книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]

u(xt0 )=ip(x)}

u't (x,0)=y/Cx),

^30)

и граничным условиям

и [Oft) ~ 0)

и (Р, [1=0.

(31)

Решение u[x,t)

будем искать

в виде

произведения

и(х, t )-- X (х) •_T(t),

t 32)

гдеУ)[х] - функция только.переменной X ,

Т(і}~

функция

только переменной

t .

Подотавляя (32) в

(29), получим

тП)

,

. и-ч,у

или

Х*(х)

(33)

Т (t)\(x ) = a

X (x)T(t)

Чтобы функция u(x,t) была решением уравнения

(29)

равенство

(33) должно удовлетворяться тождественно, т .е . для

всех

Qix<£, t>0.

Левая часть этого

равенства

зависит лишь от

t и не может изменятьоя при изменении х

. Поэтому, если

зафиксировать t

и менять сс

,

левая часть,

а следователь­

но и правая,

будет

сохранять

постоянное значение. Аналогич­

но установим, что правая часть,

а

следовательно

и левая,не

может изменяться при изменении

t

. .Это справедливо

только

ни отдг ,

ни от t ,

т .е . являются постоянными

r j t )

Х"(х)

‘

а г774' ~ У /х ' ~ К '

НИЯI

// / .

__ s . п

Л

(х ) - к Х (х )= 0 ;

Г"(і) - KazT(t)*0.

Граничные условия дают

X (0)T (t)~ 0;

x (e)T (t)= o .

я так как

мы должны считать, что T(t) не может тождест­

Х(о)=:0

,-

x (e j= o .

мы пришли к зада

В результате

для отыскания функций Х(х)

чО: найти решения линейного.дифференциального уравнения

Х "(х)~ кХ (х)= 0

(34)

Х (0)=0,

Х(е)=0.

С35^

Эта задача при любом к имеет

решение

Х(х)зО,

Но при

этом

u.{x,t)=X(x)-7(t) = Q

> что Rao нѳ устраи­

вает.

°

Решим вопрос,

при

каких

значениях к

задача (34),

(35) (кроме

решения X(x)s О

) имеет

ненулевые решения.

Выясним, является ли при этом К положительным, отрица­

тельным

или

нулем.

I)

Если

н > 0

,

то

рбщѳе решение уравнения (34) име­

ет вид

V /

I л

'/4Г'х

п

"ѵ*і-т

Л( х ) = С , е

+ С г

е

I

и выполнение условий (35) приводит к системе

Cf -*-С2 -G

& V*.

/О

^-h

L/ -

^'■г^

решением уравнения

(29), удовлетворяющим граничным

усло­

виям (30).

Положив в

(36 '

)t= 0 в силу начального условия

и(х, й) - <р(х),

получше

(37)

Найдя из (36/

)

апят апх

a m t

пях •

опте

е

£

127

Из (39) видно, что всѳ іочкя

струны совершают гармонические

колебания

С одной а гой ясѳ частотой

и фазой (рп .

Амйлитуда

колебанияQ^sm

зависит

от абсциссыjr точки

проходят положение равновесия.

Такие колебания струна назы­

ваются .стоячими волнами.

Точки

*Г7Т ■Хд- ' п

>

•ft-г„ ( tie

■*/»*<

Точки

2 n - f р

2п

’

в которых

совершают колебания с максимальной амп­

литудой Qfi .

Они называются пучностями стоячей волны.

un(x,t0UQn

t 0+%) strfBfF

имеет форму прямоугольника,

ограниченного

прямыми а''=0}

y aQjу=т, Требуется найти

решение уравнения малых попереч­

ных колебаний

д га _

? / д 2и

Эги )

(40)

d t 2

а V. Э х г

дуг/’

і'ш і, T i t } , т.в.

u.(x,y,thX(xl-y(yl-T(t).

l43> ,

Первое условие

(42)

дает

Х(О) У(yjT(t)=0.

Отсюда будем иметь X(0)^Q г так как мы ищем решения,

не

равные товдѳственно

нулю.

Второе условие

(42)

дает

Х (і) У(у)Т(±)=0)

откуда Х[?)=0 , третье

уолоние (42)- Х(х)У(0) T(t}-0)

129

І з $

Щ j p ~Х(х)у'(уШ, jfé-Х(х)У(у)тftI

Подставим

эта выражения в /равнение (40),

TféJ

Х'Ы

, У "(У)

â * 7 W ~ X ( x )

У (у)

’

Это равенство возможно лишь при условна,

что

Тп

у ,г

и Л

Р Т ~ =Т

Ч'~У~

ca n sti

W

тан кая левая часть не зависит оих

и

у

, а правая яв за­

висит

от t.

^

^

Кроме

того,

сумма

мо»зг

быть постоянной

величи­

ной лишь в

случае, когда

а

х ы

0

являются

яосго-

янными.

У(у)

Обозначим

Х"(х)

_ г

о

*

УСу:

Тогда фуяятизХ/х) можно найти как

решение

задачи

Х"(х)+л.гХ(*)=о}

х(о) ~х(е)*

а функцию У(и)

как решение

эадачи

У"(у)+ЦгУ(у) = 0 ,

У (О) = У ( т ) =

0

,

7.Ѳ.

X(х)- CfCÖSXX +С2 Si'nЛX,

у (у) =§Df COSjUy4£>2 S t'n ju y .

Выполнение условий ХС0)=Х(С)=0 дает

нам С^О

и

Л

где Н=1,2... , а, Из условий

У(О)=У(т)*0 следует,

что

S}t- 0

и

,М'т: П!7і>

КОТ

,

/7^"

/

, _

I

«ела

А * - —

и ,ап~ m о K,n^f,2---j