книги из ГПНТБ / Ден Г.Н. Механика потока в центробежных компрессорах

Здесь ти \г=о и тгм |г=0 — напряжения трения на стенке при г = О;

б ;= J ( l ~ ~ t ) dz•

о

Величина б‘* характеризует потери количества движения в по­ граничном слое вдоль радиуса и может быть названа толщиной

потери импульса в радиальном направлении, а величина б*, как и в плоском пограничном слое, характеризует оттеснение линии тока потенциального течения от стенки, т. е. представляет собой

«толщину вытеснения» в пограничном слое. Величина б*„ характе­ ризует уменьшение момента количества движения газа в погра­ ничном слое и может быть названа толщиной потери момента.

Для получения зависимостей характерных толщин 5Г и öru от радиуса г уравнения (3.13) и (3.14) необходимо дополнить соот­ ношениями, связывающими составляющие скорости в пограничном слое с касательными напряжениями на стенке. Решение, справед­ ливое в широкой области чисел Рейнольдса, можно получить, воспользовавшись логарифмическим профилем скоростей в турбу­ лентном пограничном слое, однако использование логарифмиче­ ских профилей ведет к более громоздким выкладкам. Поэтому, желая упростить все дальнейшие формулы и уравнения, рас­ смотрим решение, построенное на базе степенных профилей скоро­ стей в пограничном .слое, справедливое лишь для более узких областей чисел Рейнольдса, зависящих от принятых численных значений показателя степени т.

Будем считать, что в пограничных слоях для радиальной и окружной составляющих скорости

Введя обозначения е = Си/Сг и к — б,/бг и отнеся все линей­ ные величины к г3, а составляющие скорости СГ и Си— к Сг3 и

90

В этих уравнениях g — коэффициент трения; v — кинематиче­ ская вязкость газа.

Уравнение (3.17) сразу может быть разрешено относительно

Vruf

т+1

Зт+І

(7СѴ) '"+1

(3.18)

Если диффузор достаточно широкий и обратным влиянием пограничных слоев на течение в ядре можно пренебречь, то при постоянной ширине канала

При необходимости учитывать обратное влияние пограничного слоя на течение в ядре соотношение (3.19) можно использовать в ка­ честве первого приближения при отыскании толщины вытеснения

6Г. Тогда после интегрирования уравнения импульсов (3.16) с ис­

пользованием (3.19) необходимо найти 6* и уточнить величину Сг на внешней границе слоя с помощью уравнения неразрывности, записанного с учетом загромождения сечения канала погранич­ ными слоями,

Полагая, что b = Ь3 и 26* ^ Ь, после вынесения среднего зна-

2т»

чения величины |/с"і+1 из-под знака интеграла в формуле (3.18)

91

получим

Если к отличается от единицы не более чем на один порядок, то

-2т3

можно положить /с3"1"1 .1, учитывая, что 2т2І(Зт + 1) <£ 1. Это допущение затем может быть проверено после решения урав­ нения (3.16).

В диффузоре с постоянной шириной канала момент количества движения М связан с толщиной потери момента 8ги соотношением

Формулы (3.21) и (3.22) позволяют вычислить уменьшение момента количества движения в диффузоре при любом значе­ нии т. Для упрощения написания дальнейших соотношений рассмо­ трим частный случай течения при умеренных числах Рейнольдса, соответствующий т = 1/7. В этом случае

Переходя от момента количества движения газа М к средней по

расходу величине окружной составляющей скорости си после за­ мены безразмерных величин на размерные найдем

92

Если предположить, что второй член в фигурных скобках мал по сравнению с единицей, и ограничиться первыми двумя членами разложения величины (Гд/г)1-25 в ряд по степеням (г — г3)!г, то

Обозначив

получим известную формулу Пфляйдерера для определения, угла потока в безлопаточном диффузоре (3.7).

При использовании формулы (3.7) обычно принимается, что коэффициент трения Я может быть определен по формулам, спра­ ведливым для прямых труб, например по формуле Блязиуса

где с — средняя скорость в трубе; R — ее радиус, равный гидрав­ лическому радиусу безлопаточного диффузора Rr = b3.

Принимая в формуле (3.27) | = 0,0128, что соответствует опыт­ ным данным для пластины, из формулы (3.27) найдем

Разница в показателях степени в формулах (3.28) и (3.29) объясняется тем, что нами рассматривался начальный участок безлопаточного диффузора, на котором пограничные слои еще не сомкнулись, тогда как формула (3.28) относится к участку с уста­ новившимся течением, получающимся в трубе после смыкания по­ граничных слоев. По этой же причине формула (3.28) в.качестве характерного размера содержит радиус трубы R, а формула (3.29) — расстояние от входного сечения диффузора.

Сопоставление результатов подсчета углов потока в диффу­ зоре по формулам (3.25) и (3.26) с опытными данными, получен­ ными в результате измерений распрёделений скоростей по ширине безлопаточных диффузоров, показывает, что согласование с экспе­ риментом получается хорошим в обоих случаях. Формула (3.25), выведенная для начального участка диффузора, согласно нашим опытным данным, дает вполне удовлетворительное согласование с экспериментами в тех случаях, когда пограничные слои в диффузорезаведомо сомкнулись или когда в канале имеются обратные радиальные токи. Этот результат свидетельствует о ма­ лом влиянии радиального течения на потери момента количества движения в безлопаточном диффузоре.

93

Для интегрирования уравнения импульсов (3.16) необходимо

исключить из него 6*,, выразив эту величину через 6** и 6**,. Используя (3.15), найдем

/71 1

в; = (і + н) б Г ^ н й 'б ;;^ .

Тогда, введя обозначения

уравнение (3.16) можно привести к виду

(3.30)

4 г = ' + - т + г [ к + Ң ^ ) 1*

Граничному условию уравнения (3.16) б** = 0 при г = 1будет соответствовать условие К = 0 при х = 0. Уравнение (3.30) при постоянном значении Я и различных значениях параметра ß легко

интегрируется численно. Результаты вычислений б/, полученные на основании уравнения (3.30) при гіг — 1/7 и Я = 1,4, приведены

на рис. 3.3; там же показаны зависимости бг" (г). Расчеты, выпол­ ненные В. Я. Поляковым [37], показывают, что выбор значения Я

сравнительно мало влияет на результаты вычисления б". Как видно из рис. 3.3, толщина потери момента б*ц в несколько раз

резкое возрастание бг . Численные расчеты подтверждают допу­ щение о том, что

іт-

кЗт+1 ^ К

которое было сделано при выводе формулы (3.23), так как на осно­ вании (3.15)

причем

бг = ^± ^(2 /п + 1 )б Г .

Последнее соотношение позволяет произвести оценку возмож­ ности смыкания пограничных слоев в безлопаточном диффузоре.

94

При in — 1/7 толщина пограничного слоя бг *=« Юб**. Смыкание

слоев происходит тем раньше, чем уже диффузор и меньше угол а 3. После смыкания пограничных слоев полученное решение неспра­ ведливо и его нельзя использовать для'вычисления потерь в диффу­

зоре.

Рис. 3.3. Влияние угла потока перед диффузором а 3 на толщину

потери импульса б** и толщину потери момента б**

Экспериментальные данные о течении газа в безлопаточных диффузорах свидетельствуют о том, что отрыв может претерпевать только пограничный слой, связанный с радиальной составляющей скорости. Окружная составляющая всегда остается направленной в сторону вращения колеса, радиальная же может изменять знак около одной или обеих стенок. Оценка возможности появления

95

отрыва пограничного слоя для радиальной составляющей по вели­ чине формпараметра Бури

и по методу Грушвитца [71 ] приводит к одинаковым качественным

результатам: уменьшение угла а 3 приближает точку отрыва ко входу в диффузор. Этот вывод согласуется с опытными данными. Метод Грушвитца указывает на более позднее появление отрыва

при а 3 <40°, чем метод Бури. Вычисления В. Я. Полякова вы­ явили весьма слабое влияние величины Н на положение точки отрыва.

Коэффициент потерь участка, на котором пограничные слои еще не сомкнулись, а отрыв также отсутствует, определяется фор­ мулой

В принятой постановке задачи изменение давления вдоль канала определяется течением в ядре, поэтому

ІЗ-4

С учетом обратного влияния пограничного слоя на течение в ядре при b — Ь3 коэффициент восстановления

Полученное решение показывает, что течение в безлопаточном

диффузоре и потери в нем зависят от входного угла потока <х3, числа Рейнольдса г3сг3/ѵ и относительной ширины канала. Умень­ шение относительной ширины приводит к росту коэффициента потерь и уменьшению коэффициента восстановления. Параметром, определяющим режим работы данного диффузора, является угол

потока сс3. Согласно численным расчетам, уменьшение угла а 3

вызывает рост коэффициента потерь и уменьшение | 3_4, а также приводит к отрыву пограничного слоя на стенке диффузора.

96

В работе [731 указано преобразование координат г и г, сводя­ щее решение задачи о расчете турбулентного пограничного сдоя в безлопаточном диффузоре при больших числах Мс3 к расчету несжимаемого потока в деформированном эквивалентном безло­ паточном диффузоре. Для осредненного во времени турбулент­ ного движения сжимаемого газа в безлопаточном диффузоре при такой же постановке задачи, как в случае движения с малыми числами М, вместо уравнений (2.10)—(2.12) будем иметь уравнения:

где р' и с'г — пульсационные составляющие плотности и попереч­

ной составляющей скорости; р'сг — их осредненное во времени произведение.

При числе Прандтля Рг = 1 уравнение энергии имеет решение

где Тп— полная температура.

Для сжимаемого потока можно ввести функцию тока ф, опреде­ ляемую условиями:

а для несжимаемого потока в эквивалентном деформированном канале функцию тока фэ, связанную со скоростями эквивалент­ ного течения формулами:

Если потребовать, чтобы функции тока ф и фэ удовлетворяли условию ф = фэ, то уравнение неразрывности в эквивалентном потоке будет иметь такой же вид, как в несжимаемом газе. Опуская преобразования, приведенные в работе [73], укажем, что коорди­ наты в эквивалентном потоке ra, za оказываются связанными с ко­ ординатами в сжимаемом газе г, z соотношениями:

где

причем ая и ап скорости звука в ядре потока и по полным пара­ метрам, соответственно; рп — плотность по полным параметрам.

Числа М в потоке

Для расчета пограничного слоя на стенке безлопаточного диф­ фузора при больших числах М достаточно рассчитать несжимаемый поток в деформированном канале. Основная сложность такого расчета заключается в отыскании контура деформированного канала по соотношениям (3.40).

В работе [73] указывается, что при небольших углах а и уме­ ренных числах М ширины эквивалентного и действительного кана­ лов Ьэ и b связаны простой формулой

На рис. 3.4 показаны размеры исходного идеформированного, эквивалентного, каналов при Мсз = 0,8, а также характер нара­ стания пограничного слоя в несжимаемом газе и при Мс3 = 1,3. Если фактическая ширина диффузора постоянна, то ширина экви­ валентного канала слегка возрастает при увеличении радиуса гэ, причем Ь3з < 63. При не очень больших числах Мс3 (Мс3 <0,8) и Ь3 — const ширина эквивалентного канала оказывается также почти неизменной. Каждому числу Мс3 в сжимаемом газе соответ­ ствует свой канал, эквивалентный реальному рассматриваемому

98

безлопаточному диффузору, причем, чем больше Мс3, тем меньше ширина эквивалентного канала. Следовательно, увеличение числа Мс3 должно так же влиять на течение в безлопаточном диффузоре, как уменьшение относительной ширины при малых числах М. Нарастание пограничных слоев на стенках при больших числах Мс3 происходит значительно интенсивнее, чем при малых, и погра­ ничные слои смыкаются значительно раньше. Пограничный слой при больших числах М толще, чем при малых вследствие возраста­ ния температуры у стенок за счет подтормаживания ими потока, что при постоянном по сечению давлении вызывает возрастание

При рассмотрении течения в пограничном слое давление опре­ деляется условиями течения в ядре потока; для того чтобы система уравнений, описывающих течение, оказалась замкнутой, прихо­ дится делать дополнительные допущения о касательных напряже­ ниях на стенках и скоростях, а характерные толщины в погранич­ ном слое определять из интегральных соотношений в пограничном слое. После смыкания пограничных слоев давление приходится определять из уравнений движения вязкого потока и также задаваться дополнительными соотношениями, позволяющими зам­ кнуть систему уравнений. Например, если принять, что распре­ деления радиальной и окружной составляющих скорости по ши­ рине диффузора можно аппроксимировать степенными зависимо­ стями с постоянным во всем диффузоре показателем степени т (таким же, как в прямой трубе), то из уравнений (3.10) и (3.11) можно определить изменение давления вдоль радиуса и найти