книги из ГПНТБ / Уралов С.С. Общая теория методов геодезической астрономии

коэффициентов при соответствующем неизвестном свободными чле­ нами нормальных уравнений, взятыми с обратными знаками.

Оценка точности производится по известным формулам способа

средние квадратические ошибки уравненных значений неизвестных

(1.40)

УРа-

При решении системы нормальных уравнений с помощью определите­ лей значение [ри2 ] находится по формуле

и контролируется путем вычисления v к [pv~] из уравнений попра­ вок.

Веса уравненных значений определяемых величин находятся па стандартным формулам

Из выражений (1.42), с учетом (1.16) и (1.23) видно, что веса уравненных значений неизвестных являются функциями толькозенитных расстояний и азимутов светил и не зависят от широты пункта. Поэтому средние квадратические ошибки принятых независи­ мых параметров, определяемые формулами (1.40), также не зависят от широты пункта.

На основании (1.35) и (1.36) средние квадратические ошибки гео­ дезического азимута и астрономо-геодезических составляющих укло­ нения отвесной линии будут

m5r = т.%- f m\ sin2 ф, ml = max + тп%, m\ = тп\ +• rr?L cos2 ф. (1.44)

Полагая, что в среднем для пунктов астрономо-геодезической сети ошибки геодезических координат существенно меньше ошибок астро­ номических определений, получим

Из выражений (1.45), с учетом сделанных выше замечаний относи­ тельно (1.42) и (1.40) следует, что точность непосредственного опре-

Для установления выгоднейших условий определения астрономи­ ческого азимута и веса его уравненного значения необходимо про­ извести анализ выражения (1.47). Анализ формулы ml = т%> +

+mjtg2 qp позволяет сделать вывод, что ошибка определения астро­

В этом случае, с учетом весов уравненных величин, представлен­

с широтой ф, при данных средствах наблюдений (данном значении р.),

С учетом полученных выражений наименьшая ошибка астрономиче­

при этом наблюдения северной и южной групи звезд необходимо производить на среднем зенитном расстоянии, определяемом фор­ мулами (В) или (Г).

Исследование формулы ml = ml' - j - m%tg~(p показывает, что ошибка будет близка к своему минимальному значению при соблю­ дении также следующих дополнительных условий:

— при условии та- = myXg ф, что соответствует наблюдениям двух численно равных групп звезд в меридиане, расположенных симметрично относительно зенита, на среднем зенитном расстоянии

2 С Р = 9 0 ° - Ф ,

т. е. на зенитном расстоянии Полярной звезды; при этом наблю­ дения северной группы из — звезд можно заменить многократными

наблюдениями Полярной;

— при условии тпа- = тпу, что соответствует наблюдениям двух численно равных групп звезд в меридиане, расположенных симмет­

такое же ожидаемое значение тп.а будет при наблюдениях одной груп­

будет и при раздельных определениях а' и у. При этом случайные ошибки определения астрономического азимута будут примерно одинаковы как для многократных наблюдений Полярной звезды, так и для наблюдений группы звезд вблизи горизонта, расположен­ ных симметрично относительно зенита. В последнем случае выбор

Для определения у с максимальным весом (см. (1.51) и (1.51)') наблю­ дения светил необходимо производить в меридиане, на малых зенит­ ных расстояниях, симметрично относительно зенита. При указан­

стояния наблюдаемых звезд, представится в виде такой же таблицы, как и для рх. На основании (1.46) вес уравненного значения долготы (времени) будет

Равенства (1.50)' и (1.51)" являются следствием очевидного положе­ ния, что посредством азимутальных наблюдений светил в меридиане невозможно определить составляющую уклонения отвеса х (£), а из наблюдений светил в первом вертикале невозможно определить составляющую уклонения отвеса у (п).

В способах совместного определения азимута и составляющих уклонения отвесной линии нельзя достигуть максимального веса уравненного значения одновременно для всех определяемых величин. Поэтому при совместном определении указанных величин нужно

задаться необходимым для решения данной задачи соотношением весов их уравненных значений, т. е. поставить дополнительное условие вида

Ра> = Рх = Ру

Из анализа выражений весов уравненных значений ра>, рх и ру следует, что для выполнения условий (1.61) необходимо светила наблюдать на каком-то среднем зенитном расстоянии, при равно­ мерном их расположении по азимутам, т. е. при соблюдении следу­ ющих условий:

[cos2 z cos A sin ^1] = cos2 z c p [cos A sin A] = 0.

В этом случае веса уравненных значений, представленные форму­ лами (1.49), (1.50) и (1.51), примут соответственно следующий вид:

Из выражений (1.63) найдем то среднее зенитное расстояние, на ко­ тором необходимо наблюдать светила, чтобы выполнить условие равенства весов (1.61).

Для этого, очевидно, необходимо потребовать, чтобы

Необходимо отметить, что условия (1.62) будут также соблюдены и веса, представленные формулами (1.63), будут теми же, если выбор светил для совместного определения а', х и у производить в плоско­ стях двух любых, взаимно перпендикулярных вертикалов, симмет­ рично относительно зенита.

Таким образом, для совместного определения азимута и соста­ вляющих уклонения отвесной линии, при условии равенства весов их уравненных значений, светила необходимо наблюдать на среднем зенитном расстоянии z c p я» 35,3°, распределяя их либо равномерно по азимутам или располагая в плоскостях двух любых, взаимно перпендикулярных вертикалов, симметрично относительно зенита; численные значения весов уравненных величин на основании (1.63) при этом будут

Pa. = Px = Py = Y' ( [ М ^

Очевидно, что при изменении среднего зенитного расстояния наблюдаемых светил будет изменяться соотношение весов уравнен­ ных значений неизвестных.

Так, если среднее зенитное расстояние будет меньше 35,3°, то условные составляющие уклонения отвесной линии будут опреде­ ляться с весом, превышающим вес азимута; если же среднее зенит­ ное расстояние наблюдаемых светил будет больше 35,3°, то в этом случае вес азимута будет больше весов условных составляющих уклонения отвесной линии. При этом в обоих случаях, если соблю­ даются условия равномерного распределения светил по азимутам (условия 1,62), веса уравненных значений х и у, определяемых фор­ мулами (1.63), будут одинаковы.

В качестве примера найдем еще численные значения весов для случая совместного определения а', х и у, когда вес азимута будет в два раза больше, чем веса условных составляющих уклонения от­

по азимутам (или расположения их в плоскостях двух взаимно пер­ пендикулярных вертикалов, симметрично относительно зенита) из выражений (1.63), на основе требования (1.65), найдем: