книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

Еще отчетливее «несовпадение в фазах» между внутренними дей­ ствиями и внешними управляющими воздействиями проявилось при решении несколькими слабыми десятиклассниками уравнения: sinx =

= 2cos —.

Усилия программы были направлены на вычленение наиболее важных в данной ситуации логических координат — чтобы учащиеся увидели целесообразность преобразования sin х по формуле синуса двойного аргумента. При этом, естественно, предполагалось, что ис­ пытуемые владеют этим преобразованием, им только надо помочь догадаться прибегнуть к нему. Однако оказалось, что учащиеся просто не знают, как делать необходимое преобразование, т. е. не владеют соответствующей логической формой. В беседе обнаружи­ лось, что большинство испытуемых не в состоянии обобщить форму­ лу sin 2x = 2sin х cos х. Они, оказывается, считают аргумент «х» ів пра­ вой части существенной (постоянной) особенностью, а коэффициент- «2» — несущественной. В итоге получилось: sin пх=п sin х cos х, что не соответствует действительности. Учащиеся были психологически не подготовлены к данной программе, их соответствующая внутренняя модель оказалась неадекватной, а значит, задача — слишком боль­ шим забеганием вперед и поэтому бесполезной.

Только при соблюдении необходимого соответствия внутренние действия вызывают адекватное внешнее воздействие, которое, в свою очередь, влияет на дальнейшие «внутренние шаги». Так синтезируется управляющая линия обратной связи, при которой влияние предыду­ щих действий учащегося на его последующие действия опосредуется внешними факторами. Создается возможность целенаправленно воз­ действовать на интимные механизмы мышления человека. Обучение становится управляемым.

Выводы. Здесь предпринята попытка подойти к важ­ нейшей проблеме психологии мышления — соотношению между процессами мышления и их продуктами, т. е. меж­ ду психологическим и логическим. Проблема имеет 2 сто­ роны. а) Генетическую— возникновение, формирование логического продукта, б) Актуализацию возникших логи­ ческих форм мышления (и знания) при решении конкрет­ ных задач.

Для формализации процесса использованы алгоритмы типа Ляпунова-— Шестопал (1957), аппарат булевых алгебр, направленные графы, матричные операции. При­ меняются операторные схемы и логические формы. Описаны психолого-педагогический эсперимент и аде­ кватная модель обучения.

1. На уровне начального формирования понятий опе­ раторы обозначают элементарные акты переработки инфорімации. В исследовании экспериментально показано, что на стадии актуализации — это уже многозвенные образования, отражающие целые процессы. Возникнув, сложные операторы, в качестве подпрограмм, участвуют в синтезе еще более сложных структур и т. д.

Теперь операционально-логические формы математи­ ческих понятий выступают как модели классов объектов, к которым относятся задачи, или модели возможных систем действий (способов решения) и, вероятно, являют­ ся теми гипотезами, из которых человек выбирает в поис­ ках решения. В связи с этим рассматриваются вопросы: нахождения обобщенной модели,, соответствующей зада­ че,—ориентиры, определяющие этот выбор; перевода мо­ дели из логической формы в операциональную — опреде­ ление системы операций, обеспечивающих решение зада­ чи; проверки правильности выбора с помощью пробных решений; оценки «рассогласования» между требуемым и полученным. Затем нам казалось возможным перейти к выявлению общих принципов переработки информации человеком при формировании и применении понятий. Та­ ким принципом, на наш взгляд, является укрупнение операторов — иерархическое перекодирование, в ходе которого возникают системы вложенных алгоритмов; образования, обозначающие «блоки» операций и свойств. Теоретико-информационный анализ подтверждает эф­ фективность механизма иерархических структур.

2. После срабатывания оператора, т. е. выполнения соответствующего действия, часто возникает ситуация выбора, которая характеризуется в модели логическими условиями. Логическая форма, появляющаяся на основе операторной, связана с результатом; представляет фор­ мализованное отражение логико-психологической модели знаний. Важнейшая особенность логической формы — ее опережающий характер. Она является моделью прошло­ го, направленной в будущее («модель потребного буду­ щего»— Н. А. Бернштейн). Теперь логические условия обладают известной свободой актуализации — алгоритм как бы приходит к своему отрицанию: учащиеся в состо­ янии решать задачи без явного обращения к алгоритмам. Отдельные условия отпочковываются, становятся, в соот­ ветствии с процессом мышления, зародышами производ­ ных логических форм. В этом вторая особенность логиче­ ских форм: готовность к саморазвитию — делением и син­ тезом. Обращаясь к задачам различными логическими условиями, модель знаний, стоящая за формой, развива­ ется, совершенствуется — в действии. Отсутствие внеш­ них воздействий разрушает логическую форму, актив­ ность— способ ее самосохранения. Это третья особен­ ность логической формы.

лиз показывает, что в действующих учебниках И посо­ биях по математике, как правило, понятия даются сразу в завершенной свернутой форме, операторы элиминиро­ ваны, и процедурный характер образования понятия скрыт. Фактически расчет берется па наиболее одарен­ ных учащихся, способных перейти к высшей форме поня­ тия, минуя операторно-генетическую форму. С другой стороны, оказывается, излишнее дробление операторов на элементарные в ряде случаев грозит нарушением единства понятия, потерей обучающимися интереса к материалу и, в итоге, не менее иогубно, чем введение структур сразу в логической форме. Длина шага, по-ви­ димому, зависит от индивидуального уровня математи­ ческого развития учащегося, а также от его исходных знаний по данному вопросу. (Было бы интересно попы­ таться найти подходы к решению обратной задачи: на основе выявленной оптимальной длины шага при усвое­ нии алгоритмов определенного типа дать заключение об уровне математического развития учащегося.)

6. Особенности функционирования логических коор­ динат описываются принципами множественного развер­ тывания и индукции. Множественность (неоднознач­ ность) развертки обеспечивает логическим координатам готовность к решению задач разных типов. В возникаю­ щей ситуации неопределенности, связанной с выбором, как правило, обеспечивается высокая эффективность творческого решения задач, когда отсутствуют (неизве­ стны) регулярные методы.

Принцип индукции формулируется так. Если общей частью двух форм являются логические координаты одной из них, то при совместной актуализации этих форм другие логические условия второй формы сознают­ ся ослабленію. Речь идет о направленном изменении восприятия одних форм при наложении на «их логиче­ ских координат других форм,— когда под влиянием «внешних» координат индуцируется усиление сознавания совпадающих с ними признаков и ослабляется сознавание остальных признаков. Отсюда следует, что если 2 логические формы имеют общие координаты, то другие признаки при актуализации этих форм сознаются ослабленно. В итоге формы предстают объединенными

7. Свернутый и развернутый виды алгоритма соот­ ветствуют двум алфавитам: внутреннему — в нём мате­ матическая задача решается человеком — и внешнему, служащему обычно для первичного восприятия условия и вывода решения вовне. Нам удалось найти числовой параметр, инвариантный относительно «языка» — весо­ вую характеристику алгоритма, свидетельствующую о единстве психологических процессов свертывания — развертывания.

8. Подходы к решению математической задачи, как показывает эксперимент, находятся учащимися во внут­ реннем алфавите, на уровне свернутых логических форм и логических координат. Задача просматривается не до конца, но на такую глубину, когда уже можно оценить целесообразность гипотезы. «Операторы», по мере необ­ ходимости, вызываются и срабатывают автоматически. Действия могут не сознаваться, а результат — восприни­ маться как неожиданный.

Это прикидка. Затем логические координаты находят себя в соответствующих действиях. Так оборачивается процесс, и, вызванная определенными действиями, логи­ ка знаний словно становится над этими действиями. Ло­ гические координаты (точнее, их психологические экви­ валенты) теперь «подстораживают» появление удовле­ творяющего им комплекса признаков, чтобы развернуться в операторную форму. Этим, по-видимому, обеспечивает­ ся быстрота, легкость заключений.

Под управлением логики операторы перекодируются в абстрактные символы, обезличиваются, обобщаются — возникает готовность к решению любой задачи данного типа. В мышлении образуется самоуправляющаяся сис­ тема, функционирующая в соответствии с формулой: от управления логикой с помощью операторов (действий)

клогике управления операторами.

9.Нами экспериментально исследованы случаи рас­ члененности операторов и логических условий в мышле­ нии учащихся. Компоненты в известной мере независимы

и только «сосуществуют». Общие положения перестают управлять действиями: действия сами по себе, прави­ ла — сами по себе. (Формулы и теоремы учащийся знает, а решать задачи не умеет). Феномен можно назвать раз­ рывностью мышления. С этим связано и явление так на­ зываемой сплошности, когда алгоритм навязывается за­ даче без учета ее особенностей. Оно выражается в не­