книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике
.pdfПри малых возмущениях стационарного движения
имеем |
т = |
т° (г) + |
т1 (г, t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* = / _ T ° ( Z ) — ^ ( z , t ) , |
|
|||||
|
|
|
dt0 |
|
dx<> |
дх1 |
|
||
|
|
|
dz |
|
dz |
' |
dz |
|
|
где г1 |
— малая добавка к |
функции |
х°. Аналогично |
||||||
|
|
|
г = Г (г, *) = г°(т)+г>(т, 0, |
||||||
|
|
|
v = v ( z , 0 |
= v°(x) + v* (Т, |
t), |
||||
|
|
|
v° = - — , |
vx |
= |
дх |
[ |
. |
|
|
|
|
dx |
|
|
д[ |
|
||
Будем |
теперь |
считать, что |
|
|
|
|
|||
|
|
|
г1 (т, t) = |
Re {г1 (т, со) |
е~ш), |
|
|||
|
|
|
Vі (т, t) = |
Re {v1 |
(т, со) е-'»'}, |
|
|||
электронов
(9.07)
(9.08)
(9.09)
тогда функции т 1 (т, о>) и v 1 (т, со) в силу последней формулы |
(9.08) |
|
связаны соотношением |
|
|
vi (х, со) = |
Dr1 (т, со), |
(9.10) |
где через D обозначен оператор |
|
|
= d |
гсо. |
(9.11) |
dx
Если, кроме того, вместо переменной z в уравнении (9.04) ввести переменную т = т° (г) или, что то же, положить z — 2°(т), беря вместо z время т, затрачиваемое электроном для достижения данного г при невозмущенном движении, то уравнение (9.04) примет вид
dCs |
{-/согі(т, |
ш ) Т _ , ( т ) + - ^ . |
(9.12) |
|
dx |
||||
|
|
|
||
где |
|
|
(9.13) |
|
A s (х) = j rі (x, с о ) - |
z i (x, co)| E_s (r» (T)), |
|||
F_s (x) = E _ s ( r ° ( x ) ) - " V» (т) H - s ( r °(T)) |
(9.14) |
|||
есть комплексная амплитуда поля встречной волны (пропорциональ
ного силе Лоренца), сопровождающего электрон при |
его движении |
||||||||
по невозмущенной траектории г = |
г° (т) |
со |
скоростью |
V — —v°(x). |
|||||
Знак « — » перед квадратной |
скобкой в выражении |
для |
F _ s (х) сле |
||||||
дует отметить особо: благодаря этому знаку |
вектор |
F _ s |
определяет |
||||||
комплексную силу, действующую |
на электрон при прохождении |
им |
|||||||
невозмущенной траектории |
в обратном |
направлении. |
Ниже |
нам |
|||||
встретится аналогичная |
векторная |
функция |
|
|
|
|
|
||
F.(T) = |
E,(r»(T))- |
V» (т) |
н > ( |
г о ( т ) ) 1 |
|
|
( 9 |
Л 5 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
соответствующая прямой волне с индексом s и прямому движению частицы по невозмущенной траектории.
Вывод уравнения (9.12) дан в задачах 1 и 2. Важно отметить, что резонансное возбуждение волноводной волны дает лишь первое слагаемое в фигурной скобке (9.12), причем тогда, когда в произве
дении г1 (т, со) |
F _ s (т) имеются медленно |
меняющиеся функции |
т. |
||||
Действительно, |
пусть |
первое |
слагаемое |
пропорционально |
е |
е , |
|
где частота сое мала; тогда Cs |
будет пропорционально |
— ;сов |
' Т - |
е " |
|||
будет велико. Второе |
слагаемое |
подобного эффекта |
не дает. |
|
|||
Рис. 9.1. Трохоидальный пучок в скрещенных полях (ср. с рис. 3.3.).
Предположим, что невозмущенное |
движение части имеет |
вид |
х = хй(т), у = уй(і), z = vex + z«(r), |
(9.16) |
|
где х°(т), у0 (г), z° (т) —периодические |
функции с периодом |
2 л / Q 0 ; |
иначе говоря, оно состоит из периодического движения и равномер ного перемещения вдоль оси волновода z со скоростью ve (рис. 9.1). Ниже, рассматривая пучки в однородном магнитном поле, мы будем считать Q0 циклотронной частотой с релятивистской поправкой (для невозмущенного пучка), но пока это необязательно, в общем случае Q,0 есть основная частота (круговая) невозмущенного движения элект
ронов. F_s |
(т) |
можно представить в виде |
|
||
|
|
|
F _ . ( T ^ _ e ( x ) e - ' W |
|
|
где |
Ф-s (т) — периодическая |
векторная функция т, которую |
можно |
||
разложить |
в |
ряд Фурье |
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
так |
что |
|
|
П —— оо |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Р - . ( т ) = 5 |
F _ . , n r ' ( B 0 ' + V . > i |
(9.17) |
|
|
|
п = — |
ОО |
|
где |
F_S ) 7 l —постоянные векторы. |
волна |
|||
|
Пусть в волноводе с пучком распространяется электронная |
||||
(в том смысле, как она определена в начале 6-й лекции). Ее электро
магнитное поле является, вообще говоря, суперпозицией |
многих |
волн, однако мы будем считать, что резонансным образом |
возбуж- |
20 Г
дается лишь одна волна с индексом s. Тогда электромагнитное поле, возмущающее пучок, можно представить в виде
E = |
E(* t r) = |
Re{C.E,°(x> |
f / ) e ' ( V - » ' ) } f |
|
Н = |
Н(/, r) = |
Re{Cs H»(A:, |
y)el<h.*-"% |
( Л 8 ) |
где Сs — медленно меняющаяся функция z (или т). В теории приборов типа О полагают
|
|
Cs |
= C°sei{h~hs)z, |
(9.19) |
причем |
С' — постоянная, |
ah |
—• неизвестное волновое число |
элект |
ронной |
волны, близкое к |
hs. |
Однако мы не будем пользоваться этим |
|
соотношением, поскольку для криволинейных пучков оно принимает другую форму (см. ниже).
Если бы пучок был прямолинейным и электроны двигались по
оси z со скоростью ve, |
то эффективная частота, с которой поле (9.18) |
действует на электрон, |
была бы равна сое = to — hsve (см. 6-ю лек |
цию). Так как в данном случае на прямолинейное движение наклады вается периодическое, то эффективные частоты поля (9.18) образуют
целый |
спектр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
сое п = с о е - п 0 0 (л = |
0, + 1 , ±2, ... ) . |
|
(9.20) |
|||||
Функция |
|
г1 |
(т, со), |
обусловленная |
этим |
полем, |
пропорциональна |
|||||
С , и имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г Ч т , с о ) = С 8 |
2 |
R n e l ( n 0 |
o + W \ |
|
(9.21) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
П = — |
00 |
|
|
|
|
поскольку |
множитель е~ш в выражении |
(9.09) для г1 (т, t) |
уже вы |
|||||||||
делен; |
R„ — |
постоянные |
векторы, |
которые |
надо определить |
из урав |
||||||
нения |
движения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
К тому же результату можно прийти чисто аналитическим путем, |
||||||||||||
образуя |
векторную |
функцию |
|
|
|
|
|
|||||
F ( T , |
0 |
= |
Е(*. г«(х)) |
+ |
V°(T) |
Н(/, |
г»(т)) = |
Re { C S F 8 |
(т)е-<«<}, (9.22) |
|||
которую можно назвать полем, действующим со стороны волны (9.18) на электрон, совершающий невозмущенное движение в прямом на правлении, и разлагая F S (т) в ряд
F . ( x ) = |
5 F . , n e ' ( n Q « + f c . V ' f |
(9.23) |
П= |
—оо |
|
аналогичный ряду (9.17). Функция гг (т, со), определяющая возмущен ное движение под действием поля (9.18), представляется аналогичным рядом (9.21).
202
Образуя произведение г1 (т, ю) F _ s (т), мы видим, что в двойном ряду в силу условия hwhs надо оставить только произведения членов с одинаковыми индексами п. Тогда
Поскольку все величины, кроме СS ) здесь постоянны, это уравнение допускает решение
|
Ct = c№lh~ha)v<x, |
C° = const, |
(9.25) |
|
переходящее в выражение (9.19) в случае прямолинейного |
пучка. |
|||
Разность h — hs |
оказывается |
равной |
|
|
|
h-ha=—?-± |
2 |
R„F_S | „. |
(9.26) |
|
Ve N s n = - |
co |
|
|
Выражения |
(9.24) и (9.26) |
сравнительно просты, если |
учесть |
|
сложность исходных и промежуточных соотношений; они решают вопрос о резонансном поле, создаваемом возмущенным движением электронов в криволинейном пучке. Обратимся теперь ко второй
части |
задачи — к исследованию резонансного движения |
электронов |
|||
под действием |
поля |
(9.18), т. е. к |
вычислению векторов R„. |
||
В |
рядах |
(9.21), |
(9.24) и (9.26) |
надо учитывать лишь |
небольшое |
число резонансных слагаемых. Если для какого-то я выполняется условие
|
|
|
|
1 « е п | « Ц , . |
|
( 9 - 2 7 ) |
||
то |
резонансными |
слагаемыми |
|
могут быть слагаемые |
с индексами |
|||
п — 1, п и п + |
1 (см. задачи |
3 и 6). |
|
|
||||
|
б. РЕЗОНАНСНОЕ ДВИЖЕНИЕ |
|
|
|||||
|
Мы считаем, что электроны движутся в статических полях |
|||||||
Е 0 |
= Е 0 (г) и Н 0 = Н 0 |
(г), на которые накладываются |
переменные |
|||||
(сверхвысокочастотные) |
поля |
Е = Е (t, |
г) и Н = Н (t, г). Как пока |
|||||
зано в предыдущей лекции, |
в |
общем |
случае следует |
пользоваться |
||||
релятивистским |
уравнением |
движения |
|
|
||||
|
d |
|
V |
|
6 |
[ E . + E + f i . H . + H |
(9.51) |
|
|
dt V |
|
|
m |
|
|
||
При достаточно малых полях Е и Н это уравнение можно решать ме тодом возмущений, пользуясь формулами (9.08); тогда движение в статических полях определяется уравнением
_d_ |
v» |
Е0 |
(г°) + [^Н 0 |
(г°)]}, |
(9.52) |
dx / |
|
||||
|
і „о \2 т |
|
|
|
авозмущение — уравнением
|
|
d_ |
V° (V» V і ) |
|
|
|
dt |
|
iff |
|
|
|
|
|
в |
- н „ и |
+ (r1 |
grad") E0 (r°) + ^ , |
(rigrad°)H 0 (r°)j +F}( (9.53) |
m |
|
|
|
|
где F = |
F (r, t) |
есть |
поле, действующее на электрон при его невоз |
|
мущенном движении. В дальнейшем векторную функцию F мы будем |
||||
определять формулой |
(9.22), т. е. считать, |
что на электрон действует |
||
поле одной волноводной волны, которая распространяется с медленно
меняющейся амплитудой |
Сs |
вследствие возмущений, вносимых |
элект |
||||
ронным пучком. |
|
функции г° (т) и v° (т) |
|
|
|
||
В уравнении |
(9.53) |
заданы, |
оно является |
||||
неоднородным линейным уравнением второго |
порядка |
относительно |
|||||
г1 с переменными коэффициентами. Это уравнение охватывает |
целый |
||||||
ряд электронных |
приборов |
и |
при однородных статических |
полях |
|||
|
Е0 = const, Н0 = const |
|
|
(9.54) |
|||
сильно упрощается, а именно принимает вид |
|
|
|
||||
d |
|
|
|
V" (v° V і ) |
н„ |
+ F , |
(9.55) |
dt |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
/ ' - ( f ) ' |
|
- [ ' - ( f ) 2 |
|
|
|
||
и вместе с тем |
упрощается |
уравнение (9.52). В нерелятивистском |
|||||
приближении уравнение (9.55) становится вообще линейным уравне нием
А — . Н„ (9.56)
и если представить г1 и v 1 в виде (9.09), a F в виде (9.22), то для ком
плексной |
амплитуды |
г1 (т, со) получится |
уравнение |
|
||||
|
|
D 2 |
гг = |
[Dr\ |
H 0 l + C,Fe (T) , |
(9.57) |
||
где |
D есть оператор |
(9.11), a F 8 |
(т) представляется в виде ряда |
(9.23). |
||||
Обозначая через Dn |
оператор |
|
|
|
|
|
||
|
|
Dn = D + i (nQ0 |
+ hsVe)= |
— ~ і Ч п , |
(9.58) |
|||
для |
векторов R„ получаем соотношение |
|
|
|
||||
|
|
D 2 C S R N = ^ - { i |
D n C , [R„H0 1 |
+ С . F ] , |
(9.59) |
|||
|
|
|
m { с |
|
|
|
І |
|
Если Cs |
имеет вид (9.25), то Dn |
есть просто |
число |
|
||||
|
|
|
Dn = i(hve—co |
+ |
nQ,,), |
|
(9.60) |
|
а соотношение (9.59) принимает |
вид |
|
|
|
|||
|
D\Rn |
= Dn Q0 |
[RJ ] |
+ ±- F , , n , |
Q„ = |
, |
(9.61) |
|
|
|
|
/к |
mc |
|
|
где |
1—единичный |
вектор, |
направленный |
вдоль |
магнитного |
поля |
|
(Н 0 |
= Н01). Определяя из соотношения (9.61) составляющую R n в на |
||||||
правлении магнитного поля, получаем выражение |
|
|
|||||
|
|
R J = i - E g f , |
|
|
(9.62) |
||
свидетельствующее о квадратичном резонансе, характерном для приборов типа О [см., например, формулу (6.13)]: в знаменателе стоит квадрат малой величины Dn. Составляющие Rn в направлении, пер пендикулярном магнитному полю, также испытывают резонанс, но более слабый, а именно в знаменатель входит малая величина Dn, а не ее квадрат (см. задачу 3).
Заметим, |
что при |
последовательном |
нерелятивистском подходе |
||
£2 о согласно |
формуле |
(9.61) есть |
просто |
циклотронная частота £1. |
|
Если |
учитывать только составляющую Rr t вдоль магнитного |
||||
поля, то |
подстановка |
выражения |
(9.62) |
в соотношение (9.26) дает, |
|
если ограничиться только резонансным членом, характеристическое уравнение
(h-hs) (h-hef |
= |
{ F s ' n 1 ) / - s - " l } , |
(9.63) |
|
т v e |
Ns |
|
в котором
h
to-nQo |
( 9 6 4 ) |
играет роль электронного волнового числа. Если структура поля волны с волновым числом hs такая же, как у волны в волноводе без потерь, то уравнение (9.63) принимает вид (см. задачу 4)
|
(h~hs)\{h—hef |
|
= |
^ |
— LT^nli! |
\Ue |
= — |
vl |
(9.65) |
||||
|
4 |
s / t V |
е' |
|
8Ue |
ve |
Ps |
L |
6 |
2e |
v |
' |
|
и при Ps |
> |
0 формально совпадает с характеристическим |
уравнением |
||||||||||
лампы с бегущей |
волной |
без учета пространственного заряда. |
Если |
||||||||||
же взять |
Рs |
<С 0 |
(в этом |
случае естественно заменить всюду индекс |
|||||||||
s на — s), то получится |
характеристическое |
уравнение лампы |
с об |
||||||||||
ратной волной, на котором |
мы останавливаться |
не будем. |
|
||||||||||
При |
условии |
hs« |
he |
уравнение |
|
(9.65) имеет |
комплексные |
корни |
|||||
и, следовательно, данная система способна работать как усилитель.
Уравнение (9.65) применимо и |
к волноводу с медленной |
волной: |
при условии |
|
|
h,ta^- |
(я = 0) |
(9.66) |
оно принимает |
вид |
(9.67) |
|
|
|
где |
|
|
|
|
(9.68) |
Если считать |
пучок прямолинейным, то уравнение |
(9.67) буквально |
совпадает с уравнением (6.58) без слагаемого Г (h) h2p, |
обусловленного |
|
пространственным зарядом, а формула (9.68), как можно показать, дает правильное выражение для коэффициента усиления є (см. задачу 3 к 6-й лекции; при сравнении надо учесть, что здесь мы рассматри ваем тонкий пучок).
Представление о том, что в приборах типа О при отсутствии сверх высокочастотных полей электроны движутся прямолинейно, явно не соответствует действительности и вводится для упрощения теорети ческого рассмотрения (см. начало 6-й лекции). В лучшем случае электроны движутся по винтовым линиям, причем сплошной цилинд рический пучок состоит из элементарных винтовых пучков (см. 8-ю лекцию); такие пучки возможны в однородном магнитном поле, до статочно сильном, чтобы преодолеть расталкивание. Формула (9.68) позволяет ввести поправки на непрямолинейность пучка, а тради ционная теория приборов типа О оказывается применимой, если вы полняется условие (9.66), характеризующее простой продольный резонанс, и не реализуются сложные резонансные условия, о которых
будем говорить |
ниже. |
|
|
|
Если вместо |
условия (9.66) |
выполняется другое |
условие |
|
|
К |
(я = ± 1, ± 2 , ±3, |
...), |
(9.69) |
то уравнение (9.67) оказывается также применимым, но с несколько
иным значением |
коэффициента усиления є. При небольших |
п (п = |
|||||||||
= + 1, ± 2 ) є получается того |
же |
порядка, |
что и в |
Л Б В |
типа О. |
||||||
Условие (9.69) может выполняться как для медленных, |
так и для |
||||||||||
быстрых |
волн: |
для последних |
| hs |
| < со/с, |
и |
так |
|
как |
ve |
<С с, то |
|
п должно |
быть |
положительным |
и, кроме того, |
должно выполняться |
|||||||
условие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со да nQ0 |
(п = 1, 2, ...), |
|
|
|
|
(9.70) |
||
которое было в 8-й лекции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В однородных статических полях (9.54) возможны |
периодические |
||||||||||
криволинейные пучки двух типов: винтовые |
(Е0 = |
О, Н0 |
направлено |
||||||||
по оси волновода) и трохоидальные (как Е0 , так и Н0 |
перпендикулярны |
||||||||||
оси |
волновода, скорость дрейфа |
ve |
направлена |
по оси). Как в винто |
|||||||
вом, |
так и в трохоидальном пучке |
движение |
|
электронов |
(в |
нереля |
|||||
тивистском приближении) складывается из кругового движения с цик лотронной частотой и равномерного движения вдоль оси волновода. Для винтовых пучков скорость этого движения определяется началь-
ными условиями и поэтому в действительности всегда имеет некоторый разброс, для трохоидальных подобного разброса нет.
Как винтовой, так и трохоидальный пучок являются периоди ческими, поэтому можно думать, что электронные волны, возникаю щие в данной системе в результате взаимодействия электромагнитного поля с криволинейным электронным пучком, будут иметь много об щего с электронными волнами в периодической структуре, пронизы ваемой прямолинейным электронным пучком. Формула (9.64) пока зывает, что у периодических пучков имеется целый спектр волновых чисел he; при близости одного из этих волновых чисел к hs наступает резонансное взаимодействие, приводящее к усилению. Физическая причина появления спектра he — в том, что воздействие волны в вол новоде на периодический пучок имеет согласно формулам (9.20) и (9.23) сложную зависимость от времени.
Винтовые и трохоидальные пучки позволяют создать лампы с бе гущей или обратной волной, используя быстрые волны в обычных волноводах с гладкими стенками. Такие лампы будут иметь те же свойства, что и обычные ЛБ В и ЛОВ типа О. Физическая же картина взаимодействия электронов и полей в таких приборах может быть совершенно иной, в частности, роль продольного электрического поля, осуществляющего фазовую группировку электронов в приборах типа О, играют поперечные составляющие сверхвысокочастотного электри ческого поля или же сверхвысокочастотное магнитное поле; это видно из формулы (9.62).
Главным достоинством приборов с криволинейными электрон ными пучками является возможность обойтись без замедляющих систем. Применение обычных волноводных волн приводит к увеличению пространства взаимодействия, что облегчает фокусировку пучка и позволяет увеличить рабочий ток. Недостатком таких приборов яв ляется необходимость удовлетворить условию (9.70), т. е. в таких приборах постоянное магнитное поле должно быть сильным (и тем сильнее, чем выше частота).
Если продолжать сравнивать эти приборы с приборами типа О, то следует отметить, что влияние сил пространственного заряда, которые мы выше вообще не учитывали, в приборах обоих типов долж но быть примерно одинаковым, поскольку фазировка происходит вследствие продольного движения. В широком пучке эти сгустки пере мещаются со скоростью, близкой к ve, поэтому их поле вычисляется так же, как в приборах типа О, и его влияние на фазировку примерно такое же.
В уравнениях (9.63), (9.65) и (9.67) мы вообще не принимали во внимание составляющих R„, перпендикулярных магнитному полю Н 0 . Если их вычислить согласно нерелятивистскому уравнению движе ния и подставить в соотношение (9.26), то окажется, что они не пов лияют сколь-нибудь существенно на сделанные выше выводы. Однако, при учете релятивистских поправок порядка (v°/c)2 составляющие R„, перпендикулярные магнитному полю, также испытывают квад ратичный резонанс. Детальное рассмотрение (см. задачу 7) показывает, что квадратичный резонанс относится к азимутальному движению,
благодаря этому реализуется азимутальная фазировка, исследованная в предыдущей лекции применительно к однородному переменному полю и частоте колебаний, близкой к гирочастоте.
Оказывается, что азимутальная фазировка также приводит к ха
рактеристическому уравнению (9.65) |
или |
более сложному, причем |
|
в правой части этих уравнений стоит поперечная |
(азимутальная) |
||
составляющая постоянного вектора |
Fs , п . |
Поэтому |
азимутальная |
фазировка придает данной системе — волноводу с винтовым или тро-
хоидальным |
пучком — свойства лампы с бегущей (или обратной) |
волной типа |
О. |
Особенности такой фазировки мы разобрали в предыдущей лекции применительно к гиромонотрону. Главное ее преимущество в том, что фазировка в широком пучке не приводит к образованию реальных сгустков в пространстве, благодаря чему силы пространст венного заряда не разрушают фазировки.
Данная лекция базируется на результатах, полученных А. В. Гапоновым в 1959 г. Как мы видим, в математическом отношении теория электронных приборов с криволинейными пучками достаточно слож на, однако потребность в такой теории ощущалась давно, хотя бы потому, что в реальных электронных приборах пучки не являются прямолинейными и сознательное использование криволинейных пучков представлялось перспективным. После того, как теория была построе на, оказалось, что она имеет более глубокое значение: она привела
кобнаружению нового механизма фазировки (азимутальной фазировки
вмагнитном поле, о которой говорилось выше) и, таким образом, явилась основой нового направления в сверхвысокочастотной электронике.
Новый механизм фазировки затем был исследован при других
предположениях |
(ср. 8-ю |
лекцию |
и |
приложение |
I X ) , позволяющих |
|||
провести более детальный |
анализ и, |
в частности, |
учесть нелинейные |
|||||
эффекты. |
Однако |
первоначальная |
|
теория криволинейных |
пучков |
|||
в волноводе отнюдь не |
потеряла своего значения, по этой |
причине |
||||||
мы сочли |
необходимым |
посвятить |
ей данную лекцию. |
|
||||
Применению криволинейных пучков (трохоидальных и винтовых) для генерации и усиления миллиметровых волн и волн смежных диапазонов способствовало то обстоятельство, что в шестидесятых годах сильное развитие получила техника создания сильных магнитных полей, в частности появились сверхпроводящие соленоиды.
Выше отмечалось, что условие синхронизма (9.69) осуществляется как для быстрых, так и для медленных волн, т. е. криволинейный пучок легко взаимодействует с волнами самой различной структуры. В миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах, где приходится применять широкие волноводы с большим числом распространяющих ся волн, это свойство криволинейных пучков обычно затрудняет создание устойчиво работающих усилителей. Наибольшие успехи поэтому достигнуты в режиме генерации.
В заключение лекции сделаем одно методическое замечание: в 8-й лекции мы пользовались методом усреднения, в этой лекции усреднение не производилось, а вместо него последовательно выделя-
208
лись резонансные слагаемые. Оба подхода близки, поскольку нере зонансные слагаемые всегда являются быстро осциллирующими и при усреднении исчезают. То обстоятельство, что мы все время имеем дело с усредненными величинами, приводит, например, к тому, что формулы (9.19) и (9.25) следует считать эквивалентными. Действитель но, полагая согласно формуле (9.16) z = vex + z° (т) и производя усреднение по т, в результате усреднения величины (9.19) получаем выражение
2я
2 я J
о
т. е. приходим к формуле (9.25), в которой h — hs имеет смысл раз ности продольных волновых чисел.
ЗА Д А Ч И К 9-й ЛЕКЦИИ
1.Пользуясь формулами (9.07) и (9.08), выделить в произведении
П = |
dt0 |
1 |
dz |
v (г, t) E_s (г° (т) + Г і (т, /)), E _ s (r) = E _ s (х, у, г), |
|
|
|
входящем в правую часть (9.06), слагаемое, соответствующее невозмущенному движению, и слагаемое, пропорциональное v1 и г1 . При преобразовании E _ s воспользоваться векторным тождеством
|
grad (АВ) = (A grad) В 4- [A rot В] |
(А = |
const) |
||
и уравнением |
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot |
E _ s = t —с H _ s , |
|
|
|
считая, что в месте прохождения электронного пучка є = |
]х = 1. |
||||
Р е ш е н и е . |
Пренебрегая квадратом малой величины г1 и используя век |
||||
торное тождество и выражение для rot E _ s , можно |
написать |
|
|||
|
Е _ , (г» + г1 ) = |
Е _ , (го) + (г1 grad0 ) E _ s |
(r°) |
= |
|
= |
E _ s (то) —і — |
[і* H _ s (r0)]4grad<> (r* E „ s |
(r°)), |
||
|
с |
|
|
|
|
где grad0 означает градиент, образованный дифференцированием по координа
там х°, |
у0, |
z°, соответствующим |
вектору |
г°. Далее |
получаем, пренебрегая |
произ |
||||||
ведениями малых величин |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
v E _ s |
(г) = \ ° E _ s |
(r°)4-v° grad0 ( r i E _ s ( I « ) ) 4 V 1 |
E _ s |
(r„) + Ш Г 1 I |
H _ s (r") |
|||||||
|
|
dt0 |
v E _ |
di° |
vOE_s (r°) + |
dxa |
v o g r a d o ( r i E _ s ( r ° ) ) + |
(a) |
||||
|
|
dz |
8 ( r ) = — |
— |
||||||||
|
|
|
dz |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d%° |
|
|
|
|
5т 1 |
|
|
|
|
" г і г " У І Е ~ 8 ( і ° ) + г ' Ю ^ г " Г І |
|
H - . ( r ° ) + — V o E _ s ( r ° ) . |
|
|||||||
|
+ |
|
|
|
|
dz |
|
|
||||
Первое слагаемое правой части (с) не зависит от t, |
а зависит только от т |
|||||||||||
т° + |
т1 , поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
v ° E . . s ( r ° ) = v ° E _ s ( r < >) |
+ |
T i _ ^ L ( v o E _ s ( r o ) ) |
|
|
||||||
|
|
|
ОХ |
|
т = |
т ° . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|Т = Т° |
|
|
|
||||