Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

.pdf
Скачиваний:
13
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
12.07 Mб
Скачать

Еще отчетливее «несовпадение в фазах» между внутренними дей­ ствиями и внешними управляющими воздействиями проявилось при решении несколькими слабыми десятиклассниками уравнения: sinx =

= 2cos —.

Усилия программы были направлены на вычленение наиболее важных в данной ситуации логических координат — чтобы учащиеся увидели целесообразность преобразования sin х по формуле синуса двойного аргумента. При этом, естественно, предполагалось, что ис­ пытуемые владеют этим преобразованием, им только надо помочь догадаться прибегнуть к нему. Однако оказалось, что учащиеся просто не знают, как делать необходимое преобразование, т. е. не владеют соответствующей логической формой. В беседе обнаружи­ лось, что большинство испытуемых не в состоянии обобщить форму­ лу sin 2x = 2sin х cos х. Они, оказывается, считают аргумент «х» ів пра­ вой части существенной (постоянной) особенностью, а коэффициент- «2» — несущественной. В итоге получилось: sin пх=п sin х cos х, что не соответствует действительности. Учащиеся были психологически не подготовлены к данной программе, их соответствующая внутренняя модель оказалась неадекватной, а значит, задача — слишком боль­ шим забеганием вперед и поэтому бесполезной.

Только при соблюдении необходимого соответствия внутренние действия вызывают адекватное внешнее воздействие, которое, в свою очередь, влияет на дальнейшие «внутренние шаги». Так синтезируется управляющая линия обратной связи, при которой влияние предыду­ щих действий учащегося на его последующие действия опосредуется внешними факторами. Создается возможность целенаправленно воз­ действовать на интимные механизмы мышления человека. Обучение становится управляемым.

Выводы. Здесь предпринята попытка подойти к важ­ нейшей проблеме психологии мышления — соотношению между процессами мышления и их продуктами, т. е. меж­ ду психологическим и логическим. Проблема имеет 2 сто­ роны. а) Генетическую— возникновение, формирование логического продукта, б) Актуализацию возникших логи­ ческих форм мышления (и знания) при решении конкрет­ ных задач.

Для формализации процесса использованы алгоритмы типа Ляпунова-— Шестопал (1957), аппарат булевых алгебр, направленные графы, матричные операции. При­ меняются операторные схемы и логические формы. Описаны психолого-педагогический эсперимент и аде­ кватная модель обучения.

1. На уровне начального формирования понятий опе­ раторы обозначают элементарные акты переработки инфорімации. В исследовании экспериментально показано, что на стадии актуализации — это уже многозвенные образования, отражающие целые процессы. Возникнув, сложные операторы, в качестве подпрограмм, участвуют в синтезе еще более сложных структур и т. д.

Теперь операционально-логические формы математи­ ческих понятий выступают как модели классов объектов, к которым относятся задачи, или модели возможных систем действий (способов решения) и, вероятно, являют­ ся теми гипотезами, из которых человек выбирает в поис­ ках решения. В связи с этим рассматриваются вопросы: нахождения обобщенной модели,, соответствующей зада­ че,—ориентиры, определяющие этот выбор; перевода мо­ дели из логической формы в операциональную — опреде­ ление системы операций, обеспечивающих решение зада­ чи; проверки правильности выбора с помощью пробных решений; оценки «рассогласования» между требуемым и полученным. Затем нам казалось возможным перейти к выявлению общих принципов переработки информации человеком при формировании и применении понятий. Та­ ким принципом, на наш взгляд, является укрупнение операторов — иерархическое перекодирование, в ходе которого возникают системы вложенных алгоритмов; образования, обозначающие «блоки» операций и свойств. Теоретико-информационный анализ подтверждает эф­ фективность механизма иерархических структур.

2. После срабатывания оператора, т. е. выполнения соответствующего действия, часто возникает ситуация выбора, которая характеризуется в модели логическими условиями. Логическая форма, появляющаяся на основе операторной, связана с результатом; представляет фор­ мализованное отражение логико-психологической модели знаний. Важнейшая особенность логической формы — ее опережающий характер. Она является моделью прошло­ го, направленной в будущее («модель потребного буду­ щего»— Н. А. Бернштейн). Теперь логические условия обладают известной свободой актуализации — алгоритм как бы приходит к своему отрицанию: учащиеся в состо­ янии решать задачи без явного обращения к алгоритмам. Отдельные условия отпочковываются, становятся, в соот­ ветствии с процессом мышления, зародышами производ­ ных логических форм. В этом вторая особенность логиче­ ских форм: готовность к саморазвитию — делением и син­ тезом. Обращаясь к задачам различными логическими условиями, модель знаний, стоящая за формой, развива­ ется, совершенствуется — в действии. Отсутствие внеш­ них воздействий разрушает логическую форму, актив­ ность— способ ее самосохранения. Это третья особен­ ность логической формы.

Математический расчет показывает, что переход к ло­ гической форме знаний создает такие сдвиги в модели, при которых удельный вес информации, идущей на дости­ жение цели, увеличивается. Возрастает ценность инфор­ мации, которая из меры затраченного труда становится мерой приближения к цели.

3. Развитие операторно-логической формы сопровож­ дается ее сокращением. Этот процесс мы называем е в е р- т ыв а н и е м* ) . Он включает: 1) объединение нескольких операторов в один. Происходит: путем а) простого объ­ единения— композиции; б) склеивания — наложения од­

ного оператора на другой по их общей

части; в) погло­

щения — вида склеивания, когда один

из операторов

принадлежит другому.

 

2) Объединение логических условий соответственно

объединению операторов.

 

включаются

3) Погружение операторов: операторы

в состав логических

условий,

и возникает

логическая

форма.

неполных

форм — логических

коор­

4) Образование

динат.

 

 

 

 

4. Одним из центральных в работе является понятие

управления в структуре, отражающее свойство

упоря­

доченности мышления и знания или (в модели) готовно­ сти одних операторов непосредственно следовать за другими (вызывать другие). Показано, что оператор,

производящий оптимальное

управление, т. е.

имеющий

наибольшее

число прямых

вызовов, часто

выступает

в мышлении

представителем

всей формы, и

создаются

объективные

условия для

перекодирования формы

в одноэлементное образование. Введенная нами матри­ ца вызовов характеризует тенденцию к возрастанию управления за счет элиминирования промежуточных операторов, образования прямых связей. Это дает осно­ вание считать матрицу вызовов и её степени одной из возможных моделей (матричной моделью) процесса свертывания мыслительных структур.

5. В обучении с помощью алгоритмов важна про­ блема длины шага. Она ставится так: на какой ступени свертывания следует вводить алгоритмы, чтобы достичь высоких результатов в кратчайшее время при мини­ мальных затратах психических усилий учащихся. Ана­

*) Он отражает свертывание психических структур.

лиз показывает, что в действующих учебниках И посо­ биях по математике, как правило, понятия даются сразу в завершенной свернутой форме, операторы элиминиро­ ваны, и процедурный характер образования понятия скрыт. Фактически расчет берется па наиболее одарен­ ных учащихся, способных перейти к высшей форме поня­ тия, минуя операторно-генетическую форму. С другой стороны, оказывается, излишнее дробление операторов на элементарные в ряде случаев грозит нарушением единства понятия, потерей обучающимися интереса к материалу и, в итоге, не менее иогубно, чем введение структур сразу в логической форме. Длина шага, по-ви­ димому, зависит от индивидуального уровня математи­ ческого развития учащегося, а также от его исходных знаний по данному вопросу. (Было бы интересно попы­ таться найти подходы к решению обратной задачи: на основе выявленной оптимальной длины шага при усвое­ нии алгоритмов определенного типа дать заключение об уровне математического развития учащегося.)

6. Особенности функционирования логических коор­ динат описываются принципами множественного развер­ тывания и индукции. Множественность (неоднознач­ ность) развертки обеспечивает логическим координатам готовность к решению задач разных типов. В возникаю­ щей ситуации неопределенности, связанной с выбором, как правило, обеспечивается высокая эффективность творческого решения задач, когда отсутствуют (неизве­ стны) регулярные методы.

Принцип индукции формулируется так. Если общей частью двух форм являются логические координаты одной из них, то при совместной актуализации этих форм другие логические условия второй формы сознают­ ся ослабленію. Речь идет о направленном изменении восприятия одних форм при наложении на «их логиче­ ских координат других форм,— когда под влиянием «внешних» координат индуцируется усиление сознавания совпадающих с ними признаков и ослабляется сознавание остальных признаков. Отсюда следует, что если 2 логические формы имеют общие координаты, то другие признаки при актуализации этих форм сознаются ослабленно. В итоге формы предстают объединенными

их общими

логическими координатами.

Мы приходим

к важному

результату — обобщению на

основе логиче­

ских координат.

 

7. Свернутый и развернутый виды алгоритма соот­ ветствуют двум алфавитам: внутреннему — в нём мате­ матическая задача решается человеком — и внешнему, служащему обычно для первичного восприятия условия и вывода решения вовне. Нам удалось найти числовой параметр, инвариантный относительно «языка» — весо­ вую характеристику алгоритма, свидетельствующую о единстве психологических процессов свертывания — развертывания.

8. Подходы к решению математической задачи, как показывает эксперимент, находятся учащимися во внут­ реннем алфавите, на уровне свернутых логических форм и логических координат. Задача просматривается не до конца, но на такую глубину, когда уже можно оценить целесообразность гипотезы. «Операторы», по мере необ­ ходимости, вызываются и срабатывают автоматически. Действия могут не сознаваться, а результат — восприни­ маться как неожиданный.

Это прикидка. Затем логические координаты находят себя в соответствующих действиях. Так оборачивается процесс, и, вызванная определенными действиями, логи­ ка знаний словно становится над этими действиями. Ло­ гические координаты (точнее, их психологические экви­ валенты) теперь «подстораживают» появление удовле­ творяющего им комплекса признаков, чтобы развернуться в операторную форму. Этим, по-видимому, обеспечивает­ ся быстрота, легкость заключений.

Под управлением логики операторы перекодируются в абстрактные символы, обезличиваются, обобщаются — возникает готовность к решению любой задачи данного типа. В мышлении образуется самоуправляющаяся сис­ тема, функционирующая в соответствии с формулой: от управления логикой с помощью операторов (действий)

клогике управления операторами.

9.Нами экспериментально исследованы случаи рас­ члененности операторов и логических условий в мышле­ нии учащихся. Компоненты в известной мере независимы

и только «сосуществуют». Общие положения перестают управлять действиями: действия сами по себе, прави­ ла — сами по себе. (Формулы и теоремы учащийся знает, а решать задачи не умеет). Феномен можно назвать раз­ рывностью мышления. С этим связано и явление так на­ зываемой сплошности, когда алгоритм навязывается за­ даче без учета ее особенностей. Оно выражается в не­

умении перестроить алгоритм *\ приспособить его к данной задаче, отказаться от него в случае непригод­ ности.

Удалось установить, что отмеченные многими автора­ ми трудности переключения с «прямого» хода мышления на «обратный» также, по-видимому, связаны с разрыв­ ным мышлением, — когда переход от сформировавшейся логической структуры (прямой) к ее операторной раз­ вертке осложнен необходимостью обращения операто­ ров. С другой стороны, распространенные случаи отож­ дествления школьниками обратных связей с прямыми, возможно, являются одним из вариантов сплошности. Экспериментально доказано, что у школьников, широко использующих в обучении алгоритмы, расчлененность между прямыми и обратными предложениями наблю­ дается значительно реже, а эффект отождествления поч­ ти полностью исчезает. Исследование показало, что на уровне развитых логических координат у учащихся соз­ дается равновесное психическое состояние, когда диск­ ретность элементов логических форм не сопровождается

(как это можно было ожидать)

разрывным мышлением,

а непрерывность развернутых

структур не переходит

всвою противоположность — сплошность.

Спозиций операторно-логической модели разрывное мышление интерпретируется как дефект перекодирова­ ния. С одной стороны, недостаточность сокращения на­

чальных, развернутых структур

(слабость

кодирова­

ния)— задержка информации на

«входе». С

другой —

слабость перевода сокращенных образований в развер­ нутые связные формы (декодирования) — задержка информации «на выходе». Есть основания предположить, что сплошность представляет собой вид компенсации раз­ рывного мышления — ценой запоминания несокращенных форм и оперирования ими без перевода.

10. Существует, по крайней мере, два пути оптими­ зации процесса переработки математической инфор­ мации.

а) Образование иерархических структур-систем «вло­ женных» алгоритмов. Иерархическое перекодирование оказывается психологической формой распространенного среди кибернетических систем метода укрупнения инфор-

*> Т. е. создать на его основе новый алгоритм, пригодный для решения данной задачи.

мации, при которой запоминается и используется неболь­ шое количество символов большой информационной плотности.

б) Синтезирование систем многосторонних связей, когда в ответ на актуализацию одного оператора сраба­ тывает целый комплекс связанных с ним операторов.

В заключение отметим, что предлагаемая здесь мо­ дель усвоения математических знаний имеет, в основном, дискретный характер и, по-видимому, описывает скорее не процессы мышления, а их отдельные состояния. Речь, таким образом, идет лишь о некотором приближении к истинному механизму.

Автор не считает данное исследование законченным. Напротив, он уверен, что построенная модель обучения и мышления может быть продолжена и уточнена в ре­ зультате дальнейшего теоретического и эксперименталь­ ного исследования, которое, он надеется, откроет ряд нетривиальных результатов.

* *

*

В психологическом исследовании мышления познава­ тельный акт выступает в качестве процесса, развиваю­ щегося с некоторого начального состояния объекта (от­ носительно субъекта). В нашем случае это состояние ох­ ватывает условие и требование математической задачи, а также наличные знания человека, определяющие его готовность к решению данной задачи. «Разность» между требуемым и наличным создает градиент, являющийся необходимым условием мыслительного акта, внутренним импульсом для его совершения. При наличии градиента производится некоторая последовательность умственных операций (анализ, синтез, обобщение, абстракция), и за­ дача приводится к новому состоянию — открываются не­ известные ранее и не схваченные вначале зависимости, связи. Ответом на это состояние являются новые опера­ ции, действия и т. д. В этом, нам представляется, суть известной формулы С. Л. Рубинштейна о том, что «не операции порождают мышление, а процесс мышления по­ рождает операции, которые затем в него включаются» (см. гл. I, § 1).

Важным звеном психологического механизма процес­ са является анализ через синтез: выполняются пробные действия, имеющие ориентировочный характер, объект

256

включается в новые отношения и, в соответствии с полу­ ченным результатом, действия продолжаются, корректи­ руются, отклоняются. В ряде случаев состояние харак­ теризуется несколькими известными исходами, множество вариантов возможных действий обозримо, и поиск, как мы видели, поддается алгоритмическому описанию.

По крайней мере, два условия способствуют этому. 1. Действия сокращены но времени, свернуты. 2. Логи­ ческие связи в модели знаний квантуются в относительно небольшие локальные системы, и это облегчает при их развертке просматривание результата еще до того, как произведены все действия *>. Речь идет о действиях, ког­ да область поиска уже определилась, п она уточняете:! с помощью операций локального характера.

Структура поиска общего, стратегического направ­ ления решения задачи сложнее, так как неопределен­ ность (количество возможных исходов, трудность учета вариантов) здесь неизмеримо больше. Поиск основан на обобщениях высшего уровня, содержит неполные (неза­ вершенные) формы знаний, логические координаты вто­ рого типа, соответствующие различным направлениям применения знаний. Эти формы уточняются е помощью антиципирующих моделей, координаты обрастают допол­ нительными связями уже в ходе самого действия, когда результат каждый раз (по линии обратной связи) управ­ ляет дальнейшим развитием психологического действия. Этот процесс творческого мышления имеет сложную ве­ роятностную структуру, как правило, не поддается алго­ ритмическому описанию и по возможности «увести в сто­ рону» скорее приближается к эвристическому. Повидимому, здесь находится принципиальный рубеж возможности алгоритмизации обучения и мышления. Таким образом, мыслительный акт развивается сверху вниз: от наиболее сокращенных, часто — неполных, ори­ ентировочных форм знаний к завершенным логическим структурам, которые часто моделируются с помощью алгоритмов. Процесс протекает в соответствии с извест­ ной формулой В. И. Ленина: «Движение познания к объ­ екту всегда может идти лишь диалектически: отойти, что­ бы вернее попасть — отступить, чтобы лучше прыгнуть (познать)» [1]-

Способность .перерабатывать и запоминать материал неболь­ шими порциями составляет психологическую основу программирован­ ного обучения.

Приложение 1 Обучающие алгоритмы

Алгоритмические описания особенно ценны в обучении в тех нередких случаях, когда математические понятия вводятся некон­

структивно — в

терминах

неограниченных

кванторов

всеобщности и

 

 

 

 

существования,

а

также,

когда

 

 

 

 

понятие

насыщенологическими

 

 

 

 

связями,

за

которыми

не

сразу

 

 

 

 

усматриваются

соответствующие

 

 

 

 

логико-математические

операции.

 

 

 

 

Такими,

по

существу,

являются

 

 

 

 

все

понятия

теории

пределов.

 

 

 

 

сти.

I. Предел

последовательно­

 

 

 

 

Дано

{ап} — последователь­

Рис. 47.

 

 

ность и число

а.

 

 

 

 

 

 

 

Проверить, является ли а пре­

 

 

 

 

делом последовательности.

 

1. Алгоритм в словесной форме (табл.

30).

 

(табл.

31).

 

2. Алгоритм в форме

Ляпунова— Шестоіпал

 

 

1

1

3

2

4

2

3

4

 

 

 

 

 

А В Ы С I D E l e ] G g î T KL . і н Î I T .

 

 

 

( 1 . 1 )

Логическая форма алгоритма: eg (1.2)

неравенства

 

|а„—а |< е

Словесно:

lim an = a ,

если

решением

 

или усиленного

п

 

 

 

п > )(в). В противном случае—

неравенства является

lim а„ =Фа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы пришли к наиболее динамичным вариантам известных опре­ делений, которые неявно заключают и действия для распознавания числа как предела последовательности. Для сравнения приводим эти определения в обычной, «статической» форме, записанными с по мощью предикатных формул.

lim ап = а :ѴеП/ѴКп(е > 0 & п > N - * | а п — а. | < е ).

(1.3)

00

 

Для каждого в существует N, что для всех п: из е>0 и n*>N следует | а „ — а |< е .

lim a n j r a : z t y N y n ( z > 0 & n > N & | а п — а \ 5гв)

(1.4)

п -* од

Граф алгоритма (рис. 47).

Эксперимент. Результаты и их анализ

В эксперименте участвовали 2 учебные группы 1-го кур- са физмата пединститута (61 человек), которым понятие п р ед е л а последовательности сообщено в алгоритмической форме. Р е з у л ь т а т ы . 39 испытуемых в ходе дальнейше­ го изучения материала самостоятельно пришли к тради-

258

Указания.

(Указания выполняются в порядке их записи)

1.Взять произвольное сколь угодно малое положи­ тельное число

2.Составить разность между общим членом после­ довательности и предполагае­ мым пределом.

3.По возможности упро­ стить разность

4.Взять абсолютное значе­ ние разности

5.Допустить, что \апа\ меньше е.

6.Если можно, решить по­ лученное неравенство отно­ сительно п.

7.В противном случае „усилить“ неравенство, что­

бы оно стало разрешимым относительно п. Это значит: получить неравенство, из ко­ торого следует данное (но которое, возможно, не сле­ дует из данного)

8. Если при решении не­ равенства окажется, что п больше некоторой величины (зависящей от е), то а—пре­ дел последовательности.

9. В этом случае найти целую часть числа /(s) и обозначить ее N. (При n^>N выполняется |а„—a|< e)

10. Если условие указания 8 не выполнено, то а не явля­ ется пределом последователь­ ности.

Символйчес* кое сбознічение

е^>0

ап—а

\ап—а| < е

«>f(s)

ітаѵ ~а

Пояснение на примерах

Нт / , J L . \ _ ,

 

3

lim —э6

я->00\

п+ пг)

/2-»00 П

 

 

Ф—2

 

*>о

 

О

 

 

V

1

2

3

 

-------1

п

 

 

 

 

 

 

— (2)

 

2

3

 

 

п + п 3

— + 2

 

п

1

 

2

3

+ 2

 

/2—(—/Î3

п

 

2

3

 

л4-я3<' е

Г + 2 < е

 

3

 

 

 

 

 

п<—Ö---

 

 

^

2—е

 

 

(* < 2)

а)л г < е

 

 

б) ^r< «

 

 

 

2

 

 

в) я+н О

 

 

и другие.

 

 

 

2

 

 

а)

« > —

 

 

lim (1- / 2 + / І 3

М^Е(}(г)) N = E

Г 2

 

-

 

Например,

при

£=0,3

 

N = E

20 ^

=6

Ч

Ххтапфа

 

3

 

\хт-ф

 

 

Ф 2

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ