
книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления
.pdfЕще отчетливее «несовпадение в фазах» между внутренними дей ствиями и внешними управляющими воздействиями проявилось при решении несколькими слабыми десятиклассниками уравнения: sinx =
= 2cos —.
Усилия программы были направлены на вычленение наиболее важных в данной ситуации логических координат — чтобы учащиеся увидели целесообразность преобразования sin х по формуле синуса двойного аргумента. При этом, естественно, предполагалось, что ис пытуемые владеют этим преобразованием, им только надо помочь догадаться прибегнуть к нему. Однако оказалось, что учащиеся просто не знают, как делать необходимое преобразование, т. е. не владеют соответствующей логической формой. В беседе обнаружи лось, что большинство испытуемых не в состоянии обобщить форму лу sin 2x = 2sin х cos х. Они, оказывается, считают аргумент «х» ів пра вой части существенной (постоянной) особенностью, а коэффициент- «2» — несущественной. В итоге получилось: sin пх=п sin х cos х, что не соответствует действительности. Учащиеся были психологически не подготовлены к данной программе, их соответствующая внутренняя модель оказалась неадекватной, а значит, задача — слишком боль шим забеганием вперед и поэтому бесполезной.
Только при соблюдении необходимого соответствия внутренние действия вызывают адекватное внешнее воздействие, которое, в свою очередь, влияет на дальнейшие «внутренние шаги». Так синтезируется управляющая линия обратной связи, при которой влияние предыду щих действий учащегося на его последующие действия опосредуется внешними факторами. Создается возможность целенаправленно воз действовать на интимные механизмы мышления человека. Обучение становится управляемым.
Выводы. Здесь предпринята попытка подойти к важ нейшей проблеме психологии мышления — соотношению между процессами мышления и их продуктами, т. е. меж ду психологическим и логическим. Проблема имеет 2 сто роны. а) Генетическую— возникновение, формирование логического продукта, б) Актуализацию возникших логи ческих форм мышления (и знания) при решении конкрет ных задач.
Для формализации процесса использованы алгоритмы типа Ляпунова-— Шестопал (1957), аппарат булевых алгебр, направленные графы, матричные операции. При меняются операторные схемы и логические формы. Описаны психолого-педагогический эсперимент и аде кватная модель обучения.
1. На уровне начального формирования понятий опе раторы обозначают элементарные акты переработки инфорімации. В исследовании экспериментально показано, что на стадии актуализации — это уже многозвенные образования, отражающие целые процессы. Возникнув, сложные операторы, в качестве подпрограмм, участвуют в синтезе еще более сложных структур и т. д.
Теперь операционально-логические формы математи ческих понятий выступают как модели классов объектов, к которым относятся задачи, или модели возможных систем действий (способов решения) и, вероятно, являют ся теми гипотезами, из которых человек выбирает в поис ках решения. В связи с этим рассматриваются вопросы: нахождения обобщенной модели,, соответствующей зада че,—ориентиры, определяющие этот выбор; перевода мо дели из логической формы в операциональную — опреде ление системы операций, обеспечивающих решение зада чи; проверки правильности выбора с помощью пробных решений; оценки «рассогласования» между требуемым и полученным. Затем нам казалось возможным перейти к выявлению общих принципов переработки информации человеком при формировании и применении понятий. Та ким принципом, на наш взгляд, является укрупнение операторов — иерархическое перекодирование, в ходе которого возникают системы вложенных алгоритмов; образования, обозначающие «блоки» операций и свойств. Теоретико-информационный анализ подтверждает эф фективность механизма иерархических структур.
2. После срабатывания оператора, т. е. выполнения соответствующего действия, часто возникает ситуация выбора, которая характеризуется в модели логическими условиями. Логическая форма, появляющаяся на основе операторной, связана с результатом; представляет фор мализованное отражение логико-психологической модели знаний. Важнейшая особенность логической формы — ее опережающий характер. Она является моделью прошло го, направленной в будущее («модель потребного буду щего»— Н. А. Бернштейн). Теперь логические условия обладают известной свободой актуализации — алгоритм как бы приходит к своему отрицанию: учащиеся в состо янии решать задачи без явного обращения к алгоритмам. Отдельные условия отпочковываются, становятся, в соот ветствии с процессом мышления, зародышами производ ных логических форм. В этом вторая особенность логиче ских форм: готовность к саморазвитию — делением и син тезом. Обращаясь к задачам различными логическими условиями, модель знаний, стоящая за формой, развива ется, совершенствуется — в действии. Отсутствие внеш них воздействий разрушает логическую форму, актив ность— способ ее самосохранения. Это третья особен ность логической формы.
Математический расчет показывает, что переход к ло гической форме знаний создает такие сдвиги в модели, при которых удельный вес информации, идущей на дости жение цели, увеличивается. Возрастает ценность инфор мации, которая из меры затраченного труда становится мерой приближения к цели.
3. Развитие операторно-логической формы сопровож дается ее сокращением. Этот процесс мы называем е в е р- т ыв а н и е м* ) . Он включает: 1) объединение нескольких операторов в один. Происходит: путем а) простого объ единения— композиции; б) склеивания — наложения од
ного оператора на другой по их общей |
части; в) погло |
щения — вида склеивания, когда один |
из операторов |
принадлежит другому. |
|
2) Объединение логических условий соответственно
объединению операторов. |
|
включаются |
||
3) Погружение операторов: операторы |
||||
в состав логических |
условий, |
и возникает |
логическая |
|
форма. |
неполных |
форм — логических |
коор |
|
4) Образование |
||||
динат. |
|
|
|
|
4. Одним из центральных в работе является понятие |
||||
управления в структуре, отражающее свойство |
упоря |
доченности мышления и знания или (в модели) готовно сти одних операторов непосредственно следовать за другими (вызывать другие). Показано, что оператор,
производящий оптимальное |
управление, т. е. |
имеющий |
|
наибольшее |
число прямых |
вызовов, часто |
выступает |
в мышлении |
представителем |
всей формы, и |
создаются |
объективные |
условия для |
перекодирования формы |
в одноэлементное образование. Введенная нами матри ца вызовов характеризует тенденцию к возрастанию управления за счет элиминирования промежуточных операторов, образования прямых связей. Это дает осно вание считать матрицу вызовов и её степени одной из возможных моделей (матричной моделью) процесса свертывания мыслительных структур.
5. В обучении с помощью алгоритмов важна про блема длины шага. Она ставится так: на какой ступени свертывания следует вводить алгоритмы, чтобы достичь высоких результатов в кратчайшее время при мини мальных затратах психических усилий учащихся. Ана
*) Он отражает свертывание психических структур.
лиз показывает, что в действующих учебниках И посо биях по математике, как правило, понятия даются сразу в завершенной свернутой форме, операторы элиминиро ваны, и процедурный характер образования понятия скрыт. Фактически расчет берется па наиболее одарен ных учащихся, способных перейти к высшей форме поня тия, минуя операторно-генетическую форму. С другой стороны, оказывается, излишнее дробление операторов на элементарные в ряде случаев грозит нарушением единства понятия, потерей обучающимися интереса к материалу и, в итоге, не менее иогубно, чем введение структур сразу в логической форме. Длина шага, по-ви димому, зависит от индивидуального уровня математи ческого развития учащегося, а также от его исходных знаний по данному вопросу. (Было бы интересно попы таться найти подходы к решению обратной задачи: на основе выявленной оптимальной длины шага при усвое нии алгоритмов определенного типа дать заключение об уровне математического развития учащегося.)
6. Особенности функционирования логических коор динат описываются принципами множественного развер тывания и индукции. Множественность (неоднознач ность) развертки обеспечивает логическим координатам готовность к решению задач разных типов. В возникаю щей ситуации неопределенности, связанной с выбором, как правило, обеспечивается высокая эффективность творческого решения задач, когда отсутствуют (неизве стны) регулярные методы.
Принцип индукции формулируется так. Если общей частью двух форм являются логические координаты одной из них, то при совместной актуализации этих форм другие логические условия второй формы сознают ся ослабленію. Речь идет о направленном изменении восприятия одних форм при наложении на «их логиче ских координат других форм,— когда под влиянием «внешних» координат индуцируется усиление сознавания совпадающих с ними признаков и ослабляется сознавание остальных признаков. Отсюда следует, что если 2 логические формы имеют общие координаты, то другие признаки при актуализации этих форм сознаются ослабленно. В итоге формы предстают объединенными
их общими |
логическими координатами. |
Мы приходим |
к важному |
результату — обобщению на |
основе логиче |
ских координат. |
|
7. Свернутый и развернутый виды алгоритма соот ветствуют двум алфавитам: внутреннему — в нём мате матическая задача решается человеком — и внешнему, служащему обычно для первичного восприятия условия и вывода решения вовне. Нам удалось найти числовой параметр, инвариантный относительно «языка» — весо вую характеристику алгоритма, свидетельствующую о единстве психологических процессов свертывания — развертывания.
8. Подходы к решению математической задачи, как показывает эксперимент, находятся учащимися во внут реннем алфавите, на уровне свернутых логических форм и логических координат. Задача просматривается не до конца, но на такую глубину, когда уже можно оценить целесообразность гипотезы. «Операторы», по мере необ ходимости, вызываются и срабатывают автоматически. Действия могут не сознаваться, а результат — восприни маться как неожиданный.
Это прикидка. Затем логические координаты находят себя в соответствующих действиях. Так оборачивается процесс, и, вызванная определенными действиями, логи ка знаний словно становится над этими действиями. Ло гические координаты (точнее, их психологические экви валенты) теперь «подстораживают» появление удовле творяющего им комплекса признаков, чтобы развернуться в операторную форму. Этим, по-видимому, обеспечивает ся быстрота, легкость заключений.
Под управлением логики операторы перекодируются в абстрактные символы, обезличиваются, обобщаются — возникает готовность к решению любой задачи данного типа. В мышлении образуется самоуправляющаяся сис тема, функционирующая в соответствии с формулой: от управления логикой с помощью операторов (действий)
клогике управления операторами.
9.Нами экспериментально исследованы случаи рас члененности операторов и логических условий в мышле нии учащихся. Компоненты в известной мере независимы
и только «сосуществуют». Общие положения перестают управлять действиями: действия сами по себе, прави ла — сами по себе. (Формулы и теоремы учащийся знает, а решать задачи не умеет). Феномен можно назвать раз рывностью мышления. С этим связано и явление так на зываемой сплошности, когда алгоритм навязывается за даче без учета ее особенностей. Оно выражается в не
умении перестроить алгоритм *\ приспособить его к данной задаче, отказаться от него в случае непригод ности.
Удалось установить, что отмеченные многими автора ми трудности переключения с «прямого» хода мышления на «обратный» также, по-видимому, связаны с разрыв ным мышлением, — когда переход от сформировавшейся логической структуры (прямой) к ее операторной раз вертке осложнен необходимостью обращения операто ров. С другой стороны, распространенные случаи отож дествления школьниками обратных связей с прямыми, возможно, являются одним из вариантов сплошности. Экспериментально доказано, что у школьников, широко использующих в обучении алгоритмы, расчлененность между прямыми и обратными предложениями наблю дается значительно реже, а эффект отождествления поч ти полностью исчезает. Исследование показало, что на уровне развитых логических координат у учащихся соз дается равновесное психическое состояние, когда диск ретность элементов логических форм не сопровождается
(как это можно было ожидать) |
разрывным мышлением, |
а непрерывность развернутых |
структур не переходит |
всвою противоположность — сплошность.
Спозиций операторно-логической модели разрывное мышление интерпретируется как дефект перекодирова ния. С одной стороны, недостаточность сокращения на
чальных, развернутых структур |
(слабость |
кодирова |
ния)— задержка информации на |
«входе». С |
другой — |
слабость перевода сокращенных образований в развер нутые связные формы (декодирования) — задержка информации «на выходе». Есть основания предположить, что сплошность представляет собой вид компенсации раз рывного мышления — ценой запоминания несокращенных форм и оперирования ими без перевода.
10. Существует, по крайней мере, два пути оптими зации процесса переработки математической инфор мации.
а) Образование иерархических структур-систем «вло женных» алгоритмов. Иерархическое перекодирование оказывается психологической формой распространенного среди кибернетических систем метода укрупнения инфор-
*> Т. е. создать на его основе новый алгоритм, пригодный для решения данной задачи.
мации, при которой запоминается и используется неболь шое количество символов большой информационной плотности.
б) Синтезирование систем многосторонних связей, когда в ответ на актуализацию одного оператора сраба тывает целый комплекс связанных с ним операторов.
В заключение отметим, что предлагаемая здесь мо дель усвоения математических знаний имеет, в основном, дискретный характер и, по-видимому, описывает скорее не процессы мышления, а их отдельные состояния. Речь, таким образом, идет лишь о некотором приближении к истинному механизму.
Автор не считает данное исследование законченным. Напротив, он уверен, что построенная модель обучения и мышления может быть продолжена и уточнена в ре зультате дальнейшего теоретического и эксперименталь ного исследования, которое, он надеется, откроет ряд нетривиальных результатов.
* *
*
В психологическом исследовании мышления познава тельный акт выступает в качестве процесса, развиваю щегося с некоторого начального состояния объекта (от носительно субъекта). В нашем случае это состояние ох ватывает условие и требование математической задачи, а также наличные знания человека, определяющие его готовность к решению данной задачи. «Разность» между требуемым и наличным создает градиент, являющийся необходимым условием мыслительного акта, внутренним импульсом для его совершения. При наличии градиента производится некоторая последовательность умственных операций (анализ, синтез, обобщение, абстракция), и за дача приводится к новому состоянию — открываются не известные ранее и не схваченные вначале зависимости, связи. Ответом на это состояние являются новые опера ции, действия и т. д. В этом, нам представляется, суть известной формулы С. Л. Рубинштейна о том, что «не операции порождают мышление, а процесс мышления по рождает операции, которые затем в него включаются» (см. гл. I, § 1).
Важным звеном психологического механизма процес са является анализ через синтез: выполняются пробные действия, имеющие ориентировочный характер, объект
256
включается в новые отношения и, в соответствии с полу ченным результатом, действия продолжаются, корректи руются, отклоняются. В ряде случаев состояние харак теризуется несколькими известными исходами, множество вариантов возможных действий обозримо, и поиск, как мы видели, поддается алгоритмическому описанию.
По крайней мере, два условия способствуют этому. 1. Действия сокращены но времени, свернуты. 2. Логи ческие связи в модели знаний квантуются в относительно небольшие локальные системы, и это облегчает при их развертке просматривание результата еще до того, как произведены все действия *>. Речь идет о действиях, ког да область поиска уже определилась, п она уточняете:! с помощью операций локального характера.
Структура поиска общего, стратегического направ ления решения задачи сложнее, так как неопределен ность (количество возможных исходов, трудность учета вариантов) здесь неизмеримо больше. Поиск основан на обобщениях высшего уровня, содержит неполные (неза вершенные) формы знаний, логические координаты вто рого типа, соответствующие различным направлениям применения знаний. Эти формы уточняются е помощью антиципирующих моделей, координаты обрастают допол нительными связями уже в ходе самого действия, когда результат каждый раз (по линии обратной связи) управ ляет дальнейшим развитием психологического действия. Этот процесс творческого мышления имеет сложную ве роятностную структуру, как правило, не поддается алго ритмическому описанию и по возможности «увести в сто рону» скорее приближается к эвристическому. Повидимому, здесь находится принципиальный рубеж возможности алгоритмизации обучения и мышления. Таким образом, мыслительный акт развивается сверху вниз: от наиболее сокращенных, часто — неполных, ори ентировочных форм знаний к завершенным логическим структурам, которые часто моделируются с помощью алгоритмов. Процесс протекает в соответствии с извест ной формулой В. И. Ленина: «Движение познания к объ екту всегда может идти лишь диалектически: отойти, что бы вернее попасть — отступить, чтобы лучше прыгнуть (познать)» [1]-
Способность .перерабатывать и запоминать материал неболь шими порциями составляет психологическую основу программирован ного обучения.
Приложение 1 Обучающие алгоритмы
Алгоритмические описания особенно ценны в обучении в тех нередких случаях, когда математические понятия вводятся некон
структивно — в |
терминах |
неограниченных |
кванторов |
всеобщности и |
||||||||
|
|
|
|
существования, |
а |
также, |
когда |
|||||
|
|
|
|
понятие |
насыщенологическими |
|||||||
|
|
|
|
связями, |
за |
которыми |
не |
сразу |
||||
|
|
|
|
усматриваются |
соответствующие |
|||||||
|
|
|
|
логико-математические |
операции. |
|||||||
|
|
|
|
Такими, |
по |
существу, |
являются |
|||||
|
|
|
|
все |
понятия |
теории |
пределов. |
|||||
|
|
|
|
сти. |
I. Предел |
последовательно |
||||||
|
|
|
|
Дано |
{ап} — последователь |
|||||||
Рис. 47. |
|
|
ность и число |
а. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Проверить, является ли а пре |
|||||||||
|
|
|
|
делом последовательности. |
|
|||||||
1. Алгоритм в словесной форме (табл. |
30). |
|
(табл. |
31). |
|
|||||||
2. Алгоритм в форме |
Ляпунова— Шестоіпал |
|
||||||||||
|
1 |
1 |
3 |
2 |
4 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
А В Ы С I D E l e ] G g î T KL . і н Î I T . |
|
|
|
( 1 . 1 ) |
|||||||
Логическая форма алгоритма: eg (1.2) |
неравенства |
|
|а„—а |< е |
|||||||||
Словесно: |
lim an = a , |
если |
решением |
|
||||||||
или усиленного |
п |
|
|
|
п > )(в). В противном случае— |
|||||||
неравенства является |
||||||||||||
lim а„ =Фа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы пришли к наиболее динамичным вариантам известных опре делений, которые неявно заключают и действия для распознавания числа как предела последовательности. Для сравнения приводим эти определения в обычной, «статической» форме, записанными с по мощью предикатных формул.
lim ап = а :ѴеП/ѴКп(е > 0 & п > N - * | а п — а. | < е ). |
(1.3) |
00 |
|
Для каждого в существует N, что для всех п: из е>0 и n*>N следует | а „ — а |< е .
lim a n j r a : z t y N y n ( z > 0 & n > N & | а п — а \ 5гв) |
(1.4) |
п -* од
Граф алгоритма (рис. 47).
Эксперимент. Результаты и их анализ
В эксперименте участвовали 2 учебные группы 1-го кур- са физмата пединститута (61 человек), которым понятие п р ед е л а последовательности сообщено в алгоритмической форме. Р е з у л ь т а т ы . 39 испытуемых в ходе дальнейше го изучения материала самостоятельно пришли к тради-
258
Указания.
(Указания выполняются в порядке их записи)
1.Взять произвольное сколь угодно малое положи тельное число
2.Составить разность между общим членом после довательности и предполагае мым пределом.
3.По возможности упро стить разность
4.Взять абсолютное значе ние разности
5.Допустить, что \ап—а\ меньше е.
6.Если можно, решить по лученное неравенство отно сительно п.
7.В противном случае „усилить“ неравенство, что
бы оно стало разрешимым относительно п. Это значит: получить неравенство, из ко торого следует данное (но которое, возможно, не сле дует из данного)
8. Если при решении не равенства окажется, что п больше некоторой величины (зависящей от е), то а—пре дел последовательности.
9. В этом случае найти целую часть числа /(s) и обозначить ее N. (При n^>N выполняется |а„—a|< e)
10. Если условие указания 8 не выполнено, то а не явля ется пределом последователь ности.
Символйчес* кое сбознічение
е^>0
ап—а
\ап—а| < е
«>f(s)
ітаѵ ~а
Пояснение на примерах
Нт / , J L . \ _ , |
|
3 |
|
lim —э6 |
|||
я->00\ |
п+ пг) |
/2-»00 П |
|
|
|
Ф—2 |
|
|
*>о |
|
О |
|
|
V |
|
1 |
2 |
3 |
|
-------1 |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
— (2) |
|
|
2 |
3 |
|
|
п + п 3 |
— + 2 |
|
|
п |
1 |
|
|
2 |
3 |
+ 2 |
|
/2—(—/Î3 |
п |
|
|
2 |
3 |
|
л4-я3<' е |
Г + 2 < е |
||
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
п<—Ö--- |
|
|
|
^ |
2—е |
|
|
(* < 2) |
|
а)л г < е |
|
|
|
б) ^r< « |
|
|
|
|
2 |
|
|
в) я+н О |
|
|
|
и другие. |
|
|
|
|
2 |
|
|
а) |
« > — |
|
|
lim (1- / 2 + / І 3
М^Е(}(г)) N = E |
Г 2 |
|
- |
|
|
Например, |
при |
|
£=0,3 |
|
|
N = E |
20 ^ |
=6 |
Ч |
||
Ххтапфа |
|
3 |
|
\хт-ф |
|
|
|
Ф 2 |