книги из ГПНТБ / Ден Г.Н. Механика потока в центробежных компрессорах

входе в колесо в сечении 0—0 осесимметричен. За обратными направляющими аппаратами в многоступенчатых проточных ча­ стях имеется шаговая неравномерность течения, вызванная умень­ шением скорости в следах за обычно толстыми выходными кром­ ками лопаток о. н. а. За всасывающими камерами осевая симме­ трия потока также отсутствует. Согласно опытам М. Т. Столяр­ ского [54], окружная неравномерность течения перед колесом существенно влияет на его работу, вызывая снижение к. п. д. и сдвиг границы помпажа ступени в сторону больших коэффи­ циентов расхода.

Современные быстродействующие вычислительные машины принципиально позволяют производить расчет пространственного течения идеального газа в колесе путем численного интегрирова­ ния уравнений, описывающих движение. Однако для упрощения решения оказывается целесообразным разделять задачу о таком течении на две менее сложные: задачу об осесимметричном тече­ нии в канале, образованном поверхностями дисков колеса при бесконечно большом числе лопаток, и задачу о расчете течения между лопатками на ряде осесимметричных поверхностей тока, найденных в результате расчета осесимметричного течения.

Если принять, что колесо содержит бесконечно большое число лопаток, то течение в области, занятой лопатками, оказывается вихревым. Простейший случай такого течения рассмотрен в ра­ боте [58]. Расчет потока в произвольном осесимметричном криво­ линейном канале может быть выполнен одним из известных методов, например методом, изложенным в [24]. Выполнение подобного расчета по уже имеющейся отлаженной программе на ЭВМ в настоящее время не представляет затруднений. В ходе такого расчета определяются осесимметричные поверхности тока и скорости на этих поверхностях. После отыскания поверхностей тока вся область течения может быть подразделена на слои, заклю­ ченные между двумя близлежащими поверхностями тока. В пре­ делах каждого слоя допустимо считать скорость течения неиз­ менной по его ширине, тогда течение в каждом слое окажется двухмерным.

Для выяснения некоторых общих особенностей течений через вращающиеся лопаточные решетки, отличающих подобные тече­ ния от течений через неподвижные решетки, рассмотрим связь между абсолютной скоростью потока с в неподвижной системе координат, связанной с корпусом ступени, и относительной скоростью w в системе координат, вращающейся вместе с рабочим колесом с угловой скоростью со. Согласно рис. 1.1,

Если поток перед колесом осесимметричен и скорость в сечении О—0 неизменна вдоль радиуса, то абсолютное течение невязкого

30

Газа перед колесом и внутри колеса с конечным числом лопаток потенциальное (при условии, что движение баротропно, т. е. плотность является функцией только давления или постоянна).

Следовательно, вихрь абсолютной скорости rot с — 0. Но тогда вихрь относительной скорости

и относительное движение оказывается вихревым.

Абсолютное движение газа во вращающейся лопаточной ре­ шетке с конечным числом лопаток является неустановившимся по отношению к неподвижной системе координат. По'отношению к вращающейся вместе с колесом системе координат абсолютное движение стацинарно. Относительное движение при постоянной скорости вращения колеса со также стационарно.

Прежде чем переходить к задаче о течении в осесимметричном слое переменной ширины, рассмотрим течение через лопаточную решетку, расположенную между двумя радиальными плоскостями, перпендикулярными оси колеса и являющимися поверхностями, образующими слой с постоянной шириной /г. В этом случае течение будет плоским и скорость с будет иметь две составляющие — радиальную сг и окружную си.

Уравнения, описывающие движение при малых числах М, можно получить из системы (1.1)—(1.3) и (1.8) или непосредственно из уравнения неразрывности (1.8) и условия потенциальности абсолютного движения. Тогда

Введение функции тока ф, определенной соотношениями:

позволяет заменить два уравнения (2.3) и (2.4) одним уравнением Лапласа

Это уравнение, описывающее течение во вращающейся круговой решетке, оказывается таким же, как для решетки неподвижной. Различия, между задачами о течении через вращающуюся и не­ подвижную решетки заключается только в граничных условиях на контуре лопатки. В неподвижной решетке на поверхности

31

Лопатки проекция вектора скорости с иа нормаль п к контуру лопатки /

Так как функция тока ф определяется с точностью до постоян­ ной, то на контуре лопатки I можно положить

Во вращающейся решетке иа контуре лопатки I, согласно урав­ нению (2.1),

но на поверхности лопатки (рис. 2.1) нормальная составляющая относительной скорости до„ = 0, а ил = ©r sin Рл (Рл — угол между касательной к окружности радиуса г и касательной к кон­ туру профиля лопатки /). Следовательно, на контуре лопатки

Так как, согласно рис. 2.1, dl = dr!sin рл, то на контуре ло­ патки во вращающейся решетке

Касательная составляющая относительной скорости на контуре лопатки вращающейся решетки

Отметим, что в центробежных компрессорах угол рл принято отсчитывать от направления, противоположного направлению окружной скорости и. Для лопаток колеса, загнутых назад

Рл < 90°.

Из формул (2.8) и (2:10) следует, что различие между гранич­ ными условиями на лопатке в неподвижной и вращающейся решетках заключается в том, что для неподвижной решетки эти условия однородны, а для вращающейся —• неоднородны.

Если заменить рассмотрение потенциального абсолютного течения газа во вращающейся круговой решетке рассмотрением

вихревого относительного движения с функцией тока ф, опреде­

32

то вместо уравнения Лапласа для функции тока ф получим урав­ нение Пуассона для функции тока относительного движения "ф

с однородным граничным условием: на контуре лопатки ф = 0. Относительная скорость w связана с давлением р и плотностью

Если пренебречь в уравнении (2.14) изменением плотности р, что допустимо при небольших числах М в потоке, то

Задача о невязком течении при малых числах М во враща­ ющейся круговой решетке может быть сведена к задаче о таком же течении в прямой лопаточной решетке. Для отображения области течения в круговой решетке на внешность прямой ре­ шетки удобно воспользоваться формулами:

При таком отображении (рис. 2.1) круговая решетка с числом лопаток z2, расположенная в плоскости (г, 0), перейдет в прямуюрешетку с шагом tx = 2nr2/z2 в плоскости (х, у):

Уравнения (2.6), (2.13), (2.17) — линейные, поэтому их реше­ ния' могут быть представлены в виде суммы отдельных решений, соответствующих частным случаям обтекания решетки.

Обтекание прямой решетки однородным вдали от нее потоком со скоростью ѵцт соответствует течению, вызванному источником производительностью Q, расположенным в центре круговой ре­ шетки, причем Q — 2лrxcym. Течение со скоростью ѵхсо перед прямой решеткой при у = —оо соответствует потоку, вызванному вихрем интенсивностью J в центре круговой решетки: J = 2nrxvxm.

В прямой решетке, для того чтобы задняя кромка лопатки была местом схода струй, на течение с составляющими скорости схсо

и суа в бесконечном удалении от решетки необходимо наложить циркуляционный поток с циркуляцией скорости Г вокруг каж­ дой лопатки. В неподвижной круговой решетке для выполнения того же условия на течение, вызванное вихреисточником в центре решетки, также требуется наложить поток с циркуляцией Г

представить в плоскости прямой решетки. Это течение, вызванное вращением круговой решетки, обычно называют потоком вытес­ нения, так как оно может быть имитировано системой стоков на ведущей, передней или рабочей сторонах лопатки и системой источников на нерабочей задней стороне. Среда, «вытесняемая» движущейся лопаткой, «сливается под» рабочую поверхность и «вытекает из под» нерабочей, при этом на лопатке выполняется условие (2.9) и контур лопатки совпадает с линией тока в отно­ сительном движении.

Наличие потока вытеснения является особенностью враща­ ющихся круговых решеток, отличающей их от неподвижных. Поток вытеснения во вращающейся круговой решетке может также рассматриваться как относительное вращательное движе­ ние газа в межлопаточном канале, возникающее вследствие инер­ ции среды, поступающей в колесо, и направленное в сторону, противоположную направлению вращения колеса. Это движение иногда называют течением, вызванным относительным вихрем. Относительный вихрь уменьшает коэффициент напора колеса фн2. Определение циркуляции скорости вокруг лопатки вращающейся круговой решетки необходимо производить, исходя из тех же условий у выходной кромки лопатки, что и в неподвижной ре­ шетке, но с учетом потока вытеснения.

Потенциал скорости абсолютного потока Ф можно предста­ вить как сумму потенциалов четырех потоков: течений с потен­ циалами Ф<з и Фу, вызванных источником и вихрем единичной интенсивности в центре круговой решетки; течения вытеснения с потенциалом вытеснения Фи, соответствующим единичной

связана с относительной скоростью формулой (2.11).

Исследованию потенциальных течений в круговых решетках посвящено большое количество работ. Течение во вращающейся круговой решетке, составленной из отрезков логарифмической спирали, что эквивалентно прямой решетке, составленной из прямолинейных отрезков, т. е. решетке пластин в плоскости (х, у), впервые рассмотрено А. Буземаном, использовавшим для расчета конформное отображение решетки на единичный круг. Уточнен­

ные результаты расчета потока в таких решетках приведены в работе [52].

Подробное теоретическое исследование течения в круговых вращающихся решетках, составленных из аналитических профи­ лей (при постоянной ширине лопаток h = const, т. е. для плоских решеток), выполнено Г. И. Майкопаром [34], также использовав­ шим отображение на круг. Основная вычислительная трудность при решении рассматриваемой задачи связана с расчетом потока вытеснения. При расчете течения в решетках с лопатками произ­ вольной формы путем конформного отображения области течения на каноническую область (единичный круг или прямую решетку пластин) приходится выполнять кропотливые графические по­

строения в ходе процесса последовательных приближений при отыскании отображения.

Практически более удобными и менее трудоемкими при исполь­ зовании современной вычислительной техники оказываются спо­ собы расчета потока в решетках, основанные на методе особен­ ностей, позволяющем свести задачу к решению интегрального уравнения. ^Этот метод менее нагляден, чем метод конформных отображений, однако он позволяет рассчитывать течение не только в плоских решетках, т. е. в слое постоянной ширины, но и в слое переменной ширины. Метод и результаты расчета течения в слое переменной ширины для решеток с бесконечно тонкими лопатками приведены в работе [61 ]. Методы расчета потока в слое переменной ширины при произвольной форме профиля лопатки изложены в работах Г. В. Викторова, Б. С. Раухмана и др.

Безвихревое абсолютное движение невязкого сжимаемого со­

описывается уравнениями отсутствия вихря, неразрывности, про­ цесса сжатия и уравнением Бернулли. Рассматривая течение на средней криволинейной поверхности тока s (г), первые два урав­ нения можно представить в виде:

36

здесь k — показатель адиабаты; р ± и рх — давление и плотность перед лопатками.

Рис. 2.2. К отображению лопаточной решетки в осесимметрич­

Для расчета течения в тонком осесимметричном слое с перемен­ ной шириной h (s) среднюю поверхность тока s (г) целесообразно

37

где rx — радиус, соответствующий началу лопаток на поверх­ ности s (/').

Формулы (2.26) переводят лопаточную решетку на средней осесимметричной поверхности тока в прямую решетку на пло­ скости (х, у). Средние по ширине слоя окружная и меридиональ­ ная составляющие скорости си и cs при таком преобразовании оказываются связанными с составляющими скорости в прямой решетке соотношениями:

Уравнения отсутствия вихря для абсолютного потока и урав­ нение неразрывности для прямой решетки будут иметь вид:

Если ввести функцию тока ф, определяемую соотношениями:

а А — обозначение лапласиана,

д2Ч

Д¥ = дх2

Так как h зависит от плотности, которая, согласно (2.25), является функцией до, т. е. ¥ , уравнение (2.33) в общем случае течения при р Ф р! оказывается нелинейным.

Метод расчета течения в лопаточной решетке колеса при р = = Рі и произвольной зависимости h (s) или Іг (у) подробно изло-

38

Жен Б. С. Раухманом в работах [41, 42]. В работе [42] произ­ ведено обобщение этого метода на многорядные решетки, что позволяет производить расчет течения в колесе, половина лопа­ ток которого укорочена —• «подрезана» на входе. Дальнейшим обобщением метода работы [42] является его распространение на случай течения сжимаемого газа, что также выполнено автором этого метода.

Рассмотрим расчет течения в осесимметричном слое перемен­ ной ширины при не очень больших числах М, для которых допу­ стим приближенный учет изменения плотности газа в межлопа-- точном канале. При расчете будем учитывать изменение плот­ ности вдоль радиуса, пренебрегая ее изменением по шагу, т. е. в направлении х. Зависимость р (г) или р (s) может быть опре­ делена по формуле (2.25) и результатам расчета осесимметричного течения в колесе методом работы [24]. Тогда при расчете течения на поверхности s (г) зависимость р (s) оказывается заданной,

авеличина Іі — известной.

Встационарных ц. к. м. относительная ширина колеса Ъ2,

как правило, не превосходит 0,07 (в среднем Ь%— 0,03-г-0,05). Поэтому в первом приближении можно не разбивать поток на отдельные осесимметричные слои и ограничиваться рассмотрением течения на средней для колеса поверхности, равноотстоящей от дисков. В этом случае изменение плотности вдоль радиуса может быть подсчитано^по приближенной формуле

колеса, величиной которого необходимо задаться); Q и %— ве­ личины, найденные в результате расчета колеса, например с по­ мощью формул (1.21) и (1.31).

В такой постановке метод, изложенный в работе [42], оказы­ вается полностью применимым -для расчета течения в колесе центробежной компрессорной ступени.

На средней поверхности тока s (г) имеем ws = cs, wu = си—сor. В прямой решетке этим величинам соответствуют ѵу и- ѵх — соr^lr^. Так как контур лопатки в прямой решетке, совпадаете линией

39