книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]

Можно покавать, что функции

Бвооеяя

I рода непрерыв­

ны для р&О на всей

Чкаловой

оои,

а ври

р < О непрерывны

ддя любого х кроме

х^О , где имеют

бесконечный разрыв.

Поэтому

э» Ы)

и нельзя найти такое

СфО

что

У рм тСФО

для

к ф О .

Индекс р не целый,

поэтому общее решение имеет вид

у ** Cf

(х) +Cg X-f/g(xj f

21

Получим

м

к+/

Зк+р+2

.

АѴя - ф - *■ tim

ш

(-а*. - Щ

к\Г(р+к+1) V £ /

H-+at> Ом

к-*-оо ІЩіЩуйЩ*

& ( * * » / . fa* * * » ).

t ‘>”f»4x/>'4‘

-tim , х Х

tf-il) {?Г+})(р+/г+/)2г

*(а+к+і)Г{р+кН)

Следовательно,

ряд функция Беоселя сходится для любого х

И для р < 0 , ирома ХшО , где вдеыангы ряда

не

определены.

Легко »вдеть, что

ряд функции Бесоѳдя оходнгоя

правильно

в любом оегыеяте,

целиком леашцем а облаотн

сходимости, а

ол .

t il *

/ *

( * / « Г . к! г ^ + к - м ) ^ 2 /

ІГ*а-

Н)*

' ( f t 4

к*в * / Г(Уг +к)

1 <*

to*

X*«*1

*ѴЕ? Ь

«•' г(зд*к) -JTK *

Тогда

/

3е-

(~і\к

r,2K-+f

7^

x>m7 f x

S L

* ! ' r ( l * K )

" ~ P 7r' =

n K

„ Ік +f

<

f i -

Н У

2

‘X

____________________

\f ! S f a

н / ( 2 * + / ) . ■ . S ~3 ■ Г (^ У 2 Т>

j

jga

у )* х * « + {

V E T r j J f o

і-1-5‘...(ІЫ}-2’4-6-...2к ~~

■ < k * W

5//7X .

■ " J

Мы воспользовались

тем

Аналогично,

можно

вйвѳстн

c o $ x .

ныѳ«

/У"

Приведем графика функций

^//2(x ^~\!wx $LT)X и

з~ѵ2 (х) =]/ $ г cOSJC •

§ 1.6. СООТНОШЕНИЕ Щ ф Г

ФУНКЦИЯМИ

БЕССЕЯЯ I РОДА

С Ц Е Д Ш Ю

ИНДЕКСАМИ

Пусть п - целое я подсчитаем

Хп (*).

Но если п - целое,, то r(-n+K +f)**dk№o

я

следовательно, -ң^пч.к^ }=0 для всех

4>0

'’ я —

К4 П-1 , т.е. яра к=0;

26

4 .

Можно показать,

что степенной

ряд для функций Бес­

селя П рода с целым индексом имеет

вид .

т!

( х ^ гт _2

, / .

х

тсО

(г/

~^3l

2+ x h

ос

m+f

im+n

Cl ГЦ:0

ң

І) H-

-f

?

rn! (n+fn)i

n + m ;

X гу

X у + (х - f)у =*О.

Решение. Эго уравнение Бесселя

индекса р=- / , поэ­

тому общее решение имеет вид

y = C,Jf(x) +CZN (х).

§ 1 . 8 .

РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ВНОСИМ

Для любого р

шеют место следующие формулы

d -

( x pJp(x))liа

'S»

1

(8.x)

d x

d__ ( x 'p7p (xt

(8.2)

d x

)) = -X PJp+f(x}.

Аналогично для

бесселевых функций D рода:

cL. ( X PNp (x)) = * pMp-i№

;

'8 ,3 )

d x

^

(х "Р/Ѵр (х)) » -X~PNp.H(x ).

(8.4)

28

формуле р

на -р ,

и умножим первую на ctgpn t а

вторую

на - : г- - и сложим. Получим

$тр)г

[ х р У р(х)]~

х Р Зрч (*),

ctg р я

ах

[ х р Zp (x)] ~ - x p ZpH(x).

/_____ .

3inpji

ei '

p Jp(x)cospft-3-p(x)

= xP JB-< Cx)cOf!pX+J.ßH(xj

d x

senpst

sin pst

~~

p

- Jp-/ (x)cos(p-f)f[ +X(p - fj(xj _

p Jp-t(x}cos(p-i)x-l(fl4fe)

-sin(p-/jst

'

sin(p-f)üc

* x PNp-/ (*)..

Итак,

для нѳ целого р

имеем

4) Аналогично доказывается и формула

(8 .4 ). ’Пусть

р - н е

целое . Запишем формулу (8 .1 ),

заменив р н а -р .Т о г -

да

V

d

'X~PУ-ріЭС)}

“ x p7.p.f(x),

dx

SinpOC

d

x~pJp (x]_

= -x p2pH (x ).

ctg pst

dx

j1р(х) cospsT-У.р (х)

-о 7рн (xjcos pst+Zp-/ (х)

sin pst

=*-Х'

sinрог

-p -3p+! (x)ooo(p

+y~ft+(j

— -sc

-Np+f t

-sin (p+1)ot

Формулы

(8 „І), (8 .2 ), (8 .3 ), (8 .4) часто

записывают

в несколько ином виде. Например,

продифференцировав левую

часть формулы

(8 .1 ), получим

х рУ'р Ы

+р х р~1 Ур (х) -

X Р3р-, (х),

или, сократив на сср~1,

X Ур (xj + рУр (х) = х УрЧ ( х).

(8.5)

Аналогично

из (8 .2) будем иметь

дг Ур(х)-рОр[х) = - х

УрН (х).

(8.6)

Слоаив (8.5)

а (8 ,6 ), получим

Ур-і Ы) ~ $p-ti t3-) ~ 2 Ур ( х ),

(8.7)

Вычтя (8 .6)

из (8 .5 ), получим

Op-, (-X) 4 Зрн(х)=~?Ур Ох).

(8 .8)

Аналогично выглядят формулы для функций Бесселя П

X Np (х)-+рл/р(х) « я: Л/рр (х) ;

'(8 .9 )

X Np (х) - р Np (х) = -X Np+f(aг);

(8.10)

Np.f(х) —Np+t (х)=2 Np (х) ’

(8 .I I)

^рч (х) + Np+f(x)~ -g—Np (х),

(8.12)