Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4113 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

в поперечном		сечении электронного пучка,	нормирована соотно
шением
		\tydS=l,		(6.03)
где Se	— поперечное сечение пучка. Функция		г\|з (х, у)	является наи
более	тонкой	характеристикой электронной	волны,	определяемой

как полем синхронной волны в линии, так и полем переменного про странственного заряда; для функции (х, у) мы найдем далее ряд соотношений. Наибольший практический интерес представляют волно вые числа h электронных волн, могущих распространяться в данной системе; ниже будет получено характеристическое уравнение, которое позволит найти интересующие нас волновые числа.

Самосогласованная система уравнений, определяющая неиз вестные h и i|5 (х, у), складывается из выражения для поля, возбуж

даемого током вида (6.01), и из выражения для переменной

плотности

тока, возникающего

в электронном пучке под действием этого поля.

Для вывода уравнений применим сначала теорию возбуждения

волноводов,

а именно формулу

(5.59), в которой

учтем только

поле

CSES

одной

синхронной

волны

(hswh)

и квазистатическое

поле

(5.69). В силу 2-го предположения

для нас важна

лишь продольная

составляющая переменного

электрического

поля,

именно

Ег

= СаЕа,г~^-.

(6.04)

Представляя

составляющую

Е s,z

синхронной

волны в виде

£ в , г = £в °.2 <рв (*,0)е'Л «*,

(6.05)

где

£",2—постоянная,

по формуле

(5.12)

получаем

(считая

tp_s =cps )

F-s, г

—ih.

ф в =

^s^dS,

(6.06)

i(h-hs)

в У е - ' Л « * .

так

что

С'Е»,г=г~-гт

Щ—Ч.Ч.(х, У) J (г)-

(6.07>

i{h—hs)

При

h&hs

поле

синхронной

волны

велико — в этом и проявляется

пространственный

резонанс.

Потенциал квазистатического поля можно представить в

виде

Ф(х, у, z ) =

<JG(x,

у; х,

y;z—

z)p(x, у,

z)dV,

(6.08)

где

G — функция Грина,

определяющая

потенциальную

энергию

двух единичных точечных зарядов в данной системе. В силу однород ности волновода G зависит только от z — z, точнее, от | z — z | , так как потенциальная энергия двух зарядов не изменяется при их пере-

становке, а также при замене х, у на х,			у	и наоборот; поэтому функция
G удовлетворяет	условию	симметрии
G{x,	у; х, у;	z—~z) = G(x,		у; х, у;	г—г).	(6.09)
Функция Грина G определяется как решение уравнения
div(egradG)= — 4лб(х—			~х)8(у —у)		8 (г — г),	(6.10)

левая часть которого при отсутствии диэлектриков (при е = 1 ) есть просто лапласиан AG. На внутренней поверхности однородного вол новода естественно ставить граничное условие G = 0. При рассмотре нии спиральной и гребенчатой структур это же условие обычно ставят на внутренней (ближайшей к пучку) поверхности структуры, считая, что по отношению к квазистатическому полю пространственного заря да сетчатая, перфорированная или гофрированная поверхность экви валентна сплошной цилиндрической поверхности*. В особых случаях целесообразно применять более сложные граничные условия.

Согласно формулам (2.13), (6.01) и (6.02) переменная плотность заряда равна

Р = —	~	= —	Ч(х,	У)~-	— ^{х,	y)J(z).	(6.11)
to	аг	ico		dz	со
Подставляя это выражение в формулу (6.08), получаем
Ф(х, у, z) = —J(0)		[G(x,	у;	х, у;	z-~z)^(x,	y)e^dV.	(6.12)
со		J

К выписанным выше электродинамическим соотношениям (в кото рых поле выражалось через токи и заряды) следует добавить еще одно соотношение для однородного пучка, вытекающее из уравнения движения и уравнения непрерывности (невозмущенная скорость ve и невозмущенная плотность ре постоянны):

/ = _ ІЕ _			Ег,		(6.13)
J z	4 я		(h~-he)2
где введены величины
Л . = — . Л , —		^ . » р = і / ^ ,			(6-Й)
ve		ve	V	т

имеющие следующие наименования: he — электронное волновое число, hp — плазменное волновое число, сор — плазменная частота.

* Просачивание статического и квазистатического полей от зарядов, рас положенных внутри спирали, через ее поверхность ограничивается расстояни ями, меньшими периода. Просачивание переменного поля через ту же спираль в общем случае зависит от структуры поля и может быть весьма значительным (не надо забывать о том, что спираль можно трактовать как анизотропно прово дящую поверхность, причем эффективная проводимость поперек витков прак тически равна нулю).

Соотношение (6.13) показывает, что воздействие поля бегущей волны на электроны при hmhe также имеет резонансный характер. Подобный двухсторонний резонанс в пространстве есть главное преи мущество приборов с длительным взаимодействием.

Прямой вывод соотношения (6.13) дан в задаче 1. Наиболее корот ко его можно вывести, опираясь на формулу для диэлектрической проницаемости электронного газа в покоящейся плазме

е „ Н =	1 — 'И",	(6-15)
в которой под действием переменного поля возникает		переменный
ток с плотностью
U = -ШРг = - к о	*»•(«>>-- Е г і	( 6 . 1 6 )

поскольку в направлении оси г электроны перемещаются свободно. Здесь Pz — составляющая вектора поляризации плазмы, т. е. диполь-

d P z

ного момента на единицу объема, и производная -щ- как раз дает плотность тока. Заметим, что в формуле (6.15) движение ионов не учтено, поскольку на сверхвысоких частотах оно пренебрежимо мало влияет на диэлектрические свойства плазмы. Точно так же в линейной теории приборов типа О влияние ионов (если они и присутствуют в пучке) можно не учитывать, если мы уже сделали какие-то пред положения об электронном пучке в отсутствие сверхвысокочастотных полей. Более существенно то обстоятельство, что электроны дви жутся со скоростью ve, и поэтому эффективная частота поля, дейст вующего на электрон, равна

	сое = со —hve.	(6.17)
Если h =	(дій, где и — фазовая скорость волны, то эта	формула
принимает	вид

^ - . ( i - f )

и выражает эффект Допплера (см. задачу 1 к 4-й лекции). В общем случае мы имеем

е-<**--•) = е - п р и z = v„t,

откуда и следует формула (6.17). Беря в формуле (6.16) ггг (сое) вместо ezz (со), приходим к соотношению (6.13).

Подставляя выражение (6.04) в соотношение (6.13) и учитывая формулы (6.02), (6.07) и (6.12), получаем интегральное уравнение

гр(х, у) + ^К(х,

у , х, у ; h)^(x,

y)dS = 0

(6.18)

для функции (х, у), определяемой формулами (6.01) и (6.03). Ядро этого интегрального уравнения

К(х, у; х, у; h)=		—~	(A —	he)2	(h -	A.) N,
		4л	(A —	he)2	(h -	A.) N,
					Щ^-чЛ. У) Ф . ( , у) +
+ —		Г G(x,		у; х,	у;	г)е	l h z dz		(6.19)
	ю	J
симметрично
К{х,	у;	х,	у; h) = K(x,			у; х,	у;	п),
как следует из формулы		(6.09). Однородное интегральное уравнение
(6.18) имеет нетривиальные			решения		(х, у),		г\|)2	(х, у),	... лишь при
некоторых значениях	hi, /і2 ,			эти собственные				функции -ф (х, у) и

собственные значения h дают нам электронные волны в данной системе. Часто наряду с интегральным уравнением (6.18) удобно исполь

зовать для функции -ф (х,		у) дифференциальное уравнение
		A 4 + g 4 > = 0,				(6.20)
в котором			д2	,	д2
		А*				(6.21)
			дх2		ду2

есть двухмерный	оператор	Лапласа,			а поперечное	волновое число
	g = V{h-h)B„				(©,)	(6.22)
зависит от продольного волнового числа h. Функция						ezz (со) опреде
ляется формулой	(6.15), по существу				это есть составляющая тензора

диэлектрической проницаемости плазмы в бесконечном магнитном поле (гхх = гуу = 1, остальные составляющие равны нулю). По перечное движение электронов, о котором говорилось выше, можно учесть, беря диэлектрический тензор электронной плазмы в конечном магнитном поле; это сильно усложняет все соотношения. Вывод урав нения (6.20) дан в задаче 2.

Отметим, что электронный пучок можно характеризовать диэлек трической проницаемостью или диэлектрическим тензором, но при ve=£0 эти величины зависят от эффективной частоты (6.17), т. е. не только от частоты со, но и от волнового числа h. В общем случае за висимость электрических свойств вещества от волнового числа назы вается пространственной дисперсией; она характеризуется тем, что электрическое поле, действующее на вещество в данной точке, вызы вает электрические токи не только в ней, но и в других точках, т. е. связь между током и полем не имеет локального характера. В нашем случае возмущения, вызванные полем в пучке, «сносятся» вдоль пучка благодаря движению электронов со скоростью ve, и поэтому прояв ляются вдали от точки приложения поля.

В дальнейшем дифференциальное уравнение (6.20) мы будем использовать в основном при изучении свойств функции г|) (х, у) при наличии симметрии вращения. Используя же интегральное урав нение (6.18), удается построить общую теорию электронных волн не зависимо от формы электронного пучка и граничных условий на по верхности замедляющей системы. Как уже отмечалось, наибольший интерес представляет вычисление волновых чисел электронных волн: нам нужно знать, какие электронные волны распространяются в вол новоде с пучком, какое при этом получается усиление или ослабление, какие фазовые соотношения. Для определения волновых чисел элект ронных волн можно вывести характеристическое уравнение, корни которого являются стационарными функционалами (в смысле вариа ционного исчисления)функции "ф (х, у) и, следовательно, слабо зависят от вида этой функции; а именно, умножая обе части интегрального уравнения (6.18) на функцию -ф (х, у) и интегрируя по поперечному сечению электронного пучка Se, получаем уравнение

где				Е(Л, я\|>] =			0,		(6.23)
где
			Е(Л, Ч>]=		^ ( х ,		y)dS	+
					Se
	+	§К	(х,	у, х, у;	h) г\|) (*,		у) ф (х,	у) dSdS	(6.24)
есть	функция	от h и функционал				от г\|>.
	Уравнение (6.23) и есть нужное нам характеристическое уравне
ние:	оно определяет			волновое	число		h, соответствующее		функции
•ф (х,	у), причем если функция i\|5 (х,					у) нам известна с некоторой малой
погрешностью		6т\|), то погрешность				в волновом		числе h будет	порядка
(6ij))2; это показано			в	задаче 3.

б. УСРЕДНЕННЫЕ ПОЛЯ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Характеристическое уравнение (6.23) выбрано выше из чисто математических соображений, связанных со стационарностью. Его можно вывести несколько иным путем, позволяющим лучше понять физическую сторону дела и получить выражения для полей, которые можно обобщить на случай нелинейных режимов (см. 7-ю лекцию). Положим

Е 2 = \Ez^dS,

(6.51)

т.е.образуем усредненную продольную составляющую электрического поля по сечению пучка, используя в качестве весовой функции функцию of) (х, у), определяемую формулами (6.01) и (6.03).

124

Подставляя в формулу (6.51) выражение (6.04) и используя вы ражения (6.07) и (6.12), получаем

		2{h		— ha)	mS	J,		(6.52)
		2{h		— ha)	mS
где
	Я . =	-	^ % ^		Ф ! ,			(6.53)
				со ™ s
	Г = ^		-	[G(z)e"»dz,				(6.54>
		4л		J
	_ 1 _			= j 4 2 d S ,				(6.55>
	5
G (z) = Ц G (*, у;		*,		y; 2) * (, 40 Ч> (,			dS dS.	(6.56)
Величины i?s , Г, S, G, введенные в результате усреднения, имеют
следующий смысл: S — эффективная					площадь поперечного			сечения
электронного пучка,	Rs — удельное				сопротивление		связи	пучка и
волны, определяющее эффективность взаимодействия пучка								и волны,.
Г — коэффициент депрессии		сил пространственного					заряда,	характе
ризующий изменение	поля	пространственного заряда при						переходе
от бесконечно широкого пучка			к пучку конечного сечения, G — усред

ненная по двум сечениям электронного пучка функция Грина, опре деляющая потенциал квазистатического взаимодействия этих сече ний. Читатель сможет уяснить этот смысл по мере чтения этой лекции и решения задач к ней (см. задачи 4—7 и 13—15).

Усреднив таким же образом	соотношение (6.13),	получим
Е ы	it^Lj.	( 6 .57>
то	hp

Приравнивая усредненные поля (6.52) и (6.57), придем к характеристи ческому уравнению, совпадающему с уравнением (6.23), которое мы получили выше из иных соображений.

Это характеристическое уравнение можно записать в следующем развернутом виде:

(А — Л.) [(Л—KY—T{h)h*p ] = — г3hi,		(6.58)
где безразмерный параметр
^	я . 4 -	( б - 5 9 >
8 я	he
определяет связь между электронным	пучком и синхронной волной и

называется параметром усиления. Заметим, что в литературе часта параметром усиления называют параметр

С = е ^ у / 3 ,

(6.60)

125

при hs = he совпадающий с є. Однако в общем случае, при hs « he, удоб нее использовать параметр є, так как он не зависит от скоростей волны и пучка; в частности, в лампах с периодической электростатической фокусировкой е = const, а С меняется вдоль лампы (см. задачу 5).

Перейдем теперь к исследованию характеристического уравнения (6.58), определяющего главные свойства лампы в линейном режиме. При постоянных є и Г это уравнение — кубическое и поэтому имеет

три	корня, т. е. дает три электронные волны*,						из которых одна при
некоторых		условиях		является	нарастающей		(Im h < 0). Однако
на	самом	деле	уравнение (6.58)			является	трансцендентным, так
как	величины		є и	Г зависят	от	h: они получаются в результате

усреднения и потому зависят от функции г|з (х, у), а через нее и от h. В большинстве случаев ввиду стационарности h как функционала от г|) этой зависимостью можно пренебречь.

Вместе с тем, из формулы (6.54) видно, что величина Г непосред ственно зависит от К. Преобразуем эту формулу, учитывая, что усред

ненная по сечениям	функция	Грина		G удовлетворяет уравнению
d2G(z) ^ _ і я _			[ б	( 2 ) _ _ д ( 2 ) ] )	( 6 6 1 )
	гіг2
где
G (г) = — А - Л	A' G (х,	у; х,	у; г) ф (х, у) г\|> {х, у) dSdS.		(6.62)

"Se

Соотношение (6.61) получается непосредственно из уравнения (6.10), если умножить обе его части на г|з (х, у) і|з (х, у) и проинтегрировать по двум сечениям, полагая

Д = Д ' + - ^ - .

(6.63)

Используя соотношение (6.61), с помощью интегрирования легко преобразуем формулу (6.54) к виду

		оо	,	оо
Г ( Л ) =	—	f ^-e-ih*dz=l~		[b(z)e-ihzdz. (6.64)
	4я	J	dz2	J
		— oo		—oo

Примерный вид функций G и G изображен на рис. 6.1: функция G (z) имеет при z = 0 скачок производной, функция G (г) — логарифмиче скую особенность (см. задачи 13 и 14). Физически ход функции G (z) можно понять, учитывая, что согласно формуле (6.56) функция G (z)

* В литературе часто рассматривают уравнение четвертого порядка, чет вертый корень которого h = — hs (с точностью до слагаемого порядка є3 ) соот ветствует встречной волне, не находящейся в синхронизме с пучком. Поскольку синхронная волна, как мы предположили с самого начала, одна, а несинхронных волн в реальном волноводе много, то выделение одной из них — встречной пред ставляется нерациональным и лишь затрудняет исследование.

представляет потенциал взаимодействия двух бесконечно тонких дис

ков площади Se,	каждый из которых несет	единичный положительный
заряд, закон распределения которого по		диску определяется функ
цией if (х, у); диски отстоят друг от друга		на расстоянии \| z \ .
п	dG (г)

Первая производная — - 1 взаимодействия между дисками; это — нечетная функция z, по этому при изменении знака z (например, при обгоне одного диска другим) она меняет знак. Если линейный поперечный раз мер системы а (например, ра диус спирали) много больше по перечного размера электронного пучка Ъ (например,радиуса пуч ка), то можно выделить три ха рактерные области изменения усредненной функции Грина:

1) G(z) =

определяет силу квазистатического-

Рис. 6.1. Вид функций G и G.

при | z | < & ,

2)	G(z) = С,	при	b<t\z\<ta,	(6.65)
3)	G(z) = =C4 e-!f t ?2 l	при	I z j > a,
где C0, Clt C2 и C3	— постоянные. В	1-й области диски		взаимодейст

вуют как две бесконечные плоскости, во 2-й — как два точечных заря да в свободном пространстве, в 3-й — посредством затухающей волны с наименьшим по абсолютной величине волновым числом h\ (на нуле


вой частоте, см. задачу			6 к 5-й лекции).
	Формулу (6.64) можно			переписать в		виде
			Г = 1 — 2 ^ G (z) cos hzdz,				(6.66)
поскольку		G — четная	функция		г.
	Если	G — убывающая		положительная		функция \| z \| ,	как	на
рис.	6.1, то интеграл		в правой		части (6.66) положителен,		так	что
Г <	1. Предельный случай			Г =	1 соответствует плоской электрон

ной волне в неограниченном пучке, для которой согласно формуле

(6.62) G =		0 (см. также	задачу	7). С другой стороны, из соотноше
ния	(6.61)	вытекает тождество
		J	G{z)dz =	2\G{z)dz=\,	(6.67)
так	как	— оо		0
так	как
		со			оо
		Г І ! £ & = ^ - ( о о ) ~ - ^ ( - о о ) = 0 ,			Г б ( 2 ) & = 1 .

dz*

dz Х

dz К

В силу неравенства

J G(z)dz>^

G(z) cos hzdz,

оо

-справедливого при вещественном h и убывающей положительной функции G (г), минимальное значение Г, равное нулю, реализуется при h = 0, что соответствует бесконечно длинным волнам или бес конечно тонким электронным пучкам. Таким образом, при наложен ных выше условиях на G коэффициент Г есть монотонная функция hb (b — поперечный размер пучка), равная нулю при hb = 0 и еди нице* при hb = оо. Функция G в принципе может и не удовлетворять этим условиям, например быть комплексной из-за комплексности гр (х, у); тогда свойства Г изменятся.

Таким образом, коэффициент депрессии Г показывает, во сколько раз нерезонансное поле, усредненное по конечному сечению пучка, помещенного в данный волновод, слабее поля в бесконечно широком пучке. Мы рассматривали только квазистатическую часть нерезонанс ного поля, которая определяется функцией Грина G, удовлетворяю щей нулевому граничному условию, т. е. такой же, как в идеальном однородном волноводе. В некоторых особых случаях (например, когда коэффициент Г, вычисленный таким образом, оказывается малым) подобное упрощенное рассмотрение оказывается недостаточным, и сле дует учитывать «динамические поправки» (которые могут сделать коэф фициент Г отрицательным). Подробнее эти вопросы рассмотрены в при ложениях V и V I .

Согласно приведенным выше формулам коэффициент депрессии даже без учета динамических поправок является сложной функцией волнового числа h. Однако при обычных для электронных приборов значениях параметра усиления ( є ^ О , 1) и плазменной частоты (сор <со) это волновое число мало отличается от невозмущенных волновых чисел he или hs. Поэтому обычно вместо Г (К) можно брать Г (he) или Г (hs) или же пользоваться более точным выражением

Г (h) = Г (Ае) + ah (he) (h-he).

(6.68)

Характеристическое уравнение (6.58) при е = 0, т. е. при от сутствии свази пучка с синхронной волной, имеет три корня

Ы , и А = ^ № .

(6.69)

Первый корень соответствует невозмущенной волноводной волне, два других — волнам пространственного заряда; их волновые числа

* Это справедливо, если функция гр не изменяется при росте hb (например,

постоянна по сечению). В противном случае предельное значение Г иное [см. приложение V, формулу (V.68)].

можно

представить

виде

h +

= ю

l0i

to — с о ?

(h-)

(6.70)

где

величину

<oq (h) = fT

(ft) cop

(6.71)

обычно называют эффективной (или редуцированной)

плазменной ча

стотой пучка,

а величину R (ft) = "|ЛГ (ft) —

коэффициентом редукции.

Как

уже

отмечалось,

обычно

Ь\

0 < Г ( А ) < 1 ,

0 < Д ( А ) < 1 . '

(6.72)

Для

неограниченного

пучка

Г (/г) =

R (ft) =

1 и

сод =

сор .

Для

ограниченного

же пучка

Г (ft) есть

обычно

возрастающая

функция

А, поэтому aq

(со9 < ; сор) зависит от ft

так,

как

показано

на

рис. 6.2.

Здесь

мы

опять имеем дело с пространственной

диспер

сией

(см. стр. 123),

но

причина

ее уже

не

в движении

электронов, а в ограниченности

пучка. Дело в том, что

при переходе

к си

стеме координат, движущейся со скоростью ve

вдоль оси z,

каждая

волна пространственного

Рис.

6.2. Зависимость

заряда

приобретает

(см. задачу 9)

вместо ис

со„ от

п.

ходной

частоты со частоту сод

(ft) и

зависи

мость со? от ft обусловлена тем, что модуляция пучка

в данном

сечении

возбуждает

(вследствие краевых эффектов) электрическое поле

также

в соседних

сечениях.

Переходя к общему случаю гфО, будем использовать аппрокси

мацию (6.68), при которой характеристическое

уравнение

(6.58)

остается

кубическим.

Полагая

hs = he(\+£t),	h = ha(l+ei\)
СОр	Л = А(Ае ) =	din Г
= Г(А.) - 1		d In h
ЄС0

получаем характеристическое уравнение в виде 01-S) [ г і 2 - а 2 ( 1 + є Л г | ) ] = - 1 ,

(6.73)

(6.74)

(6.75)


где	комплексный параметр					\|	= £' + г£" (V —• параметр			скорости,
\ " — параметр			затухания)			и	параметры а 2 и Л а 2 (параметры				про
странственного			заряда)		заданы,			а комплексная	величина	т] =	V +
+	щ"	ищется. Обычно			Г есть			положительная	возрастающая		функ
ция ft, поэтому как а 2 , так и Л а 2								— положительные величины (исклю
чения рассмотрены				в приложении V).
	Остановимся кратко на основных результатах численного иссле
дования		уравнения		(6.75).

5 Зак. 1123

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4113 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ