книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]
.pdf
|
/ |
|
|
|
|
|
- |
40 |
- |
y = C ,.y p ( t b |
с ё N P ( t h 0, |
Jp ( к х ) +C 2N p ( K X ) . |
||
Пример. Найти общее решение уравнения |
||||
aczy%c3cyU^(ocz~i)y = 0. |
||||
Решение. |
Данное уравнение |
является обобщенным урав |
||
нением Бесселя, |
где |
К - 2) |
р = 2. |
|
Поэтому общее решение примет вид
у - С ( Ог (2ос] +С г, N 2(2х ) .
§ 1 .1 3 . МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Рассмотрим обобщенное уравнение Бесселя при к г=-11
|
о Ь у \х у '- ( х г+ р 2)у= 0 , (р> ,0). |
(ІЗ .І) |
||||
Это уравнение называется модифицированным уравнением |
||||||
Бесселя индекса р. |
|
|
|
|
||
Его решением будет функция |
|
|||||
|
|
|
|
|
\Р+2к |
|
7 Ы |
- У |
|
t |
,jH |
( і: |
|
р ' |
J h c |
к !Г (/» 1 » 9 \2 |
|
|||
|
оо |
/_/\ * |
: |
|
|
|
' РV ” |
t |
V |
*- |
|
|
|
L |
b o |
|
Г(p4K+1) |
|
|
|
|
со |
|
I |
|
( с с у * гк |
|
-i'LКЯ(j |
|
|
|
|||
к! г(р*к*Ѵ !ѵг J |
|
|||||
Так как модифицированное уравнение Бесселя линейное однородное дифференциальное уравнение, поэтому его решением будет также функция LpУр(іх) , а именно функция
41
Функция Ір(х) называется модифицированной функцией
Бесселя I рода порядка р или функцией Бесоѳля мнимого
аргумента.
Непосредственно |
as разложения |
(13.2) в |
ряд фуннцап |
||||||||||
І р ( х ) |
мошяо |
отметать |
ряд |
еэ |
свойств. |
|
|
|
|
||||
X. П о й х Щ р ^ О |
вое члена в разложении |
(13.2) |
положи |
||||||||||
тельные и монотонно возрастающіе вместе с х |
. Следова |
||||||||||||
тельно, І р ( х ) |
монотонно возрастает я р и х > 0 , р & 0 |
и в |
отда |
||||||||||
ние от нѳмодафицированкых функций Бесселя І,П родов не име |
|||||||||||||
ет колебательного |
характера. |
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
|
|
Распишем подробнее разложение |
модифицированной бес |
|||||||||
селевой функции I рода в ряд |
|
|
|
|
|
|
|||||||
/х\Р& |
|
* |
|
(ос\2н |
* |
і |
/ x f ' I |
||||||
Ѵ * И т / |
Ь . Щ р ^ < )[т } |
Ң т / |
{ ф й Г г ^ г | Ш |
+ ; | - |
|||||||||
Отсюда jiCHo, |
ln(0)~0 |
ü]mg>0 . Если р<0 |
а |
не |
це |
||||||||
лое, то Множитель féj? |
арцз?*0 неограниченно растет и |
|
|||||||||||
функция Ір(х) терпит беснояечный разрыв. |
|
|
|
|
|||||||||
3. |
|
|
При |
р ~не |
целом два решения модифицированного урав |
||||||||
нения Бѳооеля |
(ІЗ .І) |
Ір(х)и Lpfr)будут, следовательно, ли |
|||||||||||
нейно независимы, |
и поэтому |
общее решение уравнения |
(ІЗ„ХІ |
||||||||||
можно представить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
у s CfIp (xj+Ci l.p (x)y |
|
|
|
(Щ .З) |
||||||
гдеС^,Cs |
произвольные |
постоянные, a |
p - не |
целое. |
|
|
|
||||||
При целых индексах |
р* П- |
модифицированные, функции* |
|||||||||||
Бесселя |
I |
рода линейно |
зависимы. Действительно, |
|
|
|
|||||||
г.„ |
3 5 Ч.Ч |
42 |
|
т.ѳ . |
|
Г_,, (x) ~ ln(er). |
(13.4) |
В этом случае (ß=n) общее решение модифицированного уравнения Бесселя уже нѳльвя представить в виде (13,3).
Поэтому введены так называемые функции Макдональда андек-
са р: 31 L D(X ) - I Q(X) |
|
если |
р - нѳ целое; |
|||
2 |
|
sin рзт |
|
|||
|
|
|
|
|||
Кр(Х]=' р. |
X |
Ш |
- 1 Р (Х) у у п( ді-р(х) Ь Ш |
если р=П- |
||
tLm |
- |
- |
S i n p z - - |
dp |
*/> |
целоѳ. |
р-*п |
|
|
|
|
*п |
|
* |
|
|
|
|
|
|
Функции Макдональда целого индекса, можно показать, имеют следующие разложения:
оа ]
Кп(Х^~Ъок!^+н)!
1 P ( fx V n+2* (-f)n~*(n-K-Q!
+ 2 2 _ Ы |
к! |
к=0 |
|
где ^ - постоянная Эйлера.
Из определения функций Макдональда непосредственно следуют следующие.свойства этих функций.
Функции Макдональда являются решением модифицирован ного уравнения Бесселя при нѳ целой р как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения ( І З .І ) . Кроме того, функции Ір(х) шКр(х) линейно независимы. Поэтому общей ре шение модифицированного уравнения Бесселя (13.1) можно пред
ставить в виде
. . У=С,Ір(х) + С2Кр(х),
гд е 6 ^ 6g произвольные постоянные, & р -любое.
Пример. Найти общее решение уравнения
(у. осеу "+х у - (х г+1) у - О.
43
Решение. Это модифицированное уравнение Бесселя с ин дексом р = ! . Поэтому его общее решение можно представить
.в виде
у = Сі Іі (х)+С2К{(х).
Для модифицированных функций Бесселя и функций Макдо нальда можно вывеси рекуррентные формулы, используя соот ветствующие рекуррентные формулы для бесселевых функций I и П родов.
Напршер, составим формулу для модифицированных функ ций, исходя ив рекуррентного соотношения
Зр(х)- Ур-іСх) +3рнІХ)‘
Применим эту формулу для а р гу м е н т а ^ а воспользуемся оп ределением модифицированных функций Бесселя, получим
~[х |
“ Ур-1 (L |
+Ур+ { { =* |
. * і М ІрЧ(х)+ |
'[fp-t |
|
Отсюда
Ц i~p3p(Lx)=ip-(№ -ip*f(xh
или
~X IpCx) ~fp-< & -JP*< '
Аналогично можно доказать, что
/ р (^)~х |
|
^'р-и^^ > |
и ѵN -'S |
1 |
s |
2li(x)= I0.,(x)+IpH(a:).
В частности
(1 3 .5 ),
(13.6)
(13.7)
(із Г ѳ )
Для функций Макдональда имеют место следующие рекур-- рентные формулы:
44
K p + tfa ) "nß-< (х ) -1? ң р |
U 3 .9) |
||
|
|||
Кр ( х ) — І<р ( х ) ~ |
А'p-ri і х ) $ |
(I3 .I0 ) |
|
Кр ( х ) - - К р ( х ) - |
X |
К р ( Х ) J |
и з . II) |
- 2к ‘р ( х ) = к рі( т ) + |
Ңр+i ( х ) . |
(ІЗД 2) |
|
В частности,
Модифицированные функции Бесселя при £>*' -г имеют следующую асимптотику
|
е X |
при Зг-’-'+оо у- |
(13.13) |
|
V 2л х |
||
|
|
|
|
Кр ( х ) |
е Х |
при аг-^+оо, |
(13.14) |
или более точно |
|
|
|
|
|
|
(13.15) |
|
|
|
(13.16) |
Вела индекс |
равен-1/2 ала |
п +j ; n=±i ,± 2 , . . . , |
|
то ыодафйцированныѳ функции Бесселя выроидают-ся |
в элѳиѳн- |
|
тарнне. |
|
|
В частностиf легко .показать, что |
__ |
|
(х)= \j[x Sh X j |
|
chx } |
K>Jx)= )m е ~х •
С помощью рекуррентных формул можно подучать форму ла и пра других значениях полуцелого Фшдекса.
Графики ыодифипаровгшшгх функций Бесселя не имеют колебательного хаейнтера в представлены на следующих чер тежах.
i '
- 45 -
Рис. 8
46
§ 1.14. ФУНКЦИИ БѲССЕЯЯ АРГУМЕНТА X \[Г
Рассмотрим модифицированное уравнение Бесселя
в в |
/ / я 2) п |
X у -hх у |
- (X +р ) у = 0 |
ц половам р=0. Тогда уравнение примет вид
у''+i у'-у =°- |
U 4 .I) |
|
|
Его общее-решение можно представить в виде |
|
где Ct> Cg произвольные постоянные. Перейдем к новой неза висимой переменной
äiL |
л L= t |
dx |
dt dx У \JT |
t f y - â l ü l A . Q ^ ü - L
Тогда уравнение примет вид
два |
і ѵ + т У і г ~ У |
‘ 0 |
|
y + T/ i/ • - L -y = Dп. |
(14.2) |
Это уравнение встречается в теории переменных токов. Его линейно независимыми решениями являются функции
а |
%(*&)* Эяа |
Функции моашо рааложить в сте |
пенной рад.по |
степеням t |
и отделить вещественную а мни |
мую части. Томсон-Кельвин |
(1890) обозначил вещественную |
|
а мнимую части |
этого разло&ення соответственно через Seit |
|
и Seit , так что |
|
|
I0(t\[i)=8ext+L8m t.
Аналогично для функции K0(t\f[)
47
KQ(t\fi)=* неП +і Melt,
Задавав 14»I . Используя разложения Функция Та(сс) в степенной ряд, доказать, что
8в%х ? JdÜL |
/*)*” |
(14.3) |
||
Ь Ш |
і |
' І |
г / |
> |
QO |
П |
Г ' |
|
(14.4) |
|
|
|||
8six = £ - |
|
|
||
Crixf
§ 1 .15.ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ФУНКЦИЙ НА ОТРЕЗКЕ.ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
Последовательность функций (<рп(х )} = ф(сс);f y f a ) , . . , непрерывных на {d,ä ), называется ортогональной на этом отреэнѳ, если
J <pm(x)(f>n(x)dx= 0 |
для всехя7т>£/г.(І5Д) |
|
Например, последовательность функций |
||
1, |
cosX , |
cos2x, ?. v cos nx} '... |
ортогональна на интервале |
(0,Л .). |
|
Апоследовательность
'1, cos X, sin X, cos 2ос, sin 2x,oosn sc,sin n x , ...
ортогональна на f-бГ, Cl |
ßj |
). |
Встречаются последовательности функций
*9і(х )у Фг fr], ■• ■у Фпfa)}
неі.рѳрывных на {сс,6 ) и не удовлетворяющих условиям (І5 .І), но если ввести под знак интеграла определенны», образом по добранную функцию p(x)zO , го ухе выполняются условия *
S
j р (х)фт(х)фп ('х ) с{х =0> т * а - |
(15.2) |
а |
|
Функции Фт(х) « фп(o)tдля которых выполняется условие (15 .2), называются ортогональным с весоиß(x) на отрезке
48 |
|
|
|
(a,S) . А о последовательности функций ■( (рп (xjJ |
говорят, |
||
что вт последовательность образует на (С, £ ) |
ортогоналъ- |
||
нуи с весом р(х) систему функций, |
вам любая пара |
ѳе функ |
|
ций tffafaj ш(рліЩ тФЯ-9ортогональна |
на 9гем отрезке, |
г .е . вы |
|
полняется (15.2). |
|
|
|
Примером ортогональной с весом последовательности функций монет слуаить последовательность фуннщій Бесселя. А пышно, докажем следующую теорему.
Теорема |
(об ортоганальноетй последовательносга функ |
ций Бесселя). |
Последовательность функций Бесселя |
|
■Ур (°*-/ 3-)}' Ур |
*^)t • • •} Ур і^п ■*-)>'• -j |
Р |
t> |
|
образует |
ортогональную о весом х на |
отрезке |
(0 ;і) |
систему |
|
функций, |
где |
Фу н к ц и и |
Jpfë) |
г .е . |
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
тФп. |
|
|
|
J хЗр(атз.)yp [oLnx)dx=Ö, |
(15.3) |
||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Доааааиальство. Пусть ос: >0^ß >0. |
|
Тогда функіщш |
||||||
Jp(dx) |
является решением обобщенного уравнения Бесселя |
||||||||
|
|
s :/ |
/ / |
2 і |
2і |
л |
|
(15.4) |
|
|
|
зс у |
-f-Згу +(оі х - р |
)у~ 0 , |
|||||
V о |
х |
2O t^S p(^2t) |
, Д P p fa ^ ) |
,/22 i)rf / |
\ — п |
||||
т.е. |
— |
|
|
— |
+(Л х - р )Ур(оіх)~0. |
||||
А функция 3p(ßx) |
- |
решением обобщенного уравнения Бесселя |
|||||||
|
|
г |
и |
1 / |
1 2 |
2 \ |
|
п |
(15. 6) |
|
|
X у + х у + ( р X - р )y = O t |
|||||||
Т' е* *2 .~d%і(ßx)йЬ+*-äPp(px)шг-+(?*g-р2) Шр4*0-
г. |
U |
сделаем |
замену переменной в |
G помощью подстановки |
У~"^* |
||
уравнения (15.4), а в |
уравнении |
(15.5) |
воспользуемся заменой |
y s ~fè’(Подробно аналогичная подстановка сделана в § 10).
Подучим |
и . л |
д 2 //, |
|
V |
и '*(л г- £ ^ ) и - 0 , |
||||
г |
Ч |
- |
а |
~и |
VuJ'- иѵ"= (р г-ы.г]и ѵ
49
4
Заметим, что
лги и і / = (ѵ и - и іг
Вернемся к прежним переменным и воспользуемся гем, что функ ции Ур(ы.0с) и Ур(рх) являются решениями соответствующих обобщенных уравнений Бесселя, тогда получим тождество,обе части которого проинтегрируем по отрезку (0 ;І) . Получим
(р - оіä)[ocjp(асx)Jp(fix)Ух= ^Jp(otx)3p(px)-xJp(pxJJp(^x^ .
Нетрудно проверить, |
что прир > ~ / |
подстановка няжне- |
|||||
Го предела х = 0 |
в |
правую часть дает |
нуль. |
|
|||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
у ( > х и |
щ |
р |
0' Г(р+1) + |
і! Г(р+2) |
' I. |
||
■ W x' { 2 |
I |
*J ’ |
|||||
Jp (<xx)=fër) . |
±ѵв |
, |
ИУ |
х г-+. |
|||
0!Г(р+{) |
НГ(р+2) |
||||||
|
|
|
р |
р+2 |
2 |
|
|
|
|
|
г(р+У). |
|
|
х + |
|
|
р^.р-< |
Г(р+2) |
|
||||
|
Р |
ß +2 |
2 |
||||
Ур (оІТ )= * |
Q P |
И |
|
X + |
|||
|
|
|
Г(р+() |
Г(р+2) |
|
||
Поэтому выражение.7р'(оіх) Зр(рх) имеет первым членом
разложения ^ гР
и \
у І / .у Л і ,
Точно такой же первый член разложения у /p{pxiJp[p'*'A Следовательно, эти члены уничтожаются, Олѳдуг :ий член вы
ражения
X Ур(<*х)Эр i ß x j - x J p ^ p x P p (оіх)
содержит уже х 2р і- |
а обращается |
в |
нуль при X —О для |
||
^ Предположим теперь, |
что * |
и р |
- |
два различных ну |
|
ля Функция Ур(х) , |
т .е . |
|
|
|
|
оі^= Ы |
ß = oi,п |
} |
/77 |
П |
|
|
m у |
|
|
||
Ур(*») = Ур(*п) = о.