книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]
.pdf
|
|
70 |
удовлетворяющее условиям |
|
|
у і |
; |
у / ' - 4 . |
IX =>-/ |
|
Іа:»е |
30.Найти частное решение уравнения
X |
й |
у |
я |
/ / г уі |
|
■+х у +(х-1)У ^О, |
|||
удовлетворяющее условиям
А =j.
ІХ--
31.Найти частное решение уравнения
X sу "ч- х у '+(9хг~ 1)У =0>
удовлетворяющее условиям
уі |
в / ; |
Ul |
—О. |
|
в / ; у) |
|
|
lx*0,f |
|
/ХхО, |
|
3 2 . Найти общее решение уравнения
. X*у ”+ х у '+(Xх- /)у ■ Оt
оба чаотные решения которого в начальной точке х=0 терпели бы бесконечный разрыв.
33.Найти общее решение уравнения
п { / |
п |
у + ~ у + у=а> |
|
оба частных решения которого з |
точн^ Х - 0 терпели бы бес |
конечный разрыв. |
|
В'задачах 34 - 42 найти общие решения уравнений
34.х 2у + х у '■+9(хгfjy **0.
35. |
х гу "+х у '+(Ух2- 9]у =0. |
\ |
|
I
1
|
71 |
36 • |
9 х гу \ Qxy +(4 х г- /)у з о |
3 7 . |
У>,+^с У** ^ У • |
3 8 . |
эсау"+х у - (аг*+4)у~0. |
3 9 . |
х ау н+ х у '-(х а-ь^)ужО. |
4 0 . |
x iy H+ x y l-Q(x*+*t)y~0.. |
41. |
х * у "+х у '-(Ух *+ 0 у= О. |
4 2 .
4 3 . Д о к а з а т ь , ч т о
**$2(х}-хУ 3(х)ж x j f ( x ) ,
4 4 . Д о в е в а т ь ,
Н а й м ; '
что â .
( * ) - (• > - f ) w - £ у. (х ).
а ) |
|
б ) |
{4)- |
|
4 5 . Д о к а з а т ь , ч г о |
|
|
|
|
4 W -i% {x )+ x % (x ).x 3 f/'x ): |
; |
|||
4 6 . Д о к а з а т ь , ч т о |
|
|
|
|
I |
/ |
lg- |
2 |
|
Н а й м : а ) ^ |
С2) ■ |
|
|
|
4 7 , Д о к а з а т ь , ч г о |
|
|
|
|
У/(х)= +J^X)
|
|
72 |
“ \ |
Н а й и |
/ ' ( і ) . |
|
|
48.найм |
7 / ( 4 ) , |
У , " ( 4 ] ; |
7 / 4 ) . |
49.Доказать, что
хг 7 р ( х ) = ( р - р - х * ) Зр ( х ) + x J fiH ( х ) .
50.Доказать, что
п г~л 24-х г п / _ | |
S„ /л . , _ |
48-8х\ /_\ хІ24 ^ , л |
асг |
X У<і-Зѵ~ |
X* Jrfey* х г |
На й и
51.Доказать, что
^ f T / 3 s i n x |
3 c o s x — s i n x ) . |
|
X |
Найг* Js/Z(£)-
5 2 . Доказать, что
» |
' \ |
/ x s i n x -+ c o s x \ |
|
|||
J-s/2(.xr ~ [/VS-LX- 1- - - - |
-—; -:- |
- - - - -1- |
|
|||
Найи Z |
3// 2 |
) . |
|
|
|
|
53. Доказать, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
2_{ X *C Q S X - 5 J C s i n x ~ 3 c o s x |
|||
і- Ф |
М |
і г 'к. |
|
X' |
Щ . |
|
|
|
|||||
Найи J ( I ).
/г
54.Доказать,что
I |
х ~ ! 5 |
. |
S x ’-fS |
|
■ іL |
- |
■s m x ч- |
X' |
cosx |
73
Найти %-(3)<
55. |
Донавать, |
что |
|
|
|
|
Му ( x h |
( 61ПХ+ “ |
rrj. |
56, |
Доказать, |
что |
|
|
|
|
/Ѵ% (ас)* \j§ £ |
(савх - &sinx |
cos ас). |
|
|
Ѵ% |
|
|
57, |
Доказать, |
что |
|
|
|
|
|
É |
|
sin x
58, Доказать, что
(-co £ x+ -& sin x).
59, Используя рекуррентные формулы, доказать, что при де лом положительном ft справедливы следующие формула:
I
ä n ($ in x \.
„ , , |
" T c s i f 'i n r t ’ |
||
1-/)л( і х Г ,/г |
ä" |
(cosx\ |
|
ZnftM* |
Щ |
^ i f n |
X )' |
60. Используя рекуррентные формулы § 8 , доказать, что
а ) |
{3p -i(z)xP d x “ |
Ур (ж)■+С, |
|
б) |
/ Jp (x ) £ f pd x ^ - x f~pУр-і(х)+С> |
||
в ) |
J yp+g(x)dx —Jjp (•*•) |
~2Jp+1 (%)f |
|
V)f 7 p (t}d t~ 2 [7 p„ C t)+ fa (x )+ b sto + » 3 ’
0'
Взадачах 61 - 70 вычислить интегралы, жсшш»ауя ин
тегрирование по частям и формулы предыдущей задач*:
74
|
|
|
f x*3g(x)dx. - 63. |
|
л> |
|
61. |
J x 7J$(x )d x , |
62. |
/ |
xJ„(x)dx. |
||
|
о |
|
ö |
|
77 |
|
|
X |
|
X |
|
|
¥ . |
64. |
^ x s$(x)dx. |
65. |
fx J J x jd x . |
66. |
/ |
X 8 Je(x)dx. |
|
|
|
i |
|
0 . |
|
|
X |
|
X |
|
|
X |
67. |
f x df(x )d x . |
68. |
JxJ((x)dx. |
69. |
J x z31(x)dx. |
|
70.j x 5% [x)dx.
йгшслнть |
определенные интегралы: |
71. J хУѵ (х)е/х, |
72. / Cff (x )d x . |
<?г |
* |
а
73.С помовдо подстановки Ут~р& найти общее решение уравнения
X *у "+ х у '+ (х - £ ) уш.о.
74. Построить (схематически) графики функций
а) |
й3 (х )- |
af/( х ) ■; J .ß (x ) ; Z Vg (х ) - |
б) |
Л/3 ( х ) ; |
N f/ s ( x ) j N y 3 (x ) - , |
в) |
Jf(x) ) |
У-і(х) ‘) |
f ^-S/S(x}\ |
r) |
A/,(xj; |
HfaCx); |
Ms/V (x ). |
75. Доказать, что
75
76. Доказать для функций Ханкела целого индекса, что
н% Ы - П п
Н-н (х} = (~1)п и „ \ х ) .
77. Доказать, рекуррентные формулы для функций Ханкеля ( И . 7 ); ( I I .8 ); ( I I . 9); (ІІ.ІО )і Ш Л І ) ; ( I I . 12).
78. Доказать, что
79. Доказать,что
и нарисовать графиня эгид функций.
8С„ Доказать рекуррентные формулы (1 3 .6 ); (1 3 .7 ); (1 3 .8 ).
81. Доказать для функций Макдональда рекуррентные формулы (13 .9); (13.10); (1 3 .I I ) ; (13.12).
82. Доказать, что |
|
fftx |
( с^ х ~ it ) ) |
'fy, С*)~ |
(/+І) е'Х> |
л*/г |
chars |
|
и /2ы = Хх s h x х J .
76
83. Используя ооответатвующие рекуррентные формулы, пока зать, что
j x pIp.f (x)dx |
- |
x pIp (xj-t-C; |
f x p«p.f ( x ) d x |
**-xprtp(x)+C; |
|
j % pKpH (x )eir « |
- л ~% (x)+C . |
|
84. Доказать теорему ояожѳния для бесселевых Функций: при любом целом п
Уц (х +y):s^ |
0%) 3 гг-к (^) • |
Ка-во
«^ .Д оказать, что
/* 2с2(х)+23, *(х)+ 2 Зей(х )+ £ 7 * (ф ....
Аотсюда получить оценки
\Э0Ы \ 4 І і |
|
I |
f ( n - f } 2 |
86. Выписать интегральные представления для функций
% fach 3t (9c)t Уе (X), Уя (х).
87.Доказать, что производяцеи функцией для системы моди фицированных бѳооѳлевых функций
{ Л l 'W f . «
будет функция е 2 , т.е„ ѵ’меет место формула
e W > - £ I J x ) t n .. ■
П з-оо
88. Доказать, что имеют место следующие разложения:
• е я иОІЧ>= L (*)+ 2 Е . h ( x ) c ° s КСР ’> |
|
|
Кв f |
« * A V r . f t w ? £ |
|
GX |
PO |
ÄS Іс (-> * г L 4Iх)- |
|
|
|
|
|
7? |
|
|
89. Система функций |
|
|
|
|
||
$ІП X f |
Sin ЯСС^ |
Sin 2ЯХ, . . . f ЗІП П31ССЛ.,. |
||||
ортогональна на |
отрезке |
[0; I j . |
Система бесеёЛевых |
|||
функций |
|
|
|
|
1 • **з OfС^п ^)} ••• |
|
|
Oj |
І |
(°^2 |
|||
ортогональна с весом Л |
на гои |
йе промежутке [Оj ij , |
||||
где |
|
'&nt -• • последовательные полокнтѳяыше нули |
||||
функции |
%&). Выясните |
аналогию мѳнду аргументами первой |
||||
а второй |
систем функций. |
|
|
|
||
Сделайте |
на |
[0 ; l] |
чертежи |
функций |
||
м |
ѣ іп я х , |
sin&JTJc, sin 3Ясс |
||||
|
|
Уу(оlgsrjj Уу(otjX) |
||||
|
(cifсс)j |
|||||
к сравните ад.
90. |
Разломать |
в |
ряд Беооелл-Фурье фуннщю//сс)^/ |
≈ |
в проме- ■ |
||||
|
«утке |
(0*,І) |
по системе |
функций |
|
|
|||
( &-f) Ыа). |
JQ |
|
|
Уд (сЯ$2С) } . . .t |
У д (°i/t Э?)у ' • |
|
|||
Ä, |
... последовательные |
прлокагельнне |
нули-фчшг- |
||||||
щш У0(х) ). |
|
|
|
|
|
|
|
||
91. |
Рязлокагь |
в ряд Бесселя-Фурье функцию |
|
|
|||||
|
по системе |
|
Зу ( |
-§■) |
У^{аі х)і yp (dsx) y. . Ур (ыпх)у ,, |
||||
|
|
функций |
|||||||
в интервале (ОД^ХД d 2>.,.^a:c> . „ —последовательные наложительные нуля - функций Ур(Зс) ).
92» Доказать, что
J x |
Ур(оіп z ) d x ^ j Jp(cLn)= j 3p+i(<*„)', (p>~ f), |
где |
положительный нуль функции Op (ас). |
93. Изучить осесимметричные колебания круглой мембраны редиус,а & , вызванные ударным импульсом Р, приложенном
в момент t = 0 и распределенном по плоаадн круга ра диуса £ . Мембрана на контуре закреплена.
78
94.Определить вынужденные колебания круглой мембраны радиуоа R , закрепленной на контуре, вызванные пульсирующей нагрузкой, равномерно распределенной по ее поверхности
по закону у |
yj') |
( |
постоянная). |
95.Найти поперечные колебания круглой мембраны с закреплен ным краем, вызванные радиально симметричным начальным распределением отклонений а скоростей, считая реакцию онруяающей среды прѳнебревителызо малой.
7Э
Таблица функции Г(дН I ) .
|
X |
|
л |
_ 0 |
1 |
|
о |
3 |
|
/, |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
> 9 |
0,0 |
|
0,9 |
|
943 |
|
888 |
635 |
|
784 |
|
735 |
|
687 |
|
642 |
|
597 |
|
555 |
|
|
1 |
|
|
51 4 |
474 |
|
436 |
399 |
|
о64 |
|
330 |
|
298 |
|
267 |
|
237 |
|
209 |
|
0 |
|
|
182 |
156 |
|
131 |
108 |
|
085 |
|
064 |
|
044 |
|
025 |
|
007 |
•9 9 0 |
|
|
3 |
|
0,8 |
975 |
960 |
|
946 |
934 |
|
qoo. |
|
912 |
|
902 |
|
893 |
|
885 |
|
879 |
|
4 |
|
|
873 |
866 |
|
664 |
860 |
|
858 |
|
857 |
|
856 |
|
856 |
|
857 |
|
859 |
|
5 |
|
|
802 |
SGG |
|
870 |
876 |
|
882 |
|
889 |
|
896 |
|
905 |
|
914 |
|
944 |
|
6 |
|
|
935 |
947 |
|
959 |
972 |
|
986 |
|
*001 |
|
*017 |
*038 |
•0 5 0 |
•0 6 8 |
|||
|
7 |
|
0,9 |
086 |
106 |
|
126 |
147 |
|
168 |
|
191 |
|
214 |
|
238 |
|
262 |
|
288 |
|
8 |
|
|
314 |
341 |
|
368 |
397 |
|
426 |
|
456 |
|
487 |
|
5 1 8 |
|
551 |
|
564 |
|
9 |
|
|
616 |
652 |
|
688 |
724 |
|
761 |
|
799 |
|
а з ? |
|
877 |
|
917 |
|
958 |
1.0 |
|
1,0 |
000 |
043 |
|
086 |
131 |
|
176 |
|
979 |
|
269 |
|
316 |
|
965 |
|
415 |
|
|
1 |
|
|
405 |
о 16 |
|
568 |
621 |
|
675 |
|
730 |
|
786 |
|
842 |
|
900 |
|
959 |
|
2 |
|
1,1 |
018 |
078 |
|
140 |
202 |
|
26Ѳ |
|
330 |
|
395 |
|
462 |
|
529 |
|
598 |
|
3 |
|
|
667 |
738 |
|
809 |
882 |
|
956 |
|
*031 |
|
*107 |
*184 |
|
*262 |
|
*341 |
|
|
4 |
|
1,2 |
«22 - |
503 |
|
586 |
670 |
|
756 |
|
842 |
|
930 |
*019 |
/ 1 0 9 |
|
*201 |
||
|
5 |
|
1,3 |
293 |
386 |
|
483 |
580 |
|
G78 |
|
777 |
|
U78 |
|
961 |
|
•0 8 4 |
|
*190 |
|
6 |
|
1,4 |
296 |
404 |
|
514 |
625 |
|
738 |
|
852 |
|
968 |
*085 |
|
*204 |
|
*325 |
|
|
7 . |
|
1,5 |
447 |
. 571 |
|
696 |
824 |
|
953 |
|
*034 |
|
*216 |
*351 |
|
*487 |
|
•6 2 5 |
|
|
6 |
|
1,6 |
765- |
907 |
|
*051 |
*196 |
•3 4 4 |
|
*494 |
|
*646 |
•7 9 9 |
|
*955 |
• • И З |
|||
|
9 |
|
1,8 |
274 |
4Э6 |
|
600 |
767 |
|
936 |
|
*108 |
|
*281 |
*453 |
* •630 |
|
•8 1 5 |
||
2 ,U |
|
2 |
000 |
019 |
|
037 |
057 |
|
076 |
|
095 |
|
115 |
|
136 |
|
150 |
|
177 |
|
|
1 |
|
|
198 |
219 |
|
240 |
262 |
|
284 |
|
307 |
|
330 |
|
353 |
|
376 |
|
400 |
|
3 |
|
|
424 |
•448 |
|
473 |
498 |
|
524 |
|
549 |
|
5 /5 |
|
602 |
|
629 |
|
656 |
|
|
|
683 |
711 |
|
740 |
768 |
|
798 |
|
827 |
|
857 |
|
88В |
|
918 |
|
950 |
|
|
|
|
|
981 |
*013 |
|
*046 |
•0 7 9 |
*112 |
|
• І4 6 |
|
*181 |
|
•2 1 6 |
|
*251 |
|
*287 |
|
|
5 |
|
3 |
323 |
*360 |
|
398 |
43G |
|
47.4 |
|
5 )3 |
|
553 |
|
593 |
|
634 |
1 |
675 |
|
6 |
|
|
717 |
760. |
|
603 |
646 |
|
891 |
|
936 |
|
981 |
|
*028 |
|
*075 |
|
•1 2 2 |
|
7 |
|
|
171 |
220 |
|
269 |
- 320 |
|
371 |
|
423 |
|
476 |
|
529 |
|
583 |
|
638 |
|
8 |
|
|
694 |
761 |
|
808 |
867 |
|
926 |
|
986 |
|
*047 |
|
*108 |
|
*171 |
|
•2 3 5 |
|
9 |
|
5 |
299 |
365 |
|
431 |
499 |
|
567 |
|
637 |
|
707 |
|
/7 9 |
I |
851 |
|
925 |
3,0 |
|
6 |
000 |
076 |
|
153 |
231 |
|
311 |
|
391 |
|
473 |
|
556 |
|
640 |
|
726 |
|
|
1 |
|
7 |
813 |
901 |
|
990 |
*08! |
•1 7 3 |
|
*267 |
|
*362 |
|
*456 |
1 *556 |
|
•6 5 6 |
||
|
3 |
|
757 |
859 |
|
963 |
*069 |
*176 |
|
*285 |
|
*396 |
|
*508 |
• |
*622 |
|
•7 3 8 |
||
|
|
8 |
855 |
975 |
|
*096 |
*219 |
*344 |
|
•471 |
|
*Г,чі) |
|
*731 |
|
*Ьб4 |
|
•9 9 9 |
||
|
'' |
|
10 |
136 |
275 |
|
417 |
561 |
|
"07 |
|
845 |
1 *ппа |
■ *158 |
1 *314 |
|
•471 |
|||
|
5 |
|
11 |
032 |
795 |
|
960 |
*128 ! *299 ! *472 |
• *648 |
1 |
‘ 827 |
;**009 |
і* * І9 4 |
|||||||
|
|
|
, |
|||||||||||||||||
|
G |
|
13 |
•381 |
572 |
|
/8 6 |
962 |
: * іе о |
I. *306 |
• |
*572 |
1 *782 |
1 |
«095 |
'**311 |
||||
|
/ |
|
15 |
431 |
655 |
1 |
682 |
*113 |
,* |
348 |
1 *586 |
|
*829 |
[••0 7 5 |
І**32Л |
,* •5 7 9 |
||||
|
8 |
|
1 0 x 1 |
784 |
810 |
1 |
837 |
804 |
1 |
891 |
[ |
920 |
|
348 |
1 |
977 |
; |
»W 6 |
|
•0 3 6 |
. |
9 |
|
• 1 0 x 2 |
067 |
098 |
, |
129 |
10! |
■ 194 |
’ |
227 |
. |
260 |
|
294 |
1 |
329 |
j |
364 |
|
|
Столбец, помеченный буквой л, дует пернѵю |
или |
две первые |
цифры |
||||||||||||||||
искомого |
числа. Т ак, |
например, |
Г (1 +1,23} |
|
= ІД |
|
I 202. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Значок * означает, что следует брать чнедѵ» п. увеличенное не единицу |
|||||||||||||||||||
(дли х=>-2) или на 0.1 |
(для |
.г-=2). А налогично |
значок *• ••з/сачает, что сле |
|||||||||||||||||
дует брать числе п, увеличен*-'** на две единицы (для ?■-* 2) |
шля е е '0,1 |
|||||||||||||||||||
(для х < 2 і. ‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ'і и |
|
|
|
|
||||
|
Напримно. Г іі «4-0.72; = |
ІЬ. |
SS2. Г ( 1 - 3.73: = |
|
іО. |
1 (1 + 3 ,7 7 . » |
||||||||||||||
- |
17, |
t |
5: Г М - 1.85 і - 1 0 |
^07. Г М |
- 1.22. « |
! 7 • гг,« |
г |
Г М * 1 |
« |
|||||||||||
- |
\я |
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
f |
|
f