книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

лось доказать, что число а не является пределом после­ довательности.)

Может показаться, что таким путем мы помогли этим испытуемым приложить определение к исследованию.

Однако выяснилось, что определение зсе же «не работает», студенты решают примеры по образцу, независимо от определения. Оказывается, на основе нескольких сообщенных им решений испы­ туемые пришли к своеобразному алгоритму, которым они ориентиро­ вались впоследствии. Попытку экспериментатора обосновать действия ссылками на определение испытуемые воспринимали как формаль­ ную процедуру. Таким образом, обучение на частных примерах привело не к развертке определения, а к другому, независимому определению, по сути, к протаскиванию того же алгоритма «с чер­ ного хода».

Как показали наблюдения, при последующей учебе почти все изучавшие материал с помощью традиционной методики уже через полгода забыли процедуру распознавания числа как предела после­ довательности, хотя, в основном, помнили определение. (Определение часто использовалось в текущее материале при доказательстве тео­ рем.) С другой стороны, многие изучавшие материал на основе алгоритма к этому времени также забыли систему указаний, однако при необходимости они ее восстановили, исходя из определения предела последовательности. При этом чаще всего правильно приме­ нялись кванторы, вызывающие обычно затруднения.

II. Распознавание числа как предела функции в точке.

1.Алгоритм в словесной форме (табл. 32).

2.Алгоритм в форме Ляпунова — Шестопал

Эксперимент является продолжением предыдущего и проведен с теми же испытуемыми. Результаты получены аналогичные.

Можно было ожидать, что в связи с последовательным изуче­ нием двух родственных понятий произойдет наложение элементов одного понятия на другое. Известно, например, что в определении предела последовательности студенты часто подставляют «е—ô» вместо «е—N» и наоборот. Оказывается, что явление, характерное для традиционной методики, почти не имеет места при алгоритми­ зации понятий. На основе обоих экспериментов мы приходим к вы­ воду, что в ряде неконструктивных понятий (т. е. понятий, содер­ жащих неограниченные кванторы) алгоритмизация ускоряет и углуб­ ляет усвоение материала. Вскрывая динамическую структуру по­ нятия, расчленяя его на отдельные подструктуры, вплоть до элемен­ тарных, алгоритм, по-видимому, упорядочивает логико-математические операции для приложения понятия к конкретным объектам. Кажу­ щаяся перспектива избежания алгоритмизации за счет прямого пе­ рехода от определения к его развертке на примерах в действитель­ ности часто оборачивается другой формой введения того же алгоритма, однако, как показывают эксперименты, менее эффектив­ ной.

Мы указали на один, весьма распространенный, тип понятий, в которых сказываются преимущества обучающего алгоритма. Выде­ ление таких типов понятий (и не только понятий) является специ­ альной задачей (близкой к проблемам программированного обуче­ ния). Не останавливаясь подробно, назовем еще некоторые вопросы, которые наши студенты успешно изучали с помощью алгоритмов: бесконечно малая, бесконечно большая величина, производная и др. Следует однако предостеречь от чрезмерного увлечения, абсолютиза­ ции алгоритмического подхода к понятиям. Нет ничего легче, чем дискредитировать метод путем неограниченного его применения. Во многих случаях (например, когда состав действий усматривается непосредственно из определения) алгоритмизация, как 'показывают наши эксперименты, не приносит пользы, а лишь оказывается допол­ нительным бременем для обучающихся.

Можно пока указать па общую тенденцию. По мере роста зна­ ний и математической культуры учащихся все больше проявляется их готовность к прямому «схватыванию» логической формы, к усвое­ нию понятий на основе свернутых определений, без явного обра­ щения к алгоритмам. Однако, подчеркиваем, это результат обучения, а не исходный момент.

Приложение 2

\sin (ху) —• 0 и т. д.

7.Представить 2а2 + 262 как сумму двух квадратов. Решение. 2a2+2ô2= (а+Ь)2+ (а—Ь)г.

8.Найти все решения в целых числах уравнения:

при fe=m =0. Значит, х = у = 0.

9. Дробь со знаменателем я обращается в чистую периоди­ ческую. Определить наибольшее число цифр в ее наименьшем перио­ де. Ответ: (я—1).

Решение. Количество различных остатков от деления на я будет

п—1.

Не далее я-го остатка повторится первый остаток, иначе не бу­

Решение. Здесь в векторной форме записана теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.

значит, ниже п человек группы А, стоявших прежде против них; п -й по росту группы А находится среди них или выше некоторых.

22. Одному ученику для покупки книги нехватает 30 коп., дру­ гому — 1 копейки. Сложив свои деньги, ученики обнаружили, что де­ нег на покупку все же нехватает. Сколько стоит книга?

Решение: У первого денег не было, гак как второму недоставало только одной копейки. Ответ. Книга стоит 30 коп.

23. Человек обычно приезжал на станцию одним и тем же по­ ездом. К этому времени за ним приходила машина и отвозила его домой. Однажды он приехал на один час раньше и пошел пешком. По дороге он встретил машину и вернулся домой на 20 мин. раньше

Д-у^х2— 81)2 = 2х2 и т. д.

25. В треугольнике высота и медиана, проведенные из верши­ ны одного угла, делят этот угол на 3 равные части. Найти углы

e

27. Даны 2 пересекающиеся окружности. Какова наибольшая

параллелограмма от непересекающей его плоскости равны между собой.

динаты В. Тогда (ac-\-bd) — скалярное произведение векторов; V а 1+ Ь 2 и K c2-f- d2— их длины (модули). \ас + bd\ ^ К а 2+&2 • K c2+ d2= l .

корень из числа, не превосходящего 1, не меньше самого числа.

31. Можно ли из 37 ниток сплести сетку так, чтобы каждая нитка была овязаиа только с пятью другими.

С

Приложение 3

Операторная и логическая формы — два способа кодирования информации. Эксперимент

Из того, что операторно-логическая форма широко применима, конечно, не следует, что ее применение всегда психологически оправ­ дано. Известно, что универсальность человеческого мышления, его быстродействие достигается специфичными механизмами. Речь идет об оптимальных условиях усвоения — достижении высоких резуль­

форма— логико-психологическое образование, в котором операторы

внешне элиминированы, а фактически включены в логические усло­ вия. Важно выяснить, хотя бы в частной ситуации, каковы преиму­ щества и недостатки операторной формы перед логической, в каких случаях «экономнее» начинать изучение материала в операторной форме и в каких — предпочтительнее исходить из готовой логиче­ ской формы. Этому вопросу посвящен описанный ниже экспери­ мент.

Методика и организация эксперимента

Эксперимент проведен е помощью настольной клавишной элек­ тронно-вычислительной машины «Вега», выпускаемой Курским заво­ дом счетно-аналитических машин. Испытуемыми были 20 студентов 5 курса физико-математического факультета пединститута, проходив­ шие практикум в связи с изучением курса «Программирование и вычислительные машины».

Испытуемым предстояло реализовать определенную вычислитель­ ную процедуру: извлечь !£/ х итерационным методом по формуле

Все результаты, получаемые на «Веге», высвечиваются па фосфо­ ресцирующем экране, и это позволяет систематически контролиро­ вать ход эксперимента. «Вега» имеет 3 регистра для хранения чисел: клавиатура (К), сумматор (С), множитель (М). Элементарным дей­ ствием является надавливание на клавишу, и к упорядоченной по­ следовательности таких действий приводится любая арифметическая операция.

Например, деление.

1. Набор делимого на клавиатуре (—*К).

2. Передача делимого с клавиатуры на сумматор (К— *-С). 3. Набор делителя на клавиатуре (— >-К).

4. Надавливание на клавишу деления (:).

Эксперимент проведен по двум различным методикам. В каждой методике участвовало 10 испытуемых.

1-я методика. После овладения четырьмя арифметическими опе­ рациями на «Веге» (т. е. последовательностью соответствующих «на­