
|
|
|
|
||||||
вытекающие из |
формулы |
(8.52). Комплексное ускорение |
F = Fх +• |
||||||
+ IF у получаем |
в виде (8.17), причем |
|
|
|
|
||||
|
|
f+ = |
_ L c r £ , F~= — C*E\ |
|
|
(8.62) |
|||
|
|
|
2т |
|
2 т |
|
|
|
|
так что уравнение |
(8.53) есть в сущности уравнение для |
F+ и |
может |
||||||
быть записано |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F+ + i(®r—Q)P |
= -^-Q«>2qf, |
|
|
(8.63) |
|||
где учтено соотношение |
(8.61) и |
введено |
сокращенное |
обозначение |
|||||
|
ш , = _ * ! £ ] • . = |
4 « * , |
у |
|
|
|
( 8 > 6 4 ) |
||
|
q |
mNT |
mVr |
r |
I £ I2 |
|
|
|
|
причем мы использовали |
для Nr выражение (2.54). В формуле |
(8.64) |
|||||||
| Е \% = | Ег, х |2 |
+ |
| Ег> у\2 |
— квадрат поля, |
действующего |
на |
элект- |
|||
182
роны, интегрирование производится по' всему объему резонатора, так что Vr есть некоторый объем, юд — плазменная частота, соот ветствующая некоторой условной плотности qlVr.
Уравнение (8.63) вместе со вторым уравнением (8.16) образует полную систему самосогласованных уравнений, позволяющую рас считывать колебания в данной системе. Еще раз отметим, что при выводе этих уравнений мы дважды производили усреднение — как при анализе движения электронов, так и при анализе возбуждения резонатора, причем в обоих случаях физический смысл усреднения •был достаточно ясен. Впрочем, в теории магнетрона усреднение также производится дважды, а именно пользуются усредненными уравнениями движения и применяют усреднение при выводе формулы (3.56) и аналогичных ей.
Некоторое упрощение достигается введением безразмерных ве личин. Введем медленно меняющееся время £ = є Ш , аналогичное переменной £ в теории Л Б В [см. формулу (7.05) и след. ] и по аналогии
с |
первой |
формулой |
(6.73) |
положим |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
<ог = |
£2(1-е£), |
|
|
|
|
|
||
|
|
6 = 6 - Н е |
, |
6 = |
|
|
{ = |
- = |
|
• „ |
, |
(8.65) |
|
|
|
|
|
|
|
|
eQ |
|
eQ |
|
2eQQr |
|
|
где согласно формуле (2.05) со'г и со"г суть вещественная |
и мнимая |
||||||||||||
части комплексной |
частоты |
резонатора. Если далее |
положить |
||||||||||
|
|
|
|
е = — , |
|
ц = |
= |
|
|
|
|
(8.66) |
|
|
|
|
|
|
2Q |
|
2 е с 2 |
со, с 2 |
|
|
|
v |
|
и ввести безразмерные функции / и g с помощью |
соотношений |
||||||||||||
|
|
|
|
F+ |
= e&r0f, |
- i P |
= r o g > |
|
|
|
(8.67) |
||
где г0 — начальное значение |
| Р |, то |
получим |
|
систему |
уравнений |
||||||||
|
|
^ |
— ^f=—l> |
^ ~ ¥ \ g \ 2 g |
= |
f, |
|
(8.68) |
|||||
к |
которым |
нужно |
прибавить начальные условия |
|
|
|
|||||||
|
|
|
/ = |
/о- g = — / е ' ф . |
при |
£ = |
0, |
|
(8.69) |
||||
первое из которых фиксирует амплитуду затравочного поля, а второе выражает тот факт, что в начальный момент электронное кольцо не модулировано. В системе (8.68) / = = / ( £ ) , a g — g (£, <р0), поэтому
мы пишем частную производную Щ ; в первом уравнении (8.68) g усред
няется по углу фоПараметр є аналогичен параметру усиления в теории Л Б В . Па
раметр LI есть параметр несинхронности — это новый параметр, возникший из релятивистской поправки и Характерный для гирорезонаненых приборов, он является отношением двух малых параметров of/2с2 и є ( v t = Q r 0 — начальная скорость орбитального движения),
183
и поэтому может быть малым, конечным и большим. Если ц ^ > I , то мы имеем дело с сильной неизохронностью, если же \i = 0, то орби тальное движение изохронно.
Покажем, что данная система при некоторых условиях неустой чива и способна к самовозбуждению. Для этого введем новые функции
/ і |
и ft, а именно положим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
/ = |
/ і Є ' і » Е , |
£г= — t V <Ф.+І*С+#) , |
(8.70) |
||||||
тогда второе |
уравнение (8.68) |
примет вид |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
е - 2 д " ) = / 1 |
е - ' ( ф « + * ) , |
# = -&' + ;т}", |
(8.71) |
||||
а |
первое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ - ^ J 1 = 7 e ^ + ^ ) ) |
g1 |
= g - l i . |
(8.72) |
||||||
Линеаризация |
уравнений |
(8.71) и (8.72) |
приводит к соотношениям |
||||||||||
|
| ^ |
+ 2iift" |
= / І Є - « Р . , |
^ — ' І х / і |
= - e ^ ~ 5 , |
(8.73) |
|||||||
и |
остается |
только |
исключить |
Ф" из первого |
уравнения |
(8.73). Это |
|||||||
делается |
следующим |
образом: |
записываем |
комплексное |
уравнение |
||||||||
в |
виде двух |
вещественных |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
^ |
+ 2цг)" = Re (fx е-'ф»), |
^ |
= Im (f, е-'ф») |
|
||||||
и |
после |
почленного |
дифференцирования |
получаем |
|
||||||||
|
^5— = Re ( — е - 'ф . ) - 2 ц Im (Д е-'ф.), |
|
^ |
= Im ( ^ е - 'ф . Ї |
|||||||||
|
^ 2 |
|
|
\dt |
|
I |
r |
v / 1 |
" |
|
д£2 |
V d£ |
і |
откуда
— = е-'ф»—2LI Im (/І е-'ф») d£2 d£
Обозначая |
|
d£2 |
d£ |
|
|
|
|
/ = е'ф. |
|
ft, |
(8.75) |
||
|
|
|
||||
получаем систему линейных |
уравнений |
|
|
|
||
# L _ g j |
_ / |
^L |
= d L + |
i V k f |
(8.76) |
|
d£ |
1 / 1 |
|
d£2 |
d£ |
' |
|
и если предположить, |
что / ( и / |
пропорциональны |
e'n S , ТО Г) должно |
|||
удовлетворять кубическому |
характеристическому |
уравнению |
||||
|
П 2 ( Л - У - 1 - ^ = 0 , |
|
(8.77) |
|||
которое при достаточно большом (х имеет комплексные корни, в том числе один корень, у которого 1 т т ) < ; 0 .
184
Наличие такого корня означает, что малое колебание начинает раскачиваться до тех пор, пока не вступают в действие нелинейные явления. Нелинейный расчет данной системы производится числен ным интегрированием уравнений (8.68) с начальными условиями (8.69). Наиболее важной величиной, характеризующей эффективность данного механизма фазировки, является электронный к. п. д., который
в пренебрежении кинетической энергией продольного |
движения |
||||
равен |
|
|
|
|
|
|
Ле = 1 - Ы 2 |
- |
|
|
(8-78) |
Результаты |
расчетов показывают, |
что |
при | i = |
О, |
т. е. при |
<о = О о, где Q0 |
есть частота обращения |
электронов |
с |
начальной |
|
Рис. |
8.5. Орбитальная фазировка электронов при Рис. |
8.6. |
Отталкивание и |
|||||
\g\2 |
= min (первоначально |
точки, соответствую- |
фазировка. |
|||||
щие |
электронам, распределены |
равномерно по |
|
|
|
|||
|
|
|
окружности). |
|
|
|
|
|
скоростью Qr 0 |
(см. задачу |
5), можно получить |
це = |
0,4, если взять |
||||
2 < |
ц < |
3. При надлежащей расстройке частот, т. е. при надлежащем |
||||||
выборе |
£ i > 0 |
вблизи |
границы неустойчивости, величину |
це можно |
||||
повысить до значений це |
fa 0,65. С подобным явлением мы встретились |
|||||||
в 7-й лекции |
(стр. 162). |
|
|
|
|
|||
|
Фазировка |
электронов |
в данной системе аналогична |
фазировке |
||||
в ЛБВ: уже в линейном режиме образуется сгусток, который затем движется, не распадаясь. Затем электроны, отдавая свою кинети ческую энергию, переходят на орбиты с меньшим радиусом. На рис. 8.5 изображены мгновенные положения электронов, первона
чально равномерно распределенных по окружности радиуса г 0 |
(также |
||
нанесенной на |
рисунке), |
при минимальном значении Yg~\2, т. |
е. при |
максимальном |
значении |
величины (8.78). После этого, как в |
лампе |
с бегущей волной, электроны начинают отбирать энергию у поля. Поэтому для гиромонотрона должна существовать оптимальная длина,
соответствующая данной |
продольной |
скорости. |
|
||||||
В отношении фазировки важно отметить два существенных от |
|||||||||
личия гирорезонансных приборов от приборов типа О. |
|
||||||||
Первое отличие заключается в том, |
что |
движение |
электронов |
||||||
является |
не |
одномерным, |
а |
трехмерным, |
поскольку переменная g, |
||||
характеризующая |
движение, |
комплексна: |
ее |
аргумент |
определяет |
||||
фазовые |
соотношения, |
а |
абсолютная |
величина — кинетическую |
|||||
энергию; |
и |
кроме |
того, |
есть еще |
продольная скорость ve, вво- |
||||
дящая электроны в пространство взаимодействия и выводящая из него. Фазировка происходит не на линии, а на плоскости комплексной переменной g (см. рис. 8.5). В. приборах типа О одна и та же функция и (или т}) определяет как фазовые соотношения, так и кинетическую энергию, и подобного «разделения.труда» нет; вследствие этого к. п. д, пропорционален малому параметру е, в то время как в гирорезонансных приборах к. п. д. не связан с соответствующим параметром s [см. формулу (8.66)] и может принимать, как мы видели выше, довольно большие значения. Кроме того, в гирорезонансных приборах силы пространственного заряда не препятствуют образованию сгустка, а до известной степени даже способствуют фазовой группировке. Дейст вительно, если при орбитальном движении электрон 1 догоняет элект рон 2 (см. рис. 8.6), то вследствие отталкивания электрон 1 замедляет ся, а электрон 2 — ускоряется. В приборах типа О, где движение одномерно, это приводит к тому, что группировка затрудняется или вовсе прекращается (расстояние между электронами / и 2 увеличивает ся), а в гирорезонансных приборах электрон / благодаря замедлению переводится на орбиту с меньшим радиусом, ускоренный электрон 2 — на орбиту с большим радиусом, так что они могут двигаться в од ной фазе, но по разным орбитам.
Второе отличие заключается в том, что при фазировке реальный сгусток в пространстве образуется только в случае одного винтового пучка (рис. 8.3). Если же, как это обычно бывает, электронный поток получен в результате перемешивания элементарных винтовых пучков (рис. 8.4), то сгустки, образовавшиеся в каждом таком пучке, ока зываются в разных точках пространства, и плотность заряда в элект ронном потоке при фазировке не изменяется. Исключение составляет только плотность заряда вблизи границы пучка, где перемешивание элементарных пучков неполное и где образование сгустков на каждой орбите приводит к осцилляциям границ пучка; амплитуда этих ос
цилляции |
не превышает |
радиуса орбиты [ |3 |. |
В приборах типа О, как мы видели в 7-й лекции, фазировка при |
||
водит к |
образованию |
локальных уплотнений заряда — сгустков, |
разделенных почти пустыми промежутками. В магнетроне, как мы видели в 3-й и 4-й лекциях, фазировка приводит к аналогичному явлению — образованию язычков (спиц), в которых сосредотачи вается большая часть электронов. Между электронами всегда дейст вуют силы отталкивания, которые стремятся разрушить сгустки и язычки, при увеличении плотности заряда эти силы увеличиваются
и в конце концов нарушают фазировку. Согласно нелинейной |
теории |
Л Б В , изложенной в 7-й лекции, при сильном пространственном |
заряде |
отталкивание приводит к быстрому распаду сгустка, вследствие чего максимальная мощность снижается (кроме того, силы пространствен ного заряда приводят к изменению распределения тока в сечении и к расслоению пучка). В магнетроне пространственный заряд, сос редоточенный в язычках и в прикатодной области, стремится расши риться, в то время как магнитное поле препятствует этому расширению; в результате возникает сложный комплекс явлений, о котором мы го ворили в 4-й лекции.
В гирорезонансных приборах фазировка не приводит, как мы ви дели выше, к появлению реальных сгустков, и поэтому пространствен
ный заряд действует по-другому. |
|
Приведем некоторые оценки. В магнетроне согласно 4-й |
лекции |
поле пространственного заряда по порядку величины равно |
|
E~\p\L, |
(8.79) |
где р — плотность заряда в язычках, L — период структуры. В гиро резонансных приборах характерной длиной является радиус орбиты | р" |, поэтому следует ожидать, что переменное поле пространственного заряда по порядку величины равно
|
|
£ ~ | р Р | . |
(8.80) |
Если |
взять плоскопараллельный электронный |
слой и сместить все |
|
его электроны нормально к |
границе слоя на |
одно и то же расстоя |
|
ние, |
то электрическое поле |
от этого не изменится. Для сплошного |
|
и полого цилиндрических пучков будет уже не так: смещение внеш
ней границы пучка в радиальном направлении |
на бг вызывает допол |
нительное поле |
|
6 £ г = — 2ярбл |
(8.81) |
действующее на электроны у этой границы, где р—средняя плотность пучка, рлг2 — его погонный заряд, г — внешний радиус. На внут ренние электроны действует более слабое поле, но тем не менее поле (8.81), осциллирующее вместе с внешней границей, может при боль ших плотностях р влиять на фазировку в гиромонотроне. Если в фор муле (8.81) положить бг = | Р |, то действие переменного поля 8ЕГ срав нивается с действием постоянного магнитного поля Я при условии
(ор ~ Й. |
(8.82) |
То же условие определяет действие постоянного поля простран ственного заряда. Действительно, согласно 4-й лекции пространствен ный заряд уменьшает угловую скорость обращения электронов в маг нитном поле Я, причем при условии
« > , > - § - |
(8.83) |
круговое движение в цилиндрическом пучке вообще |
невозможно |
(см. задачу 5 к 4-й лекции). Кроме того, согласно первому уравнению (8.07) статическое поле вызывает дрейф орбит. Правда, статическое поле пространственного заряда в той или иной степени компенсируется ионами, но даже при достижении полной компенсации осциллирую щие поля порядка (8.81) остаются, поскольку за движением электро нов ионы успеть не могут. Действие осциллирующих полей при усло вии (8.82) сравнимо с действием постоянного магнитного поля.и поэ-
187
тому серьезно влияет на механизм фазировки, исследованный в ы ш е При наличии ионного фона действие колеблющихся зарядов даже усиливается: появляются переменные поля в плоскопараллельном: слое, возникают резонансные явления и т. д.
Таким образом, полное пренебрежение пространственным заря дом оказывается законным при условии
°~ <С 1 или е < 1, |
(8.84) |
где параметр є введен формулой (8.66); в противном случае силы про странственного заряда могут стать заметными. Как уже отмечалось, они проявляются иначе, чем в приборах типа О или М, но совсем избежать их влияния не удается.
Условие (8.84) в гирорезонансных приборах обычно выполняется (cop/Q <с 0,1), поскольку при увеличении cOp/Q возникают трудности с формированием электронного потока. Впрочем, если рассмотреть
влияние переменного |
пространственного заряда более |
детально, т а |
||
строгое выполнение |
условия |
(8.84) окажется не столь обязательным. |
||
Во-первых, смещение |
границ |
отсутствует в начале фазировки, когда |
||
на каждой орбите |
|
сгустки |
еще не сформировались. |
Во-вторых, |
в конце фазировки (рис. 8.5) сгусток не очень четок, так что смещение границы составляет только часть радиуса | р |. В-третьих, переменное поле может нарушить лишь фазировку внешних электронов, а внутрен ние беспрепятственно заканчивают фазировку и отдают свою энергию,
так что усугубляется расслоение |
пучка, о котором говорилось |
выше. |
||||||
Все эти обстоятельства |
смягчают |
условия |
(8.84), |
однако точно |
сфор |
|||
мулировать |
смягченные |
условия |
без подробного |
численного |
решения, |
|||
конкретных |
задач |
нельзя. Скорее всего, |
эти условия получаются |
|||||
из условий |
(8.84) |
путем |
замены |
знака сильного |
неравенства |
знаком |
||
простого неравенства. Влияние постоянной плотности заряда суще ственно и может заметно снизить частоту обращения и изменить условия резонансного взаимодействия частиц с полем.
Таким образом, обычно в гирорезонансных приборах простран ственный заряд слабо влияет на механизм фазировки, в этом — пре имущество гирорезонансных приборов, которое особенно важно при работе на высоких уровнях мощности, когда применяются широкие и
плотные пучки. Благодаря тому, |
что в гирорезонансных |
приборах |
|||
медленные |
(т. е. поверхностные) |
волны не нужны, возможно взаимо |
|||
действие электронов с полем в больших объемах, что также |
облегчает |
||||
достижение |
больших мощностей. |
|
|
|
|
По аналогии с приборами типа О — клистронами, лампами с бе |
|||||
гущей волной и т. д. — можно |
построить соответствующие |
гирорезо- |
|||
нансные приборы, работающие |
на гирочастоте |
или ее гармониках; |
|||
использование гармоник, как мы видели выше, |
не очень |
выгодно, |
|||
но при фиксированном предельном значении магнитного поля |
является |
||||
единственным способом повышения |
рабочей частоты. Исследования |
||||
в этом направлении, в том числе по оптимизации этих приборов, ведут ся, и какие-либо заключения делать преждевременно.
188
ЗА Д А Ч И К 8-й ЛЕКЦИИ
1.Исходя из релятивистского уравнения движения
A
v
|
|
dt |
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
получить |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
I v |
|
|
Н |
|
|
|
|
m |
" |
г- |
Е - - |
— Е 1 |
+ |
|
||||
|
|
|
|
С |
[ |
с |
|
\ с |
|
|
|
|
из которого при v/c С |
1 вывести уравнение (8.03). |
|
|
|
|
|||||||
Р е ш е н и е . Исходное |
уравнение |
можно переписать в виде |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
(vv) |
|
|
е |
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Умножая |
его скалярно |
на v I / |
1— — j - , |
получаем |
|
|
|
|||||
|
(vv) 1 |
|
|
|
(vv) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
' |
|
с' |
||
|
|
с 2 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
v (vv) |
|
|
|
|
М" V і V |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 _ — |
- |
- Е |
|
|
||
|
г2 |
1 - — |
|
У |
|
с 2 |
с V с |
|
|
|||
откуда уже легко получить требуемое уравнение, |
являющееся точным. |
|||||||||||
В данной задаче |
Е есть сверхвысокочастотное |
поле, а |
Н •— сумма стати |
|||||||||
ческого |
и сверхвысокочастотного, |
однако |
|
сверхвысокочастотным магнитным |
||||||||
полем вполне можно пренебречь по сравнению со статическим и понимать под Н только постоянное поле. Обозначая
еН
тс
можно переписать это уравнение в виде
v + l Q v v ] ~ - i ' l / |
1 _ 4 { Е _ ^ Е ) ) . |
||
ту |
с 2 \ |
с \ с |
J) |
С погрешностью порядка v2 /c2 правую часть можно заменить классическим выра жением (е/т)Е, откуда и получается уравнение (8.03). В левой части такого уп рощения сделать нельзя, поскольку малое возмущение частоты Q v за много пе риодов сказывается сильно (фазовые соотношения в корне изменяются), в то время как малая ошибка в амплитуде переменного поля на движении всегда ска зывается слабо.
2. Показать, что при F = 0 уравнение (8.03) имеет решение
где а и Ро — комплексные постоянные, и выразить Q0 через Q и (50 как в общем
случае, так и при о/с < 1.