Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

.pdf

Скачиваний:

129

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

и определим два итерационных процесса

и(п)

JL Ви(п-1):

ц*<") =

J _ B * U * ( " - D ,

(5.24а)

где сп — одна

та

же последовательность нормировочных

констант, которые определим

из условия

(и< п ',

«*'">) =

(5.246)

Отсюда

следует, что

сп =

У\{Ви(п-х\

В*и*<»-и)\.

(5.25)

Очевидно,

что

оба

процесса

(5.24)

необходимо

вести

од

новременно. В этом случае получим

иа

11m

ul =

Urn

(5.26)

Т!->СО

Т1-УОЭ

В этом

процессе

нет

надобности

находить

а (Л) =а(А*),

по

скольку

априори

известно,

что

нижняя

граница

спектра

равна нулю.

На следующем этапе схемы реализации необходимо опре

делить

а*(Л) —а*(Л*)

= а * — первое

собственное число

опе

раторов А и Л*, следующее за нулевым

а (А)

= а ( Л * ) = 0 .

Для

этой цели воспользуемся методом последовательных прибли жений (5.24а) для оператора В с учетом ортогоналпзации по отношению к нулевой собственной функции. Тогда буде.м иметь

(5.27)

Этот итерационный процесс, как нетрудно видеть, в пределе дает возможность получить а* по формуле

В результате будем располагать априорной информацией об и0, U(y, а* и (3. Этой информации достаточно для реализации любой из итерационных схем, рассмотренных в настоящей главе, с помощью алгоритма дополнительной ортогоиализации в форме (5.20). Заметим, что в формулах оптимизации всюду в качестве а следует брать а*. В случае обыкновен ного или универсального двухшагового метода минимальных

невязок нет необходимости в дополнительном отыскании а*, нужно только применить метод ортогонализации по отноше нию к собственному вектору, соответствующему Х—0.

3.6. ИТЕРАЦИОННЫЕ Л1ЕТОДЫ ПРИ НЕТОЧНЫХ ВХОДНЫХ ДАННЫХ

Рассмотрим задачу линейной		алгебры
	ЛФ =г,			(6.1)
где А>0	и f — заданный вектор.	методов	решения	уравне
До сих пор при рассмотрении
ний вида (6.1) мы предполагали,		что матрица А и вектор f
заданы	точно и, таким образом,	требуется	найти	решение

уравнения (6.1) при точных входных данных. Однако при решении практических задач очень часто приходится иметь

дело не с точными входными данными,	а с приближенными,
т. е. вместо уравнения (6.1) мы имеем дело		с уравнением
Л > у = Р \			(6.2)
где индекс h показывает, что входные	данные	либо	зависят
от погрешности аппроксимации, либо	от различных		статис

тических погрешностей и случайных ошибок. Будем пред

полагать, что ошибки	в аппроксимации оператора и вектора
нам известны. Иначе	говоря, априори заданы	оценки	вида
1 І ( Д - Д Л ) Ф І К $ ( А ) , l [ f - f " I K r , ( / z ) .			(6.3)

Теперь попытаемся решить задачу (6.1), имея в распоря жении уравнение (6.2) и априорную информацию (6.3). По скольку наши результаты тривиально распространяются на большинство рассмотренных итерационных процессов, огра ничимся описанием алгоритма приближенного решения за дачи (6.1) на основе простейшей схемы. С этой целью рас смотрим сначала уравнение (6.1) и итерационный процесс запишем в виде

[ф л] J+i = [фЛі І—Т (Л ^ [ф л] і—f'i), [ф^о^тРі,

(6.4)

где предполагается, что параметр т удовлетворяет условию <7=||£-тЛ*||<1. (6.5)

Возникает вопрос о том, как долго следует продолжать итерационный процесс, если заранее известно, что входные данные заданы с погрешностями в виде (6.3). Естественно предположить, что при заданных погрешностях последова тельные приближения следует продолжать до тех пор, пока ошибка итерационного процесса станет приблизительно рав-

ной ошибке, возникающей от аппроксимации. Если ограни читься таким номером итерации, при котором эти ошибки различной природы являются одинаковыми, то ошибка в


приближенном		решении		окажется	неулучшаемой. Более то
го, если матрица Л плохо обусловлена						н, следовательно,
обратная матрица [ Л ' ' ] -				1 может отличаться от Л- "1 очень
значительно,	то	попытка		продлить	итерационный		процесс
(6.4) может	привести		не	к улучшению, а, наоборот, к суще
ственному ухудшению			результата. Именно			поэтому	возника

ет задача: по заданным погрешностям во входных данных найти оптимальное число итераций, при котором происходит

согласование	всякого рода погрешностей. Этот вопрос		изу
чен в работе	Г. И. Марчука и В. Г. Васильева	[ 1 6 1 .
Проведем	следующий анализ. Уравнения	(6.1) и	.(6.2)

формально разрешим относительно неизвестных. Тогда по лучим

					* = [ Л " ] - , Р .
С помощью этих соотношенийФ = Л - Ч ; фзапишем								тождество		(6.6)
ф л —		Ф = [ Л » ] - '		[ Т » _ ^ +		(	Л - Л " )		Ф ] .	(6.7)
Отсюда следует		Ф = [ Л » ] - '					Л - Л " )
ІІФ"-Ф!І<1И-1 »№-ЇЦ+Р-Л")ФІИ,
или, с учетом априорных сведений (6.3),
І І ^ - Ф І К І Ю Т - М І [ 1 ( A ) ( А ) ] -										(6.8)
Далее рассмотрим итерационный процесс (6.4). Нетрудно
получить равенство
Ф'1- [ ф л ] 4 + 1 = ( £ - т Л " ) i+2								[Ah] - ' f \
откуда
\|\|ф-[фр+>Н<<7і+ 2 \|ІИл ]-ЧІ llfll .										(6.9)
Но в силу неравенства треугольника						имеем
ІІФ-	[ФЛ ]j + ] II< II [<Pk]*+,-ф"\|\|							+ 11ФЛ-Ф11,
откуда вместе с	(6.8)		и (6.9)		находим
ІІФ- [Ф*]І+І II ^<7 i + 2 ll [Ah]-41					llf'll +	11 [Л"]-Ml [І (Л) +т) (A) ]
										(6.10)
Первое слагаемое в правой части						неравенства (6.10)				дает
оценку погрешности			итерационного			процесса, а второе				слага

емое оценивает погрешность за счет ошибок во входных дан ных. Потребуем, чтобы эти ошибки были одинаковы:

<7j+2ll [ЛЛ ] - ' || llf'll = || [Л"] -М| [| (А) + и (А) ] ,

(6.11)

и мы получим уравнение для номера / = / 0 итерации, на ко торой процесс следует закончить:

/ о =	'	1 п 1 Ш _ 1 ( Л ) _ 2 .	(6.12)
У 0	]п<7	\|\|f''\|\|	V	'

Поскольку номер /о является натуральным числом, то есте ственно в качестве /о брать целую часть от соответствующего выражения.

Следует отметить, что в формуле (6.12) норма обратного оператора отсутствует. Это существенно упрощает предвы-

чнсление оптимального числа			итераций.
Мы	видим, что	формула	(6.12), кроме	априорной	инфор
мации	1(/г),	и 11^'11> e u	i e содержит	q=\\E—xAh\\.	Эта

величина может быть найдена с помощью максимального собственного числа оператора Т*Т, где Т=Е—хА'\ т. е.

Для вычисления верхней границы спектра оператора Т сле

дует воспользоваться	методом Люстерника, изложенным
в 1.1.
Различные подходы	к решениям задач линейной алгебры

с плохообусловлеиными матрицами и неточными входными

данными рассматриваются в работах	А.	Н. Тихонова П 6 ] ,
В. Н. Фаддеевой [ 8 ] , М.М.Лаврентьева П 6	] ,	В. В. Воеводина 1 8 1
и других.

3.7.БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Впоследние годы появилось значительное число работ по применению дискретного метода Фурье для решения конеч но-разностных уравнений. Следует отметить, что метод Фурье

применялся для решения разностных уравнений и раньше, но, как правило, только в очень редких случаях. Это объяс няется тем, что по количеству арифметических операций, не обходимых для решения задачи, дискретный метод Фурье уступал другим методам, как прямым, так и итерационным. Дело в том, что большая часть работы приходилась на рас чет системы собственных функций, а затем на нахождение коэффициентов ряда Фурье и его суммы.

Идеи быстрого преобразования Фурье высказывались не однократно, но только обобщение алгоритма Гуда, сделан

ное Кули и Таки [ 1 3 ] , привело		к значительному		уменьшению
количества необходимых операций, и это			стимулировало
большой интерес к методу.
Итак, пусть имеется функция дискретного			аргумента f(k),
где параметр й =	0, 1, 2,	N—1. Представим		эту функцию
в виде конечного	ряда Фурье

f (A) = ^ ' A (n) W*»,	A(n) = 4r	^ № W~"n-	(7-1)
/1=0	Л	A:=0

Здесь, следуя Кули и Таки, введено обозначение для глав ного корня /V-й степени из единицы:

.2л

W = е^.

Назовем операцией выполнение подряд двух действий,в комплексной арифметике, а именно сложения и умножения,

тогда	из	(7.1)	следует,	что при заданных		А(п)	и	Whn	потре
буется	/V2	операций для		нахождения	f(k).
Смысл		идеи	Кули и	Таки состоит	в	том,	что	если	N не

является простым, то можно значительно уменьшить число

операций, представив (7.1)			в виде	кратного		ряда.
В самом	деле,	рассмотрим случай			N=N[-N2,		где N\ и
iV2 — натуральные числа. Представим					(7.1)	в	виде двойного
ряда. Для этого представим k и п в виде
k = kiNi+k0;	ki =	0, . . . .	tfa—l;	6 о = 0			Ni—\;	2)
	«i =	0,	# i — l ;	n 0 = 0 ,			(7	2)
n=nlN2-\-n0;	«i =	0,	# i — l ;	n 0 = 0 ,			N2—l.
Так как
и
		п о =0	n , = 0				(7.3)
		п о =0	n , = 0

Следовательно, нахождение суммы ряда (7.1) сводится к

нахождению суммы				двойного			ряда	(7.3), или, что	то	же,
к последовательному нахождению суммы рядов:
		Аг (/г0,		k0) =		" 2	А (пъ	п0 )		(7.4)
						п,=0
					N,-1
		/(Ai,	h)	=	I ]	A ( n 0 - fto) ИГ<'"'+<*Ч				(7.5)
					По=0
Но из (7.2) и (7.4) следует,							что вектор Ai является		/V-мер-
ным	и для	его нахождения требуется Ny^N\ операций. Зная
А ь	с помощью (7.5)				находим		/('£), применяя N~X,N2		опера
ций. Следовательно,				всего• потребуется N~X(Ml-\-N2)					опера
ций. Чем больше N, тем значительнее уменьшается									число
операций.								,
Легко		видеть,	что		если Ni		простое, a N2 составное			чис

ло, то преобиазование Кули и Таки можно применить к ряду

(7.5) и еще уменьшить число	операций, представив	N2	в виде
П р О И З В е д е Н И Я . И В О О б Щ е , ЄСЛИ	# = # i X # 2 X - • - X # m >	ТО	ВМЄСТО

N2	операций мы	придем к Л/Х	• • • 4-#m) операции,	при
чем	наибольшее	уменьшение получается при Nt—2, 3 или		4.

В этом случае, если, например, N=256—28,

то

число опера

ций уменьшится в 256/(8X2) =

16 раз, а для Л/=243 = 3 5 —

в 243/(3X5) == 16,2 раза. С точки зрения

программирования

наиболее

удобен

случай

Л^=2

( / = 1 , . . . ,

т),

хотя имеются

экономичные варианты

и при других N{ (УУ, =

4,8).

Рассмотрим этот случай. Итак, N=2m.

Для получения со

ответствующих

формул

можно

обозначить

N\ = 2, Л | 2 = 2 " 1 _ 1

и получить ряды типа

(7.4) и (7.5), а затем

продолжить этот

процесс. А можно сразу

представить

k=km-ikm-2.

.. klk0=km-12""l+km-22m-2+

. ..

+kx2+kQ,

n = n m _ , n m _ 2

. . . nln0=nm-l2m-l-r-nm-22m~2+

... + П і 2 + л 0 ,

где ki и nt

равны

0 или 1, тогда

•, n0) X

f(km_u

. . . , fc0)

(A(nm_u

(i„=0

1л ( =0

" m — 1 = 0

Так как

kn m — l >m—I

. Wkn>2 Whn]-

(7.6)

•rhn

m — l

U y ^ ' m - !

,m—1

m—2

Mo"m _2 2'm—2

и т. д., то нахождение

суммы

кратного

ряда

(7.6) сводится

к последовательному

нахождению сумм

т рядов:

Ла (Й0 ,

rtm_2

п „ ) =

А(Пт-і,

, 2 m - l

0 ) Г"0 ""1 -1

" ( 7 1 - 1 =0

Л2 (Ац

&о. 1(П-3,

. . . ,

л0 ) =

A (k0,

« m _ 2 , . . . , п0 ) X

"(71—2= 0

(7.7)

т — 2

Л„, ( й т _ , , . . . , * „ )

Л т _ , (А т _ 2 ,

. . . ,

й0 ,

п0 )

По=0

fe0)-

f(k)

Am{km-X,

В заключение следует отметить, что быстрое преобразова ние Фурье весьма эффективно используется в корреляционном анализе обработки статистических данных для случайных ве

личин f(Jfe) ( Л = 0 ,	N—1).
Рассмотрим теперь задачу Дирихле для уравнения
	— Д ф + ( Х ф = /	в Д
	Ф = 0 на	3D.	{/-Ь>
Здесь (і — заданная	константа, a f — заданная в D= {О^х^.		1,
О ^ У ^ І } функция, обладающая		необходимой гладкостью.

Задаче (7.8) поставим в соответствие разностную

Л 2		+	ИФ*,/	= /ft,/ B ^ f t .
Ф ы = 0	на	<?£>,,,		(7.9)
Если u.^sO, то решение	задач	(7.8) и	(7.9)	существует и
единственно. В случае р,<0 требование			существования ре

шения задач (7.8) и (7.9) накладывает дополнительные огра

ничения на	ц. и	f.
Предположим, что решение задач (7.8)									и (7.9)		существу
ет и единственно.
Задачу (7.9)		можно			записать		в следующем				матричном
виде:			(Л,+Л2 +\|хЯ)				<p=f,					(7.10)
где			(Л,+Л2 +\|хЯ)				<p=f,					(7.10)
где									А 0 .		.	. 0
Фі			Фи						А 0 .		.	. 0
ф =	.	ф/	=				А	2	0	А .	.	. 0
ф =	.	ф/	=
ФЛ'-1			Фл>—и						0	0 .	.	. А
ФЛ'-1			Фл>—и
			2Е	-	Е	0	. .		0 6
А		I -Е			2Е — Е . .				0 0
л 2	=	^
			0		0	0	. . .	—Е 2Е
							/і,/
		і				f , =
				fjv— і			/JV-І,/
			2 — 1			0		0	0
		-	1		2	1		0	0
			О	О О				1	2,
				1 0		0 .	0	0
		£ = 0			1 0 .		О О
				0 0 0			О 1

Подробный вывод соотношения (7.10) приведен в 6.1.3. Мат рицы А и Е имеют порядок N— 1, блочные матрицы Лі и Л2 имеют тот же порядок. Вектор фі образован из элементов

1Б6

фй,г,	расположенных				в одной	строке,	т. е. при	фиксирован
ном	у=Ш.
Основная			идея	Хокнея 1 1 3 1		состоит	в том, что, считая N
четным		числом, сначала находим решение ф ( только для чет
ных	/.	Для	этого	из	системы	(7.10)	с помощью	несложных

преобразований получаем систему уравнений, содержащую фг только с четными индексами /. Решив эту систему с помощью разложения в ряд Фурье (используя быстрое преобразование Фурье), нетрудно найти решение ф, и для нечетных /. В са мом деле, для каждого нечетного I, при известных ф[ с чет ными /, получаем систему уравнений

Я ф , = А 2 Ь + Ф , _ , + ф 1 + 1 , 1=1, 3, . . . , N-1,	(7.11)
где
В = Л + ( 2 + ц / г 2 ) £ .
Для простоты записи мы не выделяли случаи l=\	ul=N—1,
считая что ф 0 = ф Л - = 0 .

Для завершения описания метода Хокнея осталось полу чить систему уравнений, содержащую Ф г только с четными /. Для этого выпишем последовательно три матричных уравне

ния из (7.11):
—фг-2+Яфг-і—фг	= h2h-i,
—Фг-і+Яфг—фг + 1	=h%, 1=4, 6,	N— 4,

—фг+Вфг+і—фг+2 =/г2 !г+і.

Умножив обе части второго уравнения на трехдиагональную матрицу В и сложив затем эти три уравнения, получим

—фг- 2 +(б2 —2£ ) фг— фг+2 = £г,

где

gl=h2(h-i+Bh+h+i).

Для 1=2 и l=N—2 таким же образом можно получить уравнения, связывающие фг с Ф 4 и ф^-4 с Ф ^ _ 2 . Следователь но, приходим к системе:

( £ 2 - 2 £ ) ф 2 - ф 4		=g2
- ф , _ 1 + ( В 2 - 2 £ ) ф , - ф \| + а		= gh	1=4,	6, . . . .	N-4,	(7.12)
— фі\Г-4+ (В2—2Е)	фдг-2	=§N-2-
Отметим, что	матрица	(В2—2Е) является			пятидиагональ-
ной и имеет общий базис		собственных		векторов с		матрица
ми В и А.
Решение полной проблемы собственных значений
имеет вид	AuW	= Кт	(A) u<m>
имеет вид
Km (А) =	2 ^ 1 - cos	- дг],	uim) =	у	-jj-sm-fr,

где ujim ) —компонент с номером k собственного вектора u(m >,

m = l ,	2, .	N—ї,	k—\,	2, . . .		,	N—l.	Отметим,	что	мно
житель		введен для того,			чтобы
Таким	образом,							cos Щ +
Кп (В) =		Хт (А)	+ (2 +	цЛ2) =		2	( 2 -	cos Щ +	\ilN\
Хт = Кт (В2 -		2Е) = \кт (В)]2		- 2	=		2 - c o s 2 5 ] +		/2	- 2 .
Хт = Кт (В2 -		2Е) = \кт (В)]2		- 2	=		2 - c o s 2 5 ] +		^	- 2 .
										(7.13)

Так как векторы и ( ш ' образуют ортоиормированпый базис в (N—l)-мерном пространстве, то можно векторы фг и gi (/= = 2, 4, . . . , /V—2) представить в виде

Л'-1
4>Z = 2	Фш,/и( т ) ,
: : ;	(7 - й)

т = 1

Подставляя эти выражения в систему (7.12) и умножая обе части системы на вектор и"', получим для каждого фиксиро ванного т систему уравнений с трехднагоналыюй матрицей

- Ф т . 1 - 2 + К,Ф,п,1 — Фт,1+2	= Gm ,,,	1 = 2, 4,	. . . , N — А,
. — Фт ,л?-4 +	л т Ф т , й _ 2 =	G m > w _ 2 -	(7.15)
Здесь

Я* = A,m (В2 - 2£).

Описанный алгоритм прямого решения уравнения Гельмгольца применим не только к условиям Дирихле, но и к гра ничному условию Неймана и условию периодичности функции ф(х, у) на границах квадрата для уравнений вида

а м S + - і ( b м % ) - * ^ v = f м-

Метод быстрого преобразования Фурье удобно использо вать в комбинации с методом последовательных приближе ний в тех случаях, когда с помощью разностных методов ре шается задача математической физики. В самом деле, пред положим, что требуется найти решение задачи

Л Ф = / в Д
Ф = 0 на 3D,	к '

где Л > 0 — дифференциальный оператор, спектр которого вещественен и а (Л) г^Я (Л). Редуцируем задачу (7.16) к за даче линейной алгебры с помощью разностных аппроксима ций. Тогда будем иметь

			Л'Чр" = ї"		в Dh,		( 7	Л ? )
			<р'' = 0	на	dDh,
причем после	редукции		задачи	имеем Л ; ' > 0 ,		спектр	%{Аи)	—
вещественный и		а ( Л ' 0 ^ ^ ( Л ' 1 ) ^ \| 3 ( Л " ) .

Область Dh	с	контуром dDh		наилучшим		образом	впишем
в прямоугольник		(или параллелепипед, если				число измерений
больше двух)	Eh	так,	чтобы	отношение площадей			области
Dh и прямоугольника			Eh было		максимальным из всех			воз

можных комбинаций. После того, как прямоугольник опре делен, рассмотрим спектральную задачу в прямоугольнике

		—Д''и=Яи в Eh,
		и = 0п на ^dEh,	( 7 - 1 8 )
где	Ан— разностный	аналог оператора	Лапласа.
	Предположим теперь, что а(Л'1 ), В (Л'1) найдены метода
ми,	рассмотренными	в 1.1, а величины	а( — Д л ) и В(—Дл ) на

ходятся из анализа Фурье. После этого строится итерацион

ный	процесс			ф ) + \| = ф » _ т	[Bh]~l	(Ahtf—f),				(7.19)
				ф ) + \| = ф » _ т	[Bh]~l	(Ahtf—f),				(7.19)
где					Bh =	aE—bAh.				(7.20)
Потребуем, чтобы границы спектра оператора								Bh	и	Л'1 сов
падали		(такие		операторы	Е. Г. Дьяконов1 3 1 назвал					эквива
лентными			по	спектру).	Отсюда		приходим к	выражениям
для	а и Ь:		В ( -	А") - В (Ah)	а ( -	А*),	в\_(Ah)
_	д	(Ah)	В ( -	А") - В (Ah)	а ( -	А*),	в\_(Ah)	-	a	(Ah)
			, ( _ д Л ) - а ( - Д л )			•'	р ( - Д * ) - о ( - Д л ) '
										(7.21)

Область определения решения задачи (7.17) с Dh продол жим на Eh таким образом, чтобы вне Dh решение обраща лось в нуль. В результате итерационный процесс (7.19) мо жет быть составлен из следующих двух этапов. Сначала по заданному при условии, что <pJ '=0, f = 0 в дополнении Dh по отношению к Eh, находится невязка

? ,	M	V - i	в	Dh,	•
	(	0	в	Ei\Dh;
затем на втором этапе решается уравнение
	(аЕ-ЬА1')		ri+l	= -%i,	(7.23)

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ