книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]
.pdf210
241.Показам., что если ір - гармоническая функция,
то |
А ( ¥4-)=* 2 g r a d <р |
|
( г - |
радиус-вен- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тор) . |
|
|
242. |
Найти для уравнения А (р- |
0 решение, зависящее |
||||||||
только |
от |
г. |
( г = \Гсс z-t-y*-+zz ~). |
|
|
|
|||||
|
243. Показать, что . апласиая от вектора |
|
|
||||||||
где |
F |
- постоянный вектор, равен |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
-~ -у м(х)F |
|
( г « \/х*+7‘*+г*). |
|
||||
|
244. Показать, что векторное поле г ^ |
в "рг |
потенци |
||||||||
альное |
и солеаоидшіьное, а |
его потенькал |
УдОв--_.воряег |
||||||||
уравнению Лапласа |
|
|
э 2и |
э ‘и |
|
|
|||||
|
|
|
|
д ги |
|
|
|
||||
|
|
|
|
Э.хг |
|
Ъ у г |
d z z * 0 . |
|
|||
|
§ 3 .9 . КШЮЛИШЗИШЕ Оп'ЮГШіАЛЫПІЕ КООРДИНАТЫ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
В ПРОСТРАНСТВЕ |
|
|
|
||
|
Основные понятия векторного анализа могут быть опреде |
||||||||||
лены без |
введения системы координат. ■Но при |
решении многих |
|||||||||
задач, связанных с вычислением этих величин, приходится |
|||||||||||
пользоваться координатами и не обязательно прямоугольными |
|||||||||||
декартовыми. Положение точки в пространстве чаото бывает |
|||||||||||
выгоднее. определять |
не |
при |
помощи прямоугольных декартовых |
||||||||
координат' {X, у, Z ), а |
при |
помощи трех |
других величии ( 9 / f |
||||||||
9-2» |
9з )» |
отвечающих условиям |
задачи. |
|
|||||||
|
Если в |
системе |
уравнений |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
/ , ( Ч у . ^ |
= 9 / |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
<fz ( x , y , z ) ~ 9 2 |
|
|
|
а » |
|||
|
|
|
|
h ( x >V’ z^ |
|
|
|
|
|||
функции jt ,f2,^однозначны в |
некоторой |
области |
(Й)) |
и эй* |
|||||||
систеиа |
однозначно |
разрешима относительно |
|
г |
|||||||
|
|
|
|
Ч |
= р2 (9 п Ч г ,Я і) |
|
|
|
и) |
||
п 9з- 7 -; > ,
ги
(з\ѳ, функции F<}Fg)Ff |
однозначны |
в. некоторой области Sd' |
|||||
изменения аргументов |
Я<> 9-г>9 -3 |
S) |
» гак что |
каждой упорядочен |
|||
ной |
тройке чисел |
{jc,yt z |
) из |
соответствует единствен |
|||
ная |
у юрядоченная тройка чисел |
^9^9г>9і |
) из SO' и наобо |
||||
рот), то числа |
(j2f q3 |
называются криволинейными иоорди- |
|||||
нагамй точки в пространстве, Системы (I) и (2) представляют формулы перехода от ’прямоугольных координат к криволинейным
Инаоборот.
Вдальнейшем будет предполагаться, что функция Д fg,f3 ^Ff/^F имеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем своим аргументам (в областях
S)ъ ад соответственно),
Уравнению |
соотвеготвует (вообще roßopè) |
|
в системе криволинейных координат некоторая поверхность. |
||
Поверхности, соогвѳтствукжпе |
уравнениям |
|
Я f = > 9 2 ~ |
* |
9s~^J) |
(где Cp Cg, Cg - произвольные постоянные), называются координатными поверхностями данной системы криволинейных координат.
Линии попарного |
пересечения координатных поверхностей 9 |
|
т .е . линии, определяемые системами ураьнений |
||
~Яі = сі |
[ 9 г вСг |
<h= C* |
Ч г ~ сг ) |
\ Ь = С3 ’ |
9і = |
где Ch Сг ,С3 - произвольные постотише, называются коордяяаткымн линиями системы криволинейных координат. Вдоль каж- •дой координатной линия изменяется только гдла Так, вдоль координатной лшпш
97е,
9г=Сг
переменной является только ког глината |
и т,д . |
Если в системе (2) считать две координаты постоянными, а третью переменной, то получаются параметрические уравнения
соответствующей координатной линии в прямоугольных координагах.
ідиничные |
векторы, касательные |
к координатным линиям |
в данной точке |
/V и направленные в |
сторону возрастания |
соответствующей криволинейной координаты, называют коорди натными ортами (в данной точке) и обозначают 8( (Njt
F . M , is M -
Если в любой из рассматриваемых точек пространства коошшнатные_орты попарно ортогональны, г .ѳ . 8^8, =О,
-О, то координатная система называется сис темой ортогональных криволинейных координат.
|
Нумерацию аргументов |
воегД& можно выбрать так, |
||
чтобы тройка координатных ортов была правой, т .е |
чтобы |
|||
Л |
4 ~ ^ Ч4-» |
^ = ^JX^y> |
<\5 = <Ѵ Х^2- |
|
|
В общем случае |
единичные векторы 8^ 8g ) 8s |
являются |
|
переменными величинами, меняющимися от точка к точке, в то время _как_в декартовой системе координат единичные векторы с, J , ft - постоянные векторы. В этом состоит основная особенность криволинейных координат по сравнению с декарто
выми. |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
При перемещении |
точка по координатной линий |
векторы |
|||||
|
будут функциями |
только |
одной координаты - |
либо |
||||
, |
либо |
, либо |
|
. |
|
|
|
|
|
Длина дуга координатной линии (<^ѵ ) (вдоль которой |
|||||||
изменяется лишь координата <^Х) |
), |
отсчитываемая |
от фиксиро |
|||||
ванной на ней точки в |
сторону |
возрастания координаты |
, |
|||||
обозначается |
через 5у |
( ^ |
= 1,2,3) . |
|
|
|||
Выражения
»
215 -
называют коэффициентам;! Ламе данной системы ортогональны.-: криволинейных координат.
Дифференциал дуги координатной линии получается кяд произведение дифференциала .соответствующей координаты но коэффициент Ламе:
d S v =°Ny d<^v |
( ^ e i t 2 , 3) |
Квадрат элемента длины в криволинейных ортогональна дияатах имеет вид
dS* -H * d t f + U* d q l + H f d ^ .
Элемент площади d6^f^g координатной поверхности у ,*--ц вычисляется по формуле
d-^9і Ѵг* |
^Яг - |
Аналогично для двух других координатных поверхностей
**иЧ*~нгИл*Яг*Ъ\
|
-H3Hf dc}5 d $ t . |
Элемент объема d ѵ в криволинейной снотеме |
|
вычисляют по формуле |
° |
d v « Hf Nz иа d q f d q 2d<£s .
Условие ортогональности криволинейных координат могут быть записаны в виде
|
^ . i * + * M . . È ! L i. È |
L . 2 l W' 0 ' |
(5) |
||
|
дЯт дЯп |
дЧ™ Чп дН"Г Чп |
|
|
|
где |
т = 1 , 2 , 3 ; |
Л = 1,2,3 |
[ГПФП). |
|
|
|
Скалярное поле задается в система привод іейных орто |
||||
гональных координат скалярной функцией |
1 |
■ |
|||
|
Задание векторного, поля |
|
|
( |
|
мокло свести к заданию трех скалярных функций - |
проекции |
||||
F |
на направления |
координатных ортов'' |
|
_ |
|
|
|
|
2JA |
|
|
|
|
і&дн ведан вектор а декартовой системе координат |
|
||||||
F *» X і + yj ■+ 2 к ■ |
_ _ — |
|
|||||
tü его раалоасеяие |
по базисным ортам |
ортого |
|||||
нальной криволинейной системы координат имеет вид |
|
||||||
F^F1è1 + |
+ £ |
|
|
|
|
||
где Fj} F2)F^ - координаты вектора F |
в ортогональной «исто |
||||||
ме координат определяют по формулам: |
|
|
|||||
|
н< |
ЪЯ(' ^ |
д9 < ' " |
^ |
|
||
|
|
|
|||||
г я ± ( х — + и 2 £ + 7-2£); |
|
||||||
'г /Ѵ Д Л Щ г 4 |
|
“ d q j |
(*> |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz \ |
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
дЬ |
|
Ддн цилиндрической |
системы координат |
) коорди |
|||||
натными поверхностями |
будут |
полуплоскости |
( <р=^С2 ), |
исхо |
|||
дящие из оси Oz |
; круговые цилиндры |
), оси в раде |
|||||
ния которых совпадают с осью Oz |
; |
плоскости ( г ~ Oj |
), |
||||
перги?шикулярныѳ |
к .оси ÖZ (рис. |
3), |
|
|
|||
|
|
2Т5 |
|
Координатные линии будут: |
|
||
линия ( (р |
) |
~ окружности ("параллели"), |
линий ( /9 ) - лу |
чи, лзшян |
( |
Z ) - прямые, |
|
геометрических соображений ясно, |
что,координатное |
||
орты4 , С, 4 |
|
попарно ортогональны (причем |
£г я const \ , |
Коэффициенты Ламе для цилиндрической оисгеин яаащчЕзх равны:
Hg —Hcf~P'f
~ &z~ f •
Для сферической |
системы координат (tf8, ф ) коорднвет-- |
||||
ыыми поверхностями будут: сферы |
( г |
= С( ) о центрами в точ |
|||
ке 0, конусы ( в |
= Сг ) с вершинами |
в точке 0 я осями вра |
|||
щения, совпадающими с |
осью |
Gz |
, полуплоскости {<р -Сч )г |
||
исходящие из оси |
Gz |
(ряс. |
b)j |
|
|
ж
мртезга видно,, что координатные орты попарно ортого^ль- -
I
Коэ<5фмпиентк Ламе сферичэокой системы координат ратин:
Й ^Н ф^гзіпв.
2X6
ЗА Д А Ч И
246.Проверить ортогональность цилиндрической системы
координат.
Решение |
|
|
|
Известно, что декартовы координаты (х ,у , 2 |
) |
некото |
|
рой точна |
сняааны с цилиндрическими координатами |
(р, Ifß ) |
|
втой Ж9 точка соотношениями x~ßcostf>} y~ßsinif>i |
z - z . |
||
Используя условия ортогональности криволинейной системы |
|||
координат |
( J X в данном случав будем иметь: |
|
|
Эх Зх д у ду { dz dz
osif -0+&іпц> O+Q'I** О.
Bß Bz Bp Bz Bp Bz
Иган, условия ортогональности яныолнены, что и доказы вает ортогональность цилиндрической системы координат*
, |
246. |
Запасать |
радиус-вектор |
г - xL+ y j + 7. к |
в цилин |
|
дрической системе |
координат. |
|
|
|||
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
Пусть |
г « |
Хр |
+ |
*■ г , 4 |
|
И спо ль зуя |
формулы |
( 5 ) , |
получим |
|
|
|
*
•247. Вычислить коэффициенты Ламе для |
стоки ,-в.»■ |
мы координат. |
|
248.Вычислить коэффициента Ламе для ірдаічдричесиоЯ системы координат.
249.Лроверигь ортогональность сферической системы координат и вычислить коэффициенты Ламе для этой системы. .
250.Составить выражение вектора скорости V в цшш»; дрическсій системе координат,если известно его выражение в
декартовых координатах: |
V = X L + |
Z $ |
|||
|
d x |
. |
dy |
|
d.t » |
где |
X « Яс * |
y **"3t > |
^ ” |
||
|
X **f*(t), |
y = f > ( ?), |
* =fs (V |
||
-параметрические уравнения траектория движения»
251.Составить выражение вектора скорости 7 предыду щей задачи в сферической система координат.
252.Выразить даффѳреяцй.ад дуга пространственней яри- '
вой в цилиндрических координатах.
Г |
Г - |
|
253. Вазлоайть координатные орты |
, к_ декартовой |
|
системы координат по координатным орган |
â(> Xtt?3 |
крвполняей- |
ной ортогональной системы координат ($офг*9в |
)• |
|
25-4. Разложить координатные -орты і, / , к декартовой сис темы координат по координатным ортам ёр} ?рг вдлилдішеской системы координат.
255. Разложить координатные орты /,/], * декартовой
системы координат по координатным ортаа £л ,Рд, ^ |
сферичео- |
|||||
кой системы координат. |
|
|
|
|
|
|
256. Зная разложение |
вектора P^Xt+yj+ZK |
а_ я#карте~ |
||||
вой системе |
координат, |
найти |
разложение вектора. F по коор |
|||
динатным ортам сферической сиогемы координат, |
|
|||||
257. Биполярные координаты задается формулами ; |
||||||
„ |
sh/■> |
г |
, |
sin<f> |
-г |
|
|
с/і/>+соз<р |
|
|
r.h/>+co$<p <i |
|
|
Вычислить коэффициенты Ламе.
■ЛІВ
І6Ѳ, .аялнптияескисі координаты аа плоскости задаются t йкл'ор—if^y нацией
i-jsOLchpcosifii + a'shpsinti'jt (а>0, 04 ^ 4 2я, fiè о)
Вычислить коэффициенты Ламе, элемѳити длину и шплцада.
§ ЗЛО, ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА. В ОРД-ГОИА .сііІГл
к ш в о л и н ш ш н о о в д ж ш
Грацией« скалярной функции / («?/,?/,$?* - в ортогональ ных криволинейных координатах ф,,у2, ф3вычисляют по формуле
. |
г)/ / |
Г |
«?/ / |
Г |
Э/ |
1 Г . |
д t а d / ^ --- -J |
4 у |
3--J |
г |
* эТГ 77" • |
||
у |
Т1?, У/ |
f |
>4 |
5^3 |
//, |
|
Н ' W : i . : J C t l - :
9'(ма' Ь ж/7і |
Л» |
(''*'*'■■■ ■'•'**' |
Дйнврцеяцая вектора |
|
|
? і' 9 /. 9 2 , 9 |
4)e £ |
'• f +é '- - £z■ } F' J- ~jе■ |
|
|
* |
определяется ъ оpi orинао пня криволинейных координатах по
формуле;
/ |
iCF^MÜA + Ш М І + Ш А М |
||||
d i y F ‘ W H , |
^ 9 / |
|
^ 9 ^ |
||
Вихрь вектора <с ( 9/,9* J 9J ^ выражается в символической за- |
|||||
пцои следующим |
образом: |
|
|
||
|
|
НА |
д |
н*Ъ |
|
tat?* н,нгн3 |
д |
д |
|||
Ч і |
д9г |
Ч з |
|||
|
|
||||
|
|
|
|
Н Л |
|
Для лаплаеиенв |
скалярной функции |
|
иолучаетон |
||
выражение: |
|
|
|
|
|
в. |
^ t L / . № * l L ) +Ä ( M . * £ . ) |
||||
> .(M L |
|||||
иЦ Ң // äjA нг dtftj iif}\ Hg s p p
»iW s *4
Вкргволянейкых ортогональных координатах лапласиан от век-
тара |
о,] может быть вычислен по формуле |
1 |
|
Л F** дхас/, CLL г - xat xot ,с . |
|
è
(.дчд лапласиана вектора в дрлар’,,овой '■яол,??-'е косрядна?
äP ~ А Х L+АУ/+ A l к
я® переносится на случай произвольной системы пртогональн)>гг
криволинейных координат), |
• |
|
|
|
|
|
|||
В оощем случае |
â F =£4 |
£ £ +Агг 4 |
Fj |
- |
|
||||
Причина этого |
заключается |
в_ том, что |
орты âf} |
яе |
явля |
||||
ются постоянными,как |
l }j , K |
в |
прямоугольной системе |
коор |
|||||
динат. |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
В цилиндрических координатах операции векторного про. |
|||||||||
даза вычисляются по формулам: |
|
|
|
|
|
||||
^ а“ У |
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
o liv F |
\ a ( p F f ) |
Э / у |
3FZ |
|
|
||||
|
d ß |
|
dip |
/ d z |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ь |
р£ц> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t c t F = L |
a |
|
э |
Э „ |
|
|
|
||
Эр |
|
dip |
d z |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Fe |
i |
Ff |
F |
|
|
|
|
|
|
/ |
‘ z |
|
|
|
||
|
/ |
г а / |
э/\ |
/ |
э 2/ |
|
£ І 1 1 |
|
|
А / |
~ р |
ЭуО V |
д р ) |
р |
d ( f z * P |
d z z \- |
|
|
|
В сферических координатах подучаются следующие вираже-
кия
^ a r f/ = l r ?* + т - з е ?» |
|
'• |
||
- |
/ |
dfr*Ftl |
^ " dffffSioe) ^ d ftp |
|
CLLV F |
tzsir>Bs i n S |
dz |
-f % ЭѲ |
dtp |