книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

том их индивидуальных особенностей. Например, н е ­ равенство х2—6х+10>0 решается искусственным мето­ дом, устно: (х—3)2+1>0; х — любое действительное число и т. д. Если на более низких ступенях действия, обозначенные операторами, создают определенные со­ стояния выбора (в модели — логические условия), то теперь процесс оборачивается — при возникновении неко­ торого комплекса условий, благодаря наличию состоя­ ния «готовности», срабатывает соответствующая после­ довательность действий. Вызванная определенными дей­ ствиями, логика словно стала над этими действиями. От процесса управления логикой к логике управления процессом — такова формула познания.

Отмеченные этапы в механизме формирования свер­ нутых умозаключений характерны, в основном, для ис­ пытуемых с более или менее ограниченными математи­ ческими способностями. У способных они как бы сли­ ваются, и иногда «с места» возникает сокращенная форма. Учащиеся с ограниченными математическими способностями часто пытаются преодолеть трудности образования логической формы (соответствующей моде­ ли знаний) и далее — логических координат путем сня­ тия проблемы, запоминания готовых логических обра­ зований, вне или при минимальной связи с действиями (операторами), вызывающими их. Этому способствует постановка нашего математического образования, при которой в понятиях, правилах часто изначально исклю­ чаются оперативные элементы, и предложения пред­ стают учащимся в завершенной логической форме.

Опасность тем более велика, что образовавшаяся та­ ким образом квазилогическая форма маскируется под истинную логическую форму, ничем не отличаясь от нее внешне. Более того, она вполне пригодна для решения несложных, шаблонных задач. Однако в нестандартных задачах, когда необходима опора на ведущие логиче­ ские координаты для развертки сложной системы дей­ ствий,— квази-логическая форма уже не работает. Этот факт часто открывается учителю неожиданно («Вот ведь! — ученик до 6-го класса был отличником и вдруг как-то перестал понимать математику».) Сказанное, конечно, не означает, что обучение всегда начинается с раскрытия операторной структуры. Напротив, управ­ ление мышлением предполагает, что обучение должно опережать, вести за собой. Поэтому на некотором уров­

ческие данные о наиболее частых ошибках, допущенных на экзаменах по рассматриваемым вопросам. Из каждых 100 неверных ответов студентов стационара и заочного

Из 70 человек, допустивших ошибки и получивших ука­ зание об определении предела последовательности на «языке в—N» (или функции — «на языке е—ô»), -—45 от­ вечали (правильно. Из 100 ошибок ів понятии равномер­ ной непрерывности функции — 90 приходится на переста­ новку кванторов: вместо существует б для всех х упо­ требляют— для каждого х существует б и т. д.

Таким образом, в рассмотренном протоколе из соот­ ветствующих определений намечены лишь связи, пере­ ключения, специфические условия, отличающие одно понятие от другого; воспроизведены фрагменты, играю­ щие роль характерных «узловых точек» (непрерывного мыслительного процесса), с помощью которых можно, при необходимости, восстановить понятия. Они создают экономную организацию памяти — все, что привязано к ним, выражается через них, опущено, подразумевает­ ся. Ясно, что речь «дет о логических координатах. Таким образом, логическая форма алгоритма, в соот­ ветствии с отражаемой ею моделью знаний, является лишь переходной ступенью математической модели обу­ чения. Она деформируется, следуя перегруппировке сложившихся в памяти ассоциативных связей, с учетом индивидуально-психологических особенностей учащегося, то в «уплотненные» логические координаты, схватываю­ щие основу модели знаний, то в наборы логических условий, отражающие, в большой степени, фоновые при­ знаки ситуации.

На вопрос, поставленный в конце предыдущего пара­ графа, мы, следовательно, можем ответить, что логиче­ ские координаты могут возникнуть как высший этап развития логической модели знаний.

3.Логические координаты и интуитивные представления в процессе решения

математических задач

I.Ниже сделана попытка, с позиций операторно-ло­ гической модели, подойти к важнейшему вопросу мате­ матического мышления — механизму так называемой

Решение. В четверти круга ОВС заменяем заштрихованную часть на равновеликую (ABD). Прямоугольник равновелик полу­ кругу. 0 0 і = я/2 (рис. 26).

7. Может ли сечение параллелепипеда плоскостью быть пра­

О т в е т : нет. Решение. Плоскость должна пересечь 5 граней параллелепипеда, среди них 2 пары параллельных граней — по парал­ лельным прямым. Но в правильном пятиугольнике нет параллель­ ных сторон.

четное число (удвоенное количество ребер: каждое ребро принад­

сти, расположенные по одну сторону от этой прямой, сохраним прежних цветов. В тех же, что расположены по другую сторону, цве­ та областей переменим на противоположные. Задача решена мето­ дом полной математической индукции.

10. Плывя в лодке против течения, человек бросил палку в воду и, не останавливаясь, продолжал движение в том же направлении.

Через 15 минут он повернул лодку и догнал палку в 1 км от того места, где выбросил ее. Найти скорость течения (рис. 27).

Решение. За 15 минут лодка проходит AD против течения или

менно ему навстречу из пункта В вышел мотоциклист со скоростью

Рис. 27.

Молет возвращается в А, затем вновь поворачивает навстречу мо­ тоциклисту и т. д., пока мотоциклист не прибудет в В. Какой путь пролетит самолет?

О т в е т : SVJ VÏ.

Решение. (Алгебраическое решение с помощью уравнений очень сложно. Приводим изящное устное решение.) Время самолета в пути равно времени, за которое мотоциклист прошел из В в А, т. е. s/v2,

и%= 2пп.

14.В зале я ^ 2 человек. Доказать, что среди них найдутся 2 че­ ловека, имеющие одинаковое число знакомых (никто не считается знакомым самому себе. Если А знаком с В, то В знаком с А).

Решение. Из п присутствующих в зале каждый знаком не более, чем с (я—1) человеком. Тогда, по крайней мере, двое имеют

мере, две суммы имеют одинаковые остатки от деления на п, и тогда их разность кратна я.

Замечание. Задачи 14 и 15, несмотря на внешнее различие, имеют внутреннее сходство, что выражено в общей идее решения. Задачи объединены в одном эксперименте и решаются испытуемыми

впорядке следования — от простой к сложной.

16.Доказать: log tg 1° • log tg 2°.., log tg 98° • log tg 99°=0.

В одном кошельке все монеты фальшивые. Нефальшивая монета

одним взвешиванием, в Жаком кошельке фальшивые монеты? Решение. Раскладываем кошельки. Из первого кошелька берем

одну монету, из второго — 2 монеты, из третьего—3 и т. д. Ото­ бранные монеты кладем на весы. Количество раз-новесок по 0,1 г, которое потребуется для уравновешивания (сверх 55 пятиграммовых

Можно ли утверждать, что не все владельцы телевизоров ходят на стадион?

О т в е т : можно.

Решение. Если бы все владельцы телевизоров ходили на стадион, то они (по б)) обязательно должны ходить в кино, что противоре­ чит а). Ответ поддается уточнению: на стадион не ходят люди, имеющие телевизоры и не посещающие кино.

20. Требуется перенести п круглых пластинок различных разме­ ров со столбика А на столбик В (детская пирамида), используя вспомогательный столбик С. За один ход переносится только одна пластинка, с любого столбика па любой, но запрещается при этом класть большую пластинку выше меньшей.

Решение. При п — 2 перенести легко. Пусть известно, как осуще­ ствить перенос «k» пластин. Перенесем их с Л на С. Затем, пере­ ложив (&+1)-ю пластинку с А на В, перенесем «k» пластин с С на В, используя А как вспомогательный столбик. Идея решения: снятие пластинки с А целесообразно только при свободном С. Значит, упорядочение пластинок на В необходимо для снятия следующего кольца с А.

II. Не претендуя .на полноту анализа, приведем не­ которые соображения, возникшие в связи с исследова­ нием специфики решения испытуемыми эксперименталь­ ных задач. Прежде всего, расширим понятие логической координаты. Понятие логической координаты приобре­ тает объективный смысл, когда задача нешаблонна и для ее решения неизвестен алгоритм. Под логическими координатами мы до сих пор понимали логические условия (признаки) и их сочетания, а также фрагменты структур, которые способствуют решению математиче­ ских задач. Ясно, что условия, помогающие или уско­ ряющие решение одних задач, могут оказаться непри­ годными для других. Поэтому нельзя говорить об абсо­ лютных логических координатах алгоритма, независимо от решаемых задач.

Логическая модель знания как бы поворачивается своими признаками к задаче и, в зависимости от содер­ жания задачи, те или иные признаки или их группы вычленяются как логические координаты. Однако в бо­ лее сложных случаях приходится опираться также на признаки, свойства, логические связи и их сочетания другого типа: они специфичны только для данной за­ дачи, не являются элементами известных алгоритмов, т. е. общих методов решения многих задач.

Поскольку признаки обоих типов встречаются в за­ дачах одновременно и их часто трудно разграничить, то и во втором случае будем говорить о логических координатах — второго типа. Таким образом, в широком понимании, логическими координатами задачи являются опорные логико-математические элементы, синтезирова­ нием которых образуется решение задачи.

Для пояснения сформулируем наиболее важные ло­ гические координаты некоторых из вышеприведенных экспериментальных задач, указав в скобках тип коор­ динат.

Задача 2. а) Вписанный угол, опирающийся на диа­ метр,— прямой (1). б) Три высоты треугольника пере­ секаются в одной точке (1).

Задача 6. а) Если необходимо найти площадь фигу­ ры, то стоит посмотреть, нельзя ли ее представить как

ника четно (1). б) Сумма нечетного числа нечетных чисел — нечетна (1).

Задача 9. а) Если требуется доказать закономер­ ность для п элементов, то стоит попытаться применить принцип математической индукции (1). б) Когда задача решена для некоторого числа прямых, то после про­ ведения дополнительной прямой одинаково раскрашен­ ными могут оказаться лишь смежные области, прилежа­ щие к этой прямой (2).

Задача 10. а) Лодка за 15 минут по течению прой­ дет больше, чем за те же 15 минут против течения, на путь, пройденный палкой за 30 минут (2).

Задача 11. а) Если 2 тела начали и закончили дви­

жение одновременно, то они были в пути одинаковое

б) Разность между последующей и какой-либо преды­

остаток, то их разность кратна п {1).

(Возможно на пути вычленения логических коорди­ нат удастся получить оценку трудности задания, в за­ висимости от количества и соотношения содержащихся

вее решении координат первого и второго типов. Опи­ санный процесс, по-видимому, может быть использован при так называемом программированном обучении.)

Теперь перейдем к экспериментам. Эксперимент по­ казал, что логическая модель понятия или математиче­ ской зависимости не обязательно развертывается именно

вту структуру действий, которой она обязана своим происхождением. Имеется в виду в ту систему умствен­

ментов обнаружилось, что некоторые учащиеся, в соот­ ветствии с первоначальной задачей, понимают тождество sin2a + cos2«= 1 только как возможность вычисления синуса или косинуса аргумента по данному его косинусу (или синусу). Другие учащиеся, более способные к ма­

нус того же аргумента и т. д. Вероятно, в связи с такой разносторонностью «развертки» формулы, задаче «Дано: a2+b2=\\ с2+<22=1. Доказать: |ac + bd|< ;l» ряд уча­ щихся дал «тригонометрическую» интерпретацию, при­ ведшую к оригинальному решению:

a = sinx; b—cosx; с= sin г/; d = cosy,

\ac+bd \ = I cos (*—у) | < 1.