книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]
.pdf190
145. F ~ (z г~ хг) і + ( х г-і/ *)J+ ( у - z Z)j<f X *-+У г-t-z г / ,
Г і |
г |
■+ у |
& г |
X |
|
=» Z . |
146. Найти, закон распространения плоских монохромати ческих волн в проводнике о конечной проводимостью.
Решение. Внутри проводника нот свободных зарядов
(ß = 0 ) , |
а плотность тока на основании закона Ома лро-т |
|
порциональяа |
напряженности поля £ |
т .е . J BSËf где б" - |
- удельная проводимость проводника. Учитывая эти замечания, из системы уравнений Максвелла получим {£, и. - достоян-
и м ) |
Г ,л |
£ |
р |
|
+ с |
с |
ЭУ |
|
( г о і Е ш |
I t 9 |
d i v È - О ,
d i v Н - О .
Взяв гa t от первого уравнения, найдем
zat r o t //■=“ |
'jljr to t £ - + —- — zOt£. |
||||
Учитывая второе и третье уравнения, получим |
|||||
Аналогично ju s |
dt" |
|
|
dt |
|
агн |
. = |
4x6ßi |
д£ _ „ |
||
сг |
j p |
ДЕ + |
с г |
dt |
°" |
.Ищем решение, |
например, уравнения для |
Е в виде |
|||
=F L ( C o t - K - Z )
|
Е |
= Е |
0 |
е |
, . |
|
Подставляя это выражение в уравнение, получим для вол |
||||||
нового |
вектора уравнение |
|
|
|
||
|
- К 'К - & * г - |
c a j ^ ~ u ) Z--=0. |
(*) |
|||
|
|
|
к |
с г |
СЛ |
|
Отсюда ясно, |
что |
должно бкть_і<огліілексііим, |
поэтому |
|||
вектор |
F будем искать |
з |
виде |
/7= к{+ (.кг . |
|
|
|
Подставляя |
это выражение |
в |
( |
), получим |
|
||||
|
г |
I |
ju . в |
г |
|
|
|
4JTjU<Г<о |
|
|
|
К7-К*= -ТТ<*) , |
^ |
^2 ~ |
с ^ с о $ Ѳ |
* |
|||||
|
у |
''г- |
с |
|
||||||
где |
созѲ= c o s f ë j , &г ) ) |
так что & < Ѳ£ 7Ѵ |
||||||||
(ибо |
Kj йг >О)л |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Определяя |
отсюда величины Kf |
и |
/Ѵг> найдем |
||||||
|
|
со . П Г і |
|
|
4же |
\г |
|
к |
||
|
'7 |
с У о |
^ *+(еcocosѳ) |
|
|
|||||
|
|
' с У ~ Г |
і / ^ Ж |
|
Е І Т 2 - ^ |
і |
||||
|
|
V ' |
|
e(-cocosff) |
1 |
|
||||
|
Используя выражение для |
л - |
, |
решение |
для |
а Н |
||||
можно записать |
б виде |
|
|
|
|
|
|
|
||
Н . Й . е ( *’ Л' e £ ( a t '*'■*[
Так как вентор |
К1 направлен в сторону распространения |
||
во л н а cos(Rf R2) < 0 |
, то поскольку |
K¥-t^>0 .имеем |
|
к2• I о. О. |
|
|
|
Таким образом, |
в |
рассматриваемом |
случае конечной про |
водимости проводника плоские монохроматические волны пред ставляют собой волны затухающе. .
§ 3 .7 . КЛАССИФИКАЦИЯ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
Из векторных полей выделяются следующие классы:
1) Потенциальные поля - такие, у которых t o t F s О.
2)Соленоидальныѳ полятакие, у которых
Лалласовы или гармонические поля - такие, у которых одновременно xatFsQ. а divF^O.
|
|
|
|
|
|
|
192 |
|
|
|
|
|
|
|
Основные овойотва потенциального |
доля. |
|
|
|
||||||||
|
Если |
xot F 2*0 |
во |
всех |
точках |
области |
У |
и эта |
|||||
область |
односвязйа, |
го |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
I )F —g t a d U , |
где |
Ll*U(x,y,z} |
называется |
потенциаль |
||||||||
ной функцией е л и |
"потенциалом" |
поля F |
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
где |
С - любой замкнутый контур в У |
||||||||
(следовательно,^ Fdx |
не зависят от формы пути интегрирова |
||||||||||||
ния, а лишь от выбора начальной и конечной точен); |
|
||||||||||||
|
3) векторные линии ортогональны к "эквипотенциальным |
||||||||||||
поверхностям" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4) векторные линии не могут быть замкнутыми нривыми. |
||||||||||||
|
|
|
Свойства |
ооленоидального пол: |
|
|
|||||||
|
Если cU'vF |
= О во всех точках |
области |
У |
и |
эта об |
|||||||
ласть |
ограничена |
одной |
замкнутой поверхностью, |
го |
|
||||||||
|
1) |
поток вектора F через любую замкнутую поверхность |
|||||||||||
S' |
в |
области |
У равен нулю |
(следовательно, |
поток через |
||||||||
любую незамкнутую Поверхность, |
опирающуюся на данный контур, |
||||||||||||
имеет |
постоянное |
значение); |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2) |
поток вектора F |
через любое сечение данной вектор |
||||||||||
ной трубки, |
образованной всеми векторными линиями, |
которые |
|||||||||||
пересекают некоторый замкнутый контур в У |
, имеет |
постоян |
|||||||||||
ное значение; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 ) |
|
F=xot й. , где вектор |
и. =и.(х,у,7.)_ |
называется "в |
||||||||
торным потенциалом" |
ооленоидального |
поля /* |
|
|
|
||||||||
ЗА Д А Ч И
147.Показать, что векторное поле F потенциальное и найти его потенциал, если
F - y z T + x z j * осук .
І'етоние’. Найдем xo t F :
|
|
|
153 |
|
%otFi |
г |
/ |
а- |
|
і |
и |
хО-У)Т-у(М)/+*О-0к mü- |
||
|
д а : |
э у |
д г |
|
Поэтому данное |
j/ 2 |
X» |
.ту |
|
поле |
потенциально. |
|
||
Потенциал, поля найдем по формуле |
|
|||
U ( x , y , z ) ** J F d t *= |
|
|||
|
|
|
fi. |
|
X |
|
|
ß |
f |
fX(x,V,»*,) dx-+j У(х> V, i j d y +JZ(x, у, 2 ) dz .
А |
4 |
*• |
Положим |
f% ( x a ; уш; Zt )a&(âiO;D), Тогда |
|
U(M) *f О dx ~ tJ G d y + J туd z = x y z |
||
Таким odpasoM, LL(M)*> (xyz+ cj |
является потенциалом |
|
поля г |
.Действительно, |
|
|
g x a d i i шy e i - + x z j -*-хум « К |
|
148. |
Найти вид функции J ( х) для которой поле F |
|
= f ( t ) t |
соленоидальное. - |
|
Решение.
Находим
di'yf(t) I **/(1jdi'yi + г g z a d /(г).
I) |
Тан нан в трехмерном пространстве |
а'гѴ |
а |
|
f" |
gt&tif(x)z*fl{ii)g ia d t* * ff(>L)-j£i mo |
||
|
d i v f ( x j £ **Zf(%) + І ■ / *(%) |
=si |
-г
Атак как по определению поле соленоидальное, если divFsQ то должно выполняться условие
194
Решим его дифференциальное уравнение»
откуда
itl f f t ) a - J £fXt + i n C f
где С - произвольная поотоянная.
Окончательно находим |
/ (г) * |
. |
|
2) |
В двухмерном проотранотвѳ div =■ 2 . Имеем диффере |
||
циальное уравнение |
|
|
|
■ Его |
2 / ( * ) + * / |
(tj |
|
общее решение у |
. |
||
49.Дано векторное поле
F*(y-+z)T+(x-hz)J-+(x+y)f<,
Показать, что поле А потенциальное и найти его потенциал.
1 5 0 , "Показать, что поле А » SxyT+ (Jx* -2y)j потенциальное и найти его потенциал.
151.Показать, что поле радиуса-вектора потенциальное. Найти его потенциал.
152.Проверить, что векторное поле градиента функции
является потенциальным,
153. Выяснить, имеет ли данное векторное Поле потен
циал U. F*=(f х гу ~ 4ху)Т +С $ хг^2у)у. _ _
154.Проверить, что векторное поле F * y z(4 x i-y j-zk ) является солея'іидальнш.
155.Определить клаоо плоско-параллельного поля
А( З х * у - у 3)Т + (x*-3xy*)j.
156.Показать, что елекгромагнитное поле Н~-^yi+xj) является еоленоидальным.
.157. Найти потенциал U гравитационного по,ля, создава емого материальной точкой массы ш , помещенной в начале
US
координат, |
F ~^-Щг t . |
Показать, что потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа.
158. Электрическое поле |
имеет |
осевую сицметрию, его |
вектор напряжения г ах |
, |
а ѵ ___ . л . |
sfiT'Tu*** \/Х*+</е J ' Определить классb векторного пОля.
§ 3 ,8 , ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА . ВЕКТОРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ JI И П ПОРЯДКА. ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА
Действия взятия градиента сналярного поля дгаЫср , ди вергенции векторного поля d i v ? И ротора венТорного поля
l a t r называют дифференциальными операциями первого поряд ка.
Эти операции могут быть записаны с помощью символичес кого вектора-оператора К? , который называют оператором набла или оператором Гамильтона, а именно:
Vtpmg%adtf>\
t y p m a U v P j
V*?* to t F ,
Оператор набла является векторно-дифференциальным опе ратором, так как При своем применении сохраняет черты векто ра и черты оператора дифференцирования.
Его применение как дифференциального оператора облада ет всегда овойсгвом линейности и подчиняется йравилу диффе ренцирования произведения.
К оператору набла,как векторному оператору, можно приме нять формулы векторной алгебры. Однако надо помнить, что. на всякое векторное соотношение сохраняется при замене т^го ила иного вектора оператором X? . Например, равенство Gt-(o*aJ*0} вообще говоря, перестает быть верным при замене 8 шХ?.
196
Поэтому всякие соотношения, подученные формальным опе рированием с V как с вектором, требуют-овоего обоснования. Это можно достичь, например, проверив справедливость соотно шения в декартовой оиотемѳ координат.
А
Приведем ряд общих правил, при выполнении которых фор мальное применение V приводит к верным результатам!
1)оператор V действует на все величины, отоящиѳ за. ним, и не действует на величины, стоящие перед ним;
2)V днйсТвуѳт до обычным правилам дифференцирования;
3)если оправа от оператора V стоит произведение окаляров, произведение вектора на число, скалярное или вектор ное произведение векторов, при пользовании оператором V полезно предварительно, пользуясь обычными правилами диффе ренцирования и свойствами скалярных, векторных, смешанных
идвойных векторных произведений, преобразовать заданное
выражение так, чтобы оправа от оператора находилась только одна величина (скалярная ила вентерная), на которую оператор действует.
Имеют место следующие равенства:
V(j•,+/,)• Vfr+ Vf,,
V iF ^ F J * r f |
+ V-P,, |
|
V K ( F, *F2)=V*F, |
. |
|
Символический вектор V |
употребляют также для обозна |
|
чения дифференцирования по направлению. Л именно, результат
.применения операции V |
к скалярной функции |
равен произ |
ведению модуля вектора |
Г на производную функций по нап |
|
равлению вектора F г т .е . |
|
|
' |
I f l - f f ' |
|
Кроме того, полезно помнить следующие формулы:
дхad z * * Ѵг * * zf gzad(&'*)*t ’V( ä - z j - a ,
и?
где |
Л |
- постоянный вектор, |
|
|
|
|
||
oliv t |
3 f |
если |
t |
= агі +yJ~-tZK, |
|
|||
* \7'? =* " |
|
воли |
_ |
- |
-г |
|
||
' |
|
2 |
5 |
г |
= л?і |
■+y j . |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
||
|
|
d / v i d i f ) * |
V - ( ä « t ) = ü , |
|
||||
где |
й — постоянный |
вектор, * |
|
|
|
|
||
|
|
t o t (а X tj=» |
|
|
|
|
||
где ö - поотояпный вектор. |
|
|
|
|
||||
При пользовании |
оператором |
V дифференциальные |
опера |
|||||
ций I |
порядна сводятся |
к однократному |
применению V |
, К |
||||
дифференциальным операциям П порядка относят те операции
векторного анализа^ когда |
оперщіин gxadtdi^ tot |
применя |
|||
ются к $xad(pt |
d i v P t |
t o t г . |
|
|
|
При пользовании оператором V |
эти операции |
сводятся |
|||
к двухкратному |
применению |
V . При ѳгом следует^ynHTUgaTb, |
|||
что^Ѵ ^Ѵ '*^, |
а |
скалярный |
квадрат |
V' V = ’C,,=-J~s + "э “2" + |
|
+- А называется оператором Лапласа или Лапласианом.
Если <р - скалярная функция, то лапласиан скалярной
функции имеет вид |
|
Аса |
» |
|
Э Ѵ |
В2-ш |
b*id |
|
|
_ гГ . |
^ |
Т |
|
Зх* |
|
- |
|
|
Г |
|
|
|
||||
если /е°Хі +ЖМ |
- вектор-фукнцдя, |
го лапласиан от |
||||||
векторной функции |
Р имеет |
вид |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
э аД + |
d*F |
|
|
|
|
Вх* |
|
З у * |
è l t |
> |
|
или |
A F = д х с -*- ду/ ч-A Z K . |
|
|
|||||
|
|
|
||||||
|
Дифференциальное уравнение |
в частных производных |
||||||
или |
Ъ*ір |
|
ЬгЦ> |
Эгср |
О |
|
|
|
J P " * |
~ 8 р + |
~ЭІГ |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
198
называют уравнением Лапласа, а функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называют "гармоническими" функциями. /
Уравнение Лѳллаоа в векторной форме имеет вид
А Fa О.
Воего имеется 5 дифференциальных операций П порядка скалярных и векторных полей, которые определены дважды неп рерывно дифференцируемыми функциями:
1, d i'v p za d < p a (v -4 7 ){p * e Д(р.
2, - xot. gzadifzz V*7 f = 0.
3, g ra d dcFF^ v(V - F ) .
4, d iv xot F а V- (V x F j^ O .
5, x o t x o tF = g x ad dt'tsF-AFaVx(VxF).
Равенства 2 и 4 показывают, ч^о векторное поле cjTCid(p(M) является безвихревым, а векторное поле zotF(fi)
являѳтоя срленоидальным.
Имеют место следующие формулы для вычисления лапласиа на от скалярной функции:
|
1. |
Д (С(р) = С â<f>, |
где £■- постоянный оналяр. |
||||
|
2. |
|
Afo +yrjaAqpl-Ay, |
|
|||
|
3. |
&(i?'y\=:y;üip+Cf&¥-Sgradc{>-gxadyr. |
|||||
|
4 . |
|
Af((f} |
* |
/ Yq>)Aip-hf 'Vpj(gxad<p) ! |
||
|
5 . |
|
At=-~ J |
где |
r. = \/о:г+ у Іч-г* . |
||
|
|
|
j |
|
|
, '■■■« !! I ■ Hg |
|
|
6 . |
|
£ t = Y |
f |
|
|
|
|
Формулы для вычисления лапласиана векторной функции |
||||||
следующие: |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
А (С F)= С AF, |
где |
С ~ постоянный |
скаляр. |
|||
2. |
A(Fi +Fz)=âFi ^bFts |
|
|
||||
3 . |
/\(ср с) |
- С âtp f |
г д е |
С ~ посто янн ый |
в е к т о р . |
||
|
|
|
|
|
а <р — с к а л я р н а я ф ун к ц и я . |
||
|
IS 9 |
4. |
â(ipt)= г Atf>+2giad<pf где |
в. |
« в |
6 |
т о |
|
З А Д А Ч И |
t=*3:l+yj'-tz.x.
е- х Г * ф - і Я .
i~ x v * i j .
159, |
Используя |
оператор |
, |
найти градиент произве |
|||||
дения двух функций |
f< |
и / г |
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
• |
|
|
|
|
|||
Имеем p%aa'(ff fg)*1V (/f fa). |
Чтобы применить опе |
||||||||
ратор |
V |
к |
произведению двух сомножителей, |
надо образовать |
|||||
оумму двух |
олатаемых, |
в каждом из |
которых |
оператор дейст |
|||||
вует только на один иэ сомножителей. |
|
|
|||||||
|
При действиях |
с оператором |
V |
удобна |
следующая сим |
||||
волика: |
знак*, ^ указывает сомножитель, на который действу |
||||||||
ет оператор |
ф • |
ДРУГОЙ оомножитель при этом рассматрива |
|||||||
ется |
как |
постоянный. |
|
|
|
|
|
||
Учитывая правила применения |
оператора |
V |
кай диффе |
||||||
ренциального, имеем |
j |
|
|
|
|
||||
ѵ( А А ) - Ш / . ) + ѵ ( Л Л )
Ёпервой слагаемом правой части этого равенства опера
тор не действует на множительfg , |
во втором |
- |
на множитель |
|||
f i . Поэтому укаяанныѳ |
множители |
в каждом |
слагаемом пра |
|||
вой части могут быть унесены ва |
знак оператора |
V |
||||
Получим |
|
|
|
|
|
|
д гa d { f/fsJ— V(fff 2) |
V |
f |
(+ff tffs=/ggiadff+f4 gzadf£. |
|||
ISO. Используя оператор |
V |
, |
найти divt(fF)i где |
|||
ip - скалярная функция. |
|
|
|
. |
|
• |
Радение. |
|
|
|
|
^ |
|
Имеем divCcpPhV-CtpF)** V-(cp F)+4-(<p F)**