книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

Знаки второй формы сознаются ослабленно. Речь идет о направленном изменении восприятия одних форм при «наложении» на них логических координат других форм. Будем говорить о преобразовании логических форм через индукцию — когда под влиянием «внешних» координат ослабляется сознавание несовпадающих с ними призна­ ков и соответственно усиливается сознавание общих признаков.

Ситуации в примерах а) и б), на наш взгляд, до­ статочно хорошо объясняются принципом индукции. Следующие примеры также поясняют принцип. 1) Ло­ гическая координата высоты треугольника: перпендику­ ляр к стороне. 2) Логическая координата медианы тре­ угольника: проходит через середину стороны. 3) При­ знаки геометрического места точек, равноудаленных от концов стороны треугольника: а) Перпендикуляр к сто­ роне. б) Проходит через середину стороны.

При решении вопроса о центре описанного около треугольника круга координаты (1) и (2) накладыва­ ются на логическую форму (3). Тогда в ней, вследствие индукции, ослабленно сознается то второе условие, то первое. Геометрическое место точек может сознаваться как «высота» или «медиана». Возникают предпосылки для ошибочных заключений: центр описанного круга на­ ходится на пересечении высот или медиан. Такие ошибки учащихся имеют место в обучении.

кает ошибочное заключение: —а2п = а2п. Такова, на наш взгляд, также природа распространенной в школьной практике ошибки: —cosx = cosx и т. д.

Из принципа индукции вытекает следствие. Если 2 логические формы имеют общие координаты, то другие признаки, при актуализации этих форм, сознаются ос­ лабленно. В итоге различающие формы признаки как бы отходят на второй план, и формы предстают объединен­ ными их общими логическими координатами. Здесь, ве­ роятно, можно говорить об обобщении форм на основе логических координат.

II. Тенденцию к уменьшению числа признаков и действий, а так­ же к «навязыванию» известных ситуаций в процессе математиче­ ского мышления можно истолковать с позиций теории информации. Если ситуация подлежит преобразованию в соответствии с требо­ ванием задачи, то она должна удовлетворять определенным приз­

полняется (значение—0). Например, слагаемое является квадратом— соответствующий признак — быть квадратом — выполняется; слагае­ мое не является квадратом — признак не выполняется. Легко пока­ зать, что п признаков (х{, хг, ..., х п) описывают 2п возможных си­ туаций с соответствующими наборами нулей и единиц. Однако дан­ ной задаче удовлетворяет единственный набор (1, 1....... 1), наличие которого и следует проверить.

Количество признаков служит одним из компонентов сложно­ сти, или, на языке теории информации, неопределенности ситуации. Чем больше неопределенность, тем больше информации приходится переработать для распознавания и преобразования ситуации.

С другой стороны, прошлый опыт действует в направлении воз­

информации, также уменьшает неопределенность ситуации. Если так, то закономерности, о которых шла речь, возможно, отражают единое свойство психики — оптимизировать процесс переработки информа­ ции: получать результат ценой раскрытия минимальной неопределен­ ности. Тот факт, что на этом пути бывают ошибочные умозаклю­ чения (в связи с этим, мы сочли возможным соответствующие признаки назвать квазиинфармациоиными), свидетельствует о недо­ статочности описанных процессов «сокращения» и «упрощения» признаков и действий.

Итак, если (в данных условиях) при каждом из способов пере­ работки информации— неполном сознавании признаков, адекват­ ном сознавании, неадекватном сознавании —• возможно правильное выполнение ответных действий, то преимущественно актуализируется тот способ, который позволяет это сделать ценой переработки мень­ шего количества информации.

5. Методические соображения

Остановимся подробнее на роли логических коорди­ нат в осуществлении преемственности понятий при ус­ воении математики. В этом смысле образцом изложения материала нам представляется учебник для механико­ математических факультетов университетов Г. М. Фих­ тенгольца «Основы математического анализа» [119].

Возьмем несколько примеров из гл. II, т. 1. Ставя вопрос о пределе монотонной последовательности, автор пишет; «Теоремы о существовании пределов функций, которые приводились до сих пор, имели такой характер: в предположении, что для одних функций пределы суще­ ствуют, устанавливалось существование пределов для

Других функций, так или иначе связанных с первыми. Вопрос о признаках существования конечного предела для заданной функции, безотносительно к другим функциям, не ставился... Мы рассмотрим здесь один простой и важный частный класс функций, для которых он ре­ шается легко...» (§ 3, стр. 92). Далее формулируется и доказывается теорема о пределе монотонной (ограни­ ченной) переменной.

Итак, во всех предыдущих теоремах, среди прочих, имеется и такое условие (в нашей модели — логическая координата): можно -подобрать функцию (с определен­ ными свойствами), для которой заведомо существует предел. Если такую функцию найти не удается (соот­ ветствующая логическая координата принимает отрица­ тельное значение), то теорема теряет силу, и тогда ста­ вится вопрос об условиях существования предела для некоторых функций безотносительно к другим функци­ ям. Ответом является теорема о монотонно-ограничен­ ной последовательности. Логическая координата, при определенном направлении ее развития, стала в модели обучения зародышем новой логической формы.

Другой пример. «В случае неограниченной последо­ вательности иной раз оказывается невозможным выде­ ление частичной последовательности, имеющей конечный предел ... Наоборот, для ограниченной последовательно­ сти имеет место следующее утверждение ...» Формули­ руется лемма Больцано—Вейерштрасса об извлечении сходящейся подпоследовательности из ограниченной -последовательности (стр. 105). Говоря об общем при­ знаке существования конечного предела последователь­ ности: «.. . Само определение предела для этой цели служить не может, ибо в нем фигурирует уже тот пре­ дел, о существовании которого идет речь. Мы нуждаем­

жения логических координат, эти «вступления» к теоре­ мам все же, главным образом, нацелены в будущее, являются как бы первыми приближениями последующих теорем. Они, в большой мере, сообщают изложению системность, связность. Вероятно, можно говорить об активном формировании в психологической модели си­ стем внутрипредметных ассоциаций (гл. ! , § ! ) •

Логические координаты — не единственное связую­ щее звено между известным и искомым. Другим спосо­ бом связи является опора на ранее усвоенные действия, операции.

нятие непрерывность. Автор учебника в полном смысле обучает читателя «методике и технике творческого мыш­ ления» (Н. А. Менчинская, см. гл. I, стр. 44). Разум­ ность умственного действия («.понимание») обеспечива­ ется еще до выполнения действия «выставлением впе­ ред» некоторых логических координат — для преемст­ венности, связи. По существу, происходит обучение по гальперинскому второму и третьему типам ориентиров­ ки (см. гл. I, стр. 43). Однако далеко не все авторы считают нужным обращаться к операторно-логическим формам связи.

Приведем несколько примеров из учебника Н. Н. Ни­ китина по геометрии (учебник для 6—8 классов, «Про­ свещение», Москва, 1965, § 30, стр. 66). Начинается сразу с теоремы. Против большей стороны в треуголь­

«операторное введение». Возьмем ААВС. Пусть АВ~>ВС. Найдем угол, лежащий против стороны AB. Теперь най­ дем угол, лежащий против ВС и т. д. Затем формули­ руется и доказывается теорема.

К сожалению, этот пример не является исключением для данного и большинства других школьных учебни­ ков. На стр. 75 свойство перпендикуляров к прямой так­ же начинается с формулировки теоремы. И только на следующей странице выясняется, уже в связи с другим вопросом, что доказанная теорема является признаком параллельности. При этом остается неизвестным, что

метить, что здесь использована координатно-логическая форма связи.

Ранее было показано, что логические координаты возникают как продукт развития операторной формы при обучении учащихся с помощью алгоритмов. Отсюда следует, что математическая модель обучения способст­ вует осуществлению важного дидактического принципа— системности в мышлении и знаниях; отражает один из механизмов возникновения целостности психической дея­ тельности [100].

Г л а в а IV

К ВОПРОСУ О МОДЕЛИРОВАНИИ МЕХАНИЗМА МЫШЛЕНИЯ

1. Модель первая

Начнем с протокола решения учащимся тригономет­

(sin jc+eosx)4 и, в общем, приведется тс синусу двойного аргумента . .. Лучше перенести одно слагаемое вправо. Первое? Второе?... Разложим, а дальше что? Да, sin2(x + n/4) ... Если — как половинный угол, то непло­ хо... Снова приходим к sin2x. (Производит преобразо­ вание:

1+ sin2х^ _____— ~ sin 2x (2-[-sin 2.x)). Asin4x висит...

ного продвижения {Р}. Можно, конечно, попытаться сна­ чала 'возвести в к в адр ат {£ } — в ы р а ж ен и е сведется

к f (sin 2х) {F). го§

Этот вариант надо будет Додумать, а теперь посмот­

Удачного продолжения не видно. Обратимся снова^к 3-му

X (2-|-sin2*); cos2* — sin2x ==1{G). Дальнейшее реше­ ние стереотипно».

Мы видим, что в процессе «нащупывания» решения данного примера актуализируется некоторый «алгоритм мышления», операторы которого выделены нами в фи­ гурных скобках. Разберем содержание этих операторов.

А. В связи с некоторым общим критерием оценивает­ ся сложность задания — в данном случае рассматрива­ ются и сравниваются функции, аргументы, их структура и зависимость с целью прийти (приблизить) к уравне­ нию, для решения которого известен алгоритм. Опера-

тор А вводны й — он о т р а ж а ет нач а ло реш ения и больш е

не повторяется .

C. Предварительный выбор ответного действия,— производится только после действия, формализованного оператором А. Оператор С имеет ориентировочный, пробный характер.

Р. Нахождение рассогласования и принятие решения. Когда действие выполнено (в модели — операторы F,G), возникает необходимость в оценке соответствия резуль­ тата поставленной цели. Можно условно допустить, что управление процессом, т. е. оценка результата и приня­ тие решения, осуществляются на основе сигнала рассог­ ласования между ожидаемым (эталоном) и полученным. Этот оператор сложный и, как будет показано дальше, может быть разложен на составляющие операторы.

D.Выбор другого ответного действия на основе но­ вой ориентирующей координаты. Означает, что преды­ дущее действие (группа действий) не дало желаемого результата. Актуализация этого оператора знаменует изменение стратегии, общего направления мышления.

E.Выбор уточняющей координаты. На основе преды­ дущих действий «рассогласование» уменьшилось, но оно еще сохраняется. Тогда в соответствии со «стратегиче­ ским» оператором D, отражающим общее направление действий, и в плане его развития выбирается следующий

ориентир.

Различие между операторами D и Е — существенное. D означает, что предыдущие действия не удовлетворя­ ют (или не вполне удовлетворяют). Е, напротив, означа­ ет уточнение ориентира для развития предыдущих дей­ ствий и имеет «тактический» характер.

F. «Свернутое» выполнение действий. Назначение оператора— описать проникновение в исследуемую об­ ласть не до конца, но на такую глубину, когда уже мож­ но предвосхитить примерный результат; на основе наи­ более общих логических координат — высших символов, означающих целые системы операций и свойств — про­ верить пригодность выбранных преобразований.

G. «Развертывание» ответного действия. Отражает перевод модели в операциональную форму.

Описанные операторы можно разбить на 3 группы. 1. Управляющие операторы: А, Р. Они служат для отражения процесса оценки ситуации и принятия реше­

ния.

2.Операторы выбора: С, D, È. Актуализируются йод контролем управляющих операторов. Имеют пробный характер.

3.Операторы действия: F, G. Продвигают решение,

выбору действия должно предшествовать принятие реше­ ния, а оно связано с оценкой ситуации. Оценка же, как правило, невозможна на основе одного только наблюде­ ния, статически. Чтобы оценить, надо несколько изме­ нить ситуацию, попытаться ее «продвинуть», произвести предварительное действие. Таким образом, действия, аккумулированные в свернутых логических структурах, как бы управляют сами собой. Иерархическое перекоди­ рование, ведущее к образованию уплотнённых, высших символов математической модели,— это отражение свой­ ства психики, лежащего, по-видимому, в основе самоуп­ равляющей системы человеческого мышления.

Вернемся к эксперименту. Выпишем последователь­ ность операторов, знаменующую решение примера и яв­ ляющуюся одной из возможных реализаций «алгоритма мышления»

Обратим внимание на некоторые особенности этой строки.

1) После оператора «свертывания» F всегда идет Р. Функция процессов, стоящих оператором F, — обеспе­ чение принятия решения.

2) Р может следовать также за оператором «развер­ тывания» G. Это означает, что решение принимается на основе развернутых действий.

3) Решение принимается в одном из трех направле­ ний, и соответственно возникают психологические состо­ яния, формализуемые логическими условиями.