Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Дифференциальное уравнение для						как легко видеть, удовлетворяется. Кро
ме того, квадратная скобка				в формуле		для	Ип	содержит выражение,			которое
при	Y = 0 и Y = D		обращается в нуль, так что граничные							условия	для ЇІп
также удовлетворяются. Выражение для 11й							получаем, полагая nh -* 0, в виде
			(Y)-—Gt(D),			G0(Y) =			\g0(y)(Y-y)iy
		Щ 0О =	СЙ* G 0 (У)		D G 0 (D)				о
частности,									о
частности,
									Л/-
	Проанализируем смысл			последнего		выражения,			Мы имеем
	D		2л D						Л D
		go ІУ) dy=	1	g(x, y)d(hx)dy			=	—^ \ (х,		(/) dxdi/r
	J	go ІУ) dy=	—	g(x, y)d(hx)dy			=	—^ \ (х,		(/) dxdi/r
	J		2л						о о
	О		0	0
где	Л = 2л/Л—длина		медленной		волны. Поэтому
где	Л = 2л/Л—длина		медленной		волны. Поэтому
				Юр	go(y)dy=		hq,
где					AD
					AD

= ^ Р(х, y)dxdy

6о

—погонный заряд электронного облака (на единицу длины оси г). Кроме того, еличина

j go (У) ydy

Y = - D

J go (У) dy

есть ордината центра тяжести (центоа заряда) электронного облака. Поэтому окончательно

	2е		/	7
	^ ( 0 ) = - - f t g		( l - -
Отрицательность этой величины означает,			что пространственный		заряд создает
силу, направленную	к катоду.
4. Найти время усреднения при получении				различных соотношений, вы
веденных в данной	лекции.
Р е ш е н и е .	При точном синхронизме следует усреднять по периоду об
ращения 2л/1 й \|, поскольку нужно уничтожить слагаемые е ± ' я г ;					одновременно
уничтожаются и слагаемые е ± 2 ' й ' , e ± 3 l Q		t	и т. д.; это явно записано в формулах
(4.29). Формулы (4.29) можно получить,		не переходя к комплексному перемен
ному, а разлагая F* в ряд по степеням £ =			Р е -	, а ' и интегрируя почленно так,

как это сделано при выводе более частных формул (4.18); впрочем, такое почлен

ное интегрирование — это как раз тот прием, с помощью которого	выводится
формула Коши.
При более сложных условиях (4.20) и (4.22) время усреднения то же.
5. В лекции показано, что пространственный заряд постоянной	плотности

изменяет орбитальное движение — угловая скорость обращения уменьшается. В связи с этим проанализировать движение электрона в поле пространственного

заряда с плотностью р = const	< 0, потенциал которого определяется выра
жением
ф = _ я р \| г \| 2 = — я р ( х 2 ф < / 2 ) ,
полагая
z = a e - ' 0 e ' + p e - ' Q P ' ,		\| Q e K \| Q p \|
и считая а и Р постоянными.
Предполагая, что быстрое	движение с угловой скоростью йр		подавлено
(Р = 0), решить задачу о круговом движении		электронного облака	при учете

его пространственного заряда (обобщенное решение Бриллюэна). Выяснить смысл

условий (4.66)—(4.68) применительно к этой			задаче. Показать, что при условии
(4.61)	йр совпадает	с величиной (4.60). Исследовать движение электрона при
fia =	йр.
	Р е ш е н и е .	Мы имеем
		Ех = 2прх, Еу =	2яру
и

так что комплексное уравнение движения (4.03) принимает вид

т. е. в данном случае уравнение движения линейно. Ищем решение этого уравнения в виде 2 = е ^ и для Ир получаем квадратное уравнение

Й2 - Й Й р ^ с о 2 = & ,

которое имеет два корня

которые при условии
2 ю 2 < Й 2	(а)
удовлетворяют неравенству ] й а \| < \| йр \|. При условии (4.61)
так что йр совпадает с величиной (4.60); при условии
2со2 = Й2	(Ь)
	91

мы имеем Я а =	Яр = Я/2 и общее решение уравнения движения не представ
ляется в виде	суммы двух экспонент,	а имеет, как легко показать, следующий
вид:
		- 4 '
	2 = (a +	pY)e

Таким образом, при достаточно больших t мы получаем движение по архимедо вой спирали, т. е. движение с угловой скоростью — Я/2 и радиусом-вектором,

растущим			пропорционально	t; если в начале движение близко	к	круговому
(Р мало), то при больших t				оно сильно отличается от кругового. Если*же вы
полняется условие (а), то Я а				Ф Яр, и при малых значениях Р движение близко
к круговому (радиус \|се \|, угловая скорость — Я а ) при любых t.
	При		условии
				2к>2 > Я 2		(с)
величины Я а и Яр становятся комплексными и каждое слагаемое					(ае	'Q<xt или
Ре	^	) представляет собой движение по логарифмической спирали				(скручива
ющейся		или раскручивающейся). Иначе говоря, при условии (с)			периодическое
движение			невозможно.
	В данном случае характер движения изменяется при условии (&), а не при

условии (4.68); это показывает, что в определении критической плотности имеет ся некоторый произвол: согласно формуле (Ь) критическая плотность вдвое мень ше, чем согласно формуле (4.68).

Полагая Р = 0, получаем круговое движение с угловой скоростью — Я а . Если все электроны обращаются с этой скоростью, то получается круговой по ток, который может существовать при условии (а) и движется в поле своего про

странственного заряда (поскольку потенциал Ф удовлетворяет уравнению			Пуас-
\ т-1	/ \	•	—ІЙСЄ і
сона). При условии (с) круговой поток невозможен, так как решение г =		а е

уже не дает кругового движения. При условии (Ь) круговой поток возможен, но неустойчив, поскольку, как показано выше, неустойчиво даже движение инди

видуального электрона в заданном поле.

6. В дополнение к предыдущей

задаче исследовать движение

электрона

в поле, потенциал которого равен

Ф = — 2яр# 2 ,

p =

const<0 .

Такое

распределение

потенциала

реализуется

плоскопараллельном

слое

—Уо <

У < Уо с однородной плотностью заряда. Разложить движение на

орби

тальное и дрейфовое, сравнить с результатами,

полученными в лекции, а также

с формулами (3.05) и (3.06).

Р е ш е н и е .

данном случае

уравнения

движения (3.04)

принимают

вид

х—Qy

Ял:= щ>у.

Первое уравнение

дает

х = Я</ +

v0,

где v0

— постоянная

(для данного электрона). Второе уравнение принимает по*

этому вид

+ Q2py + Qv0 = 0, Я р = У я 2 - ( о 2 ,

откуда

Qv0

y=——^-

+ AcosQpt

BsinQpt

hip

p v

* = *o—

n 2p° / +

—(AsinQpt—BcosQpt),

где А,

В n x0 — постоянные интегрирования.

Полученные выражения можно записать в виде

х = х±х,

у = у + у,

где слагаемые

X = = XQ	t, у=	Qv0	=const	(	)

определяют согласно первой формуле (3.10) дрейф по оси х под действием уско рения fy, а слагаемые х, у, соответствующие орбитальному движению, можно за писать в виде

х = —- r0 cos (—Qp t -f Фо). У = го si п (—• Q p t + Фо).

где г0 и фо — новые постоянные, которые легко выразить через Л и В. Сравни вая с формулами (3.05) и (3.06), мы видим, что в данном случае орбитальное дви


жение	происходит не с периодом		2я/\| Q \|, а с большим периодом 2n/Qp , причем
не по окружности,		а по эллипсу с отношением осей Q : Qp. Лишь при условии
Q2 >	со2 , когда	Q ж Qp, орбитальное движение		приобретает свой классиче
ский вид и сводится к движению			по окружности.	Если со2 '> Q2 , то частота Qp

мнима и формулы для х и у вообще не определяют периодического движения. Таким образом, характер движения в данном поле изменяется при переходе

плотности через критическое значение (4.68). Интересно также отметить, что при условии (4.61) мы имеем

что согласуется с формулой (4.60).

7. Рассмотреть движение электрона в поле с потенциалом Ф, взятым в пре дыдущей задаче, при условии (4.68). Показать, что в этом случае «чистый» дрейф

по оси х возможен, но неустойчив.
Р е ш е н и е .	Мы имеем
	y = y0 + wKt——Qv012,
	2	6
где х0, Уо, Со и w0	— постоянные. Таким образом, равномерное движение (дрейф)

по оси х неустойчиво: при малых возмущениях начальных условий на него накла дываются равномерное и равномерно ускоренное движения по оси у и еще более

сложное движение по оси х, которые при достаточно больших				t	полностью из
меняют характер движения (см. задачу 5).
8. Исследовать движение	электрона	в поле,	потенциал	которого равен
Ф = — 2лp (xu x2	+ 2xi2 xy +	X22 У2)>	P = const < 0,
где безразмерные величины	постоянны. При условии

потенциал Ф удовлетворяет уравнению Пуассона. Особое внимание обратить на движение при условиях (4.67) и (4.68) и различных знаках детерминанта

%П %12 Xl2 %22

Сравнить с результатами, полученными в задачах 5 и 6.

Р е ш е н и е . Мы имеем

поэтому уравнения (4.01) принимают вид

x—Qy=	со2, (%цХ +Х12У),			У + ®х'= сор (Х12 х		%22 у).
Это — линейная система,		частные решения которой удобно искать в виде
x = R e		-«'йп<1		^	1„ _-Ш„<1
		{Ле	' * ' } ,	(/ = R e { s e
где частота Qp неизвестна. Для комплексных постоянных						А к В получается си
стема уравнений
(Q2P	+ К	*п)А	+ (-	iQQP±®1	Х1 2 ) В =	0,
	(iOQp	+ <111г)А + (Q + с о ^ 2 2 ) 5 = 0,

а для Qp — характеристическое уравнение

3 p + ( < o * - a s ) f i p + x « > p = o ,

где

Х=ХііХга — Хіг-

Отсюда

Ql = j [ ^ - c o U l ^ - c o p f - 4 Х с о Р ] •

При условии (4.61) и знаке « + » получаем

2Q2

в соответствии с формулой (4.60); причем знак самой величины Qp на переменные х и у, как легко показать, не влияет. При условии (4.61) и знаке «—» получается

величина Qp, малая по сравнению		с й , которая	определяет	не быстрое орби
тальное движение, а медленный дрейф в поле с потенциалом Ф.
Поведение обеих величин	й 2	(при знаках	«±») зависит	от знака %. При
X > 0 эти величины совпадают,	если
(14-21/0 со2 = Й 2 .
Потенциал, взятый в задаче 5, соответствует значениям
Х1 1 = Х2 2 = ^-,	Z i , = 0, Х = Д ,		l+2f]/x = 2,

.а потенциал, взятый в задаче 6, — значениям

Х п = 0, Х а а = 1 , Х 1 2 = 0, Х = 0, 1 + 2 У Х = 1 .

При х < 0 подкоренное выражение в формуле для Й 2	всегда положительно, ко
рень со знаком «+ » всегда удовлетворяет условию й 2	> 0, а корень со знаком

«—» условию й 2 < 0. Иначе говоря, орбитальное движение существует при лю бом отношении <о2 /йа , и на него накладывается дрейф, который формально пред ставляется как движение с мнимой величиной Qp. Такой дрейф, как можно по казать, происходит по гиперболам.

При х > 0 эквипотенциали Ф = const суть эллипсы, при X < 0 — гипер болы, при х = 0 — прямые. Линии дрейфа совпадают с эквипотенциалями толь ко, если величина Qp, соответствующая дрейфу (знак «—» в выражении для й 2 ) , удовлетворяет условию | Qp | < | й |; тогда в уравнениях для дрейфа можно пре небречь слагаемыми х и у (т. е. слагаемыми Я 2 по сравнению с й й р ) , и мы полу-

чим дрейфовое приближение (ср. с 3-ей лекцией). В силу линейности уравнений движения орбитальное движение накладывается на дрейф, никак на него не влияя.

9. Квадрупольное поле с потенциалом

		ф = С(х2	— у2),			C = const,
удовлетворяющим уравнению Лапласа, приводит к выражениям
	fx=—	м 2 * ,	/у = Сй2>,			со2 ==2 — С
						т
для составляющих ускорения. В этих выражениях для определенности								считать.
со2 > 0. Получить точное решение уравнений движения (4.01) в этом поле и									срав
нить с тем, что дает метод усреднения. Выяснить значение условия							(4.12). Вос
пользоваться решением предыдущей задачи.
Р е ш е н и е .	Если положить
	со2 = ш 2 , Х п = - 1 ,				Х „ = 1 , Х 1 2 = 0,
то можно воспользоваться		решением		предыдущей задачи. Надо только					иметь
в виду, что сейчас
		^11+^22=		0?	X = — 1 ,
поэтому характеристическое уравнение имеет вид
		Я*—Я2 Я2 —0)4 = 0
и его корни определяются выражением
		йр = ~	(Я2	± У й 4 + 4со*),
которые при знаке	«+ » соответствуют				орбитальному движению, а		при		знаке
«—» дрейфу вдоль гипербол. В данном					случае \| grad / \| — со2 , поэтому			условие
(4.12) принимает вид
			со2 <		Я 2 .

При выполнении этого условия, как легко видеть, орбитальное движение проис ходит с угловой скоростью Я, а дрейф — по эквипотенциалям Ф = const.

10. В задачах 5—8 исследовано движение пробного электрона в поле про странственного заряда с постоянной плотностью р < 0 (электрон в электронном облаке). Исследовать движение при изменении знака р (электрон в ионном об

лаке). Особое внимание обратить на движение при Я							0 и сравнить с тем, что
получается при р <				0.						±i \| сор \|.
		Р е ш е н и е .		При р > 0 получаем	со2 =	— \| сор \| 2		и сор =
В задаче 5 Я а и Яр всегда вещественны, причем Я а						р = ±		\| о) Р \| при Я = 0,
В	задаче 6 величина			Яр также всегда вещественна,			причем	Яр =	±	\| Wp \| при
Я	=	0. В обоих случаях периодическое «орбитальное» движение							и устойчивый
дрейф			возможны при любом отношении \|сор\|/Я, в противоположность случаю
р <		0.	В задаче 8 все зависит от значения		%: если		% <	, то периодическое
движение всегда возможно и его частота при Я = 0 равна
				Я р = ± \| с о р \| \| /			:
Если		же % > V4, то периодическое движение возможно лишь при условии
				Я2 > (2"1/Х— 1) \| Шр I 2 .

fe5

С П И С ОК ЛИТЕРАТУРЫ К 4-й ЛЕКЦИИ

1. П. Л. К а п и ц а . Электроника больших мощностей. Изд-во АН СССР,

М., 1962.

2.В. Е. Н е ч а е в . Об адиабатическом приближении при анализе приборов магнетронного типа. «Известия вузов», Радиофизика, 1962, т. 5, стр. 1035— 1037.

3. Ф. С. Р у с и н.		Условие устойчивой	генерации в ниготроне. В сб. «Элект
	роника больших	мощностей», вып. 6.	Изд-во «Наука»,	1969, стр. 37—41.
4.	Г. П. П р у д к о в с к и й. Движение электронов в двухрядном ниготроне.
	В сб. «Электроника больших мощностей», вып. 4.			Изд-во «Наука»,	1965,
	стр. 212—242.
5.	S. P. Y u, G.	Р. К о у е г s, О.	B u n e m a n .	J . Appl. Phys.,	1965,

v. 36, № 8, p. 2550—2559.

Л е к ц и я	5
ВОЗБУЖДЕНИЕ ВОЛНОВОДОВ
Во многих электронных приборах используются замедляющие си
стемы — волноводы, в которых могут распространяться медленные
волны (фазовая скорость существенно меньше скорости света с).
Замедление, в принципе, может достигаться частичным заполнением
поперечного сечения диэлектриком		или применением импедансных
границ, но фактически все замедляющие системы, используемые на
практике, являются периодическими волноводными структурами,
выполненными из металла. В приборах с криволинейными пучками
используются и обычные волноводы с гладкими стенками.
Все это заставляет рассмотреть общую задачу о возбуждении волно
водов — как однородных, так и периодических. В первой части лек
ции будет приведено решение этой задачи в виде разложения по
собственным волнам. В отличие от решения аналогичной задачи о
возбуждении объемного резонатора (см. 2-ю лекцию) в этом решении
потенциальная часть электрического поля («чистое» поле простран
ственного	заряда) не выделена.
Поскольку	в электронике — да и не только в электронике — выде
ление потенциального(квазистатического) поля имеет большое зна
чение, целесообразно произвести это выделение в возможно более
общем виде. Это сделано во второй части лекции, что, как мы уви
дим в следующей лекции, сильно облегчает вычисление поля про
странственного заряда в лампе с бегущей волной и аналогичных
приборах.
а. РАЗЛОЖЕНИЕ П О СОБСТВЕННЫМ		В О Л Н А М
Рассмотрим сначала волновод,		однородный по оси г, поле

в котором отлично от нуля только внутри цилиндра с поперечным се чением S* и образующими, параллельными оси z. В таком волноводе

могут		существовать	волны,	распространяющиеся в		направлениях
± z .	Волны, распространяющиеся				в положительном	направлении
оси	z,	характеризуются полями
		Es	= Е° (х,	y)zih°z,	H s = Н° (х, у)e'V	(5.01)

и волновыми (продольными) числами hs, определяющими зависимость от г; волны, распространяющиеся в отрицательном направлении оси 2, — полями

Е_, = Е1*(*, y)eth-*',

H _ s = H l s ( x , y)elh-sz

(5.02)

и волновыми числами h_s. Формулы (5.01) и (5.02) относятся к фикси рованной частоте возбуждения со, причем волны различных направле ний при учете потерь в волноводе мы различаем следующим образом:

l m / i s > 0 , l m / i _ e < 0 .

4 Зак. U23

При этом индекс	s, нумерующий		собственные волны в		волноводе,
в силу изотропности всех веществ и выполнения теоремы					взаимности
можно всегда выбрать так, чтобы выполнялось условие					h_s=—hs;
составляющие E l s	и H l s в ряде		случаев просто выражаются			через
составляющие Е° и Н£ (см. задачи			7 и 8).
Исходя из однородных уравнений Максвелла в комплексной						фор
ме (временная зависимость, как и раньше,				е - ш )
	rot Е = I & L I H , rot Н = — ikeE,					(5.03)
в которых комплексные		проницаемости
	є =	е (со; х,у),	[л = ц(со;	х, у)		(5.04)

не зависят от продольной координаты г, нетрудно вывести соотноше

ние ортогональности для собственных волн	(см.	задачу	1)
j { [ E s H r ] - [ E r H J } I c i S = 0 при	гф	— s,	(5.05)
s

где 1 — единичный вектор по оси г, a S* — поперечное сечение вол новода г — const.

Искомые поля Е, Н, возбуждаемые электрическим током (моно хроматическим, поэтому мы рассматриваем только комплексные амплитуды), удовлетворяют неоднородным уравнениям Максвелла

	rotE = % H ,	rotH= — tfteE + —		j .	(5.06)
				с
Будем искать магнитное поле в виде
	H = E ( C S H S + C.S H_S ),				(5.07)
	S
где Cs и С_3	зависят только	от г. Так	как Cs и C_s		постоянны при
j==0 (тогда	формула (5.07) дает общее		решение	уравнений (5.03) —

суперпозицию всех собственных волн), то мы по существу применяем метод вариации постоянных, позволяющий решить систему неодно родных линейных дифференциальных уравнений, коль скоро известно общее решение системы однородных уравнений (ср. 2-ю и 4-ю лекции). Подставляя выражение (5.07) во второе уравнение (5.06), получаем

для	электрического		поля выражение
			E = J ( C S E 5 + C _ S E _ S ) -
				S
		~ -т- 2 (-г[ , н ] + ^ г - [,Н-Л) + " J>						(5-08>
		ike	\	dz	dz	І	гсоє
	со = ck.		s
где	со = ck.	Для того		чтобы	упростить	последнюю формулу,		подчи
ним	функции	Cs(z)	и	G_s (z)	дополнительному		условию

2 (тгllH«]+-^jf2-[ , H -J )= vj < >

( 5 -0 9 )

в котором фигурирует поперечная часть плотности тока У (jx, j y , 0). Всю вторую строчку формулы (5.08) нельзя уничтожить по той при

чине, что векторы, стоящие в левой части (5.09), не имеют составляю
щих по оси z. Выражение (5.08) для Е принимает, таким образом, вид
Е = 1 (С, Е, + С . . E_e) + —		(5.10)
s	ІС0Є
где j ' (0, 0, /,) есть продольная	часть плотности тока.
Такие рассуждения типичны для метода вариации		постоянных
[см. формулы (4.07) — (4.10)]. Второе соотношение для		Cs и C_s по

лучаем, подставляя выражения (5.07) и (5.10) в первое уравнение

(5.06). Это	соотношение	имеет вид
	^ П Е 8 ] + - ^ [ 1 Е		Л =	- —	rotЛ.	(5.11)
	dz	dz	j	ко	е
	s
Пользуясь	соотношениями	(5.09) и (5.11),		можно	найти ^	и - ^ г -

Опуская промежуточные выкладки (см. задачу 2), приведем лишь

окончательные		выражения
	^i-	= — []E_sdS,		=	- f j E , d S ,		(5.12)
	dz	Ns і/	s	dz	Ns	J , J s	v
		s				s
в которых	Ns есть норма волны с индексом				s,	равная
		# . = f -	f { [ E 6 H _ s ] - [ E _ s H s ] } l d 5 .				(5.13)
		4л	J,
			Sl
Заметим,	что соотношения		(5.12) по форме		аналогичны		соотношению

(2.17) (см. задачу 5). Для волн, распространяющихся без затухания,

норма Ns	имеет четкий энергетический смысл — она пропорциональна
мощности волны (см. задачу 7).				волновода Zi <
Если	токи	занимают отрезок		волновода Zi <	z <	z2 ,	то из вы
ражений	(5.12)	следует,	что
	С * ( г ) =	л Г l d z	I]E"sdS'	C - s i z ) ^ i r l d z	f j M	S -	( 5 Л 4 )

Можно дать другой, более простой и наглядный вывод этих выраже ний для Cs и C_s . Для этого сначала рассмотрим поле вне отрезка, занятого токами. Очевидно, что

Е = 2 С Д ,	Н = 2 CSHS	при	z > z 2 ,
S	S
E = 2C_S E_S ,	H = 2 0 . S H _ S	при	2 < г ь
S	S

причем Cs и C_s постоянны: справа от токов должны быть волны, распространяющиеся направо и имеющие постоянные амплитуды Cs, слева —: такие же волны, распространяющиеся налево. Применяя

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ