книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

где последнее слагаемое есть решение однородного уравнения, причем постоян­ ная Р может быть функцией постоянных Z и Z*. Вместо уравнения (10.56) мы теперь имеем

есть квадратичное ускорение, обусловленное несинхронными полями. Посколь­ ку орбитальное движение учтено слагаемым f5e~i Q t в выражении для £, мед­ ленное движение представляет собой дрейф под действием комплексного уско рения I + fj-2^ и в первом приближении вычисляется по формуле

2 = - — ( / + / ( 2 > )

если при этом

Z< Q | Z | ,

Впротивном случае дрейф и орбитальное движение отделять нельзя и орбиталь­ ное движение нужно учитывать в Z, а не в £.

7.Применить результаты, полученные в предыдущей задаче, к магнетрон­ ним генераторам, пользуясь формулой (4.28)

z = ttt + Z + l,

в которой и — фазовая скорость синхронной волны. Каковы Fj и со^ для не­ синхронных пространственных гармоник того же колебания с частотой со? То же для пространственных гармоник электростатического поля, исследованных в за­ даче 5, и для пространственных гармоник другого колебания с частотой (афт.

Как рассчитать возбуждение другого колебания, зная быстрое движение, им вызываемое?

Р е ш е н и е . Уравнение движения в лабораторной системе координат мож­ но записать в комплексной форме

е,

2 -\-iQz = iQv0— і — £ sin Л (г*—ut) + F,

т

где F — ускорение, обусловленное несинхронными полями. Переходя к движу­ щейся системе координат

z'=z—ut

и опуская штрих, получаем уравнение движения

Поле /-й пространственной гармоники того же колебания в движущейся системе координат имеет вид

Для /-й пространственной гармоники электростатического поля согласно задаче 5

и применимы те же формулы, что и для гармоники другого колебания с часто­ той со = 0.

Зная быстрое движение, вызываемое колебанием с частотой со ф со, можно рассчитать его возбуждение (ср. с приемом, использованным в 8-й лекции). Дей­ ствительно, комплексная плотность тока / в движущейся системе координат со­ гласно 8-й лекции равна (мы удерживаем только слагаемые, соответствующие

колебанию с частотой со)

Сила, действующая на каждый электрон в плазме, равна mFz, где

Полная сила в цилиндре с единичным основанием равна

оо

p = mN j' F : (iz = fflP(0),

о

где N — концентрация электронов (их число в единице объема). Учитывая, что

=^ - 1 = 4 ^ = 1 ,

р= ^ | Л | 2 .

9.Рассмотреть ту же задачу, но при условии, что полупространство г > 0 —

Ну = 2А.

Поверхностная плотность тока на границе имеет составляющую

сс

4я v [2л

Это комплексные амплитуды. Среднее значение силы на единицу площади гра­ ницы равно

причем эта сила направлена по оси г (давление света!). Получился тот же резуль­ тат, что и в предыдущей задаче. Это объясняется тем, что в обоих случаях падаю­ щая волна испытывает полное отражение, а в отражающей среде возбуждается ток, имеющий поверхностный характер.

Таким образом, квадратичную силу можно также толковать как давление поля на совокупность электронов или как действие переменного магнитного поля на ток, возбуждаемый электрическим полем.

4.П. Л. К а п и ц а . Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса. ЖЭТФ, 1951, т. 21, № 5, стр. 588—597. Маятник с в-ибрирую- щим подвесом. «Успехи физических наук», 1951, т. 44, № 1, стр. 7—20,

П р и л о ж е н и е I

ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ МАГНЕТРОНЕ И РОДСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ

В 3-й лекции было рассмотрено движение электронов в пло­ ском магнетроне, относительно цилиндрического магнетрона было сде­ лано лишь беглое замечание, связанное с формулами (3.71) и (3.72). Действительно, движение электронов в цилиндрическом магнетроне оказывается более сложным, чем в плоском, в частности усложняется

причем последнее соотношение эквивалентно двум вещественным соотношениям

которые, разумеется, можно получить и сразу из уравнений (3.04).

т. е. мы получим интеграл движения, соответствующий сохранению обобщенного импульса по координате Ф, Т. е. момента количества движения.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением электронов, начи­ нающих свое движение с катода, где они имеют нулевую скорость. Полагая ф = 0 при г = а (где а — радиус катода), получаем соот­ ношение

235

которое в электронной оптике называется теоремой Буша. Благодаря нему первое уравнение (1.04) принимает вид

Уравнение (1.07) будет использовано в приложении I I для анализа симметричного состояния в цилиндрическом магнетроне при учете пространственного заряда. Здесь мы ограничимся исследованием дви­ жения в цилиндрическом магнетроне без пространственного заряда — при наличии радиального электростатического поля

In —

а

где Ъ — радиус анода, а

нима лишь на участке движения от катода к аноду; если же электрон,

Таким образом, при / ф = 0 и /у = fr (г) радиальное движение электрона определяется уравнением (1.11), которое формально сов­ падает с одномерным уравнением движения частицы единичной массы в потенциальном поле, характеризуемом потенциальной энергией П (г). Применительно к нашей задаче функция П (г) определяется по­ тенциалом электростатического поля, пропорциональным In (г/а), действием магнитного поля, дающим слагаемое QV2 /8 в правой части (1.10), и так называемой центробежной энергией, соответствующей слагаемому Q2 a4 /8 г2.

жения, которое, однако, является довольно громоздким и не может быть обобщено на случай, когда имеется сверхвысокочастотное поле, у которого / г и / ф зависят от г, ф и t. Поэтому целесообразно обратить­ ся также к приближенному методу решения уравнений движения.

237

в виде

где й есть круговая частота малых радиальных колебаний электрона около окружности г = г; значение г соответствует устойчивому поло­ жению равновесия—дну потенциальной ямы (рис, 1.1), т. е. фак­ тически круговому движению электронов.

Нас интересуют в общем случае не малые колебания около окруж­ ности г = г, а большие колебания, когда электрон движется от катода (г = а) к окружности г = гтах, достаточно далеко отстоящей от ка­ тода, и обратно. Такое движение мы рассчитываем с помощью метода усреднения, изложенного в 4-й лекции и применимого также при наличии сверхвысокочастотного поля (см. ниже).

В данном случае комплексное ускорение /, стоящее в правой части (4.03), в соответствии с формулами (1.08) и (1.16) равно

По существу, метод усреднения здесь приводит к дрейфовому прибли­ жению, рассмотренному в 3-й лекции. Применительно к уравнениям (1.04) дрейфовое приближение мы получим, вычеркивая в левых частях

эквивалентным уравнениям (3.10) и определяющим движение веду­

что совпадает с уравнением (1.27) для а. Движение электрона склады­ вается из движения его ведущего центра и из орбитального движения

239