книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]

«»'V cp• Г ~h (p Y‘F ** p

•P+ tf di v

161. Найти градиент скалярного поля

u=f(r),

где г.**^я*-+у*+г9,

162.

Найти Q zadf и

его длину.

2

удовлетворяет

163. Показать, что функция /=>dhz

соотношению

/ =*2 6 п 2 ~ ^ п ( g r a d / ) £,

где ( gxa ä f)s -

,

1

где г

t

t t t

165. Найти производную фушшии/ = у

,

+у +z

в

направлении

ее

градиента.

J56, Вычислить с

помощью градиента

производную поля

/ ф Ь у Ь г Ъ *

в

точке

М0( І;

I ;

I) по

направлению

вектора

е * 2 / - к .

167. Найти

производную функции

/ »

y z-*zz

з

точке ( І ; І ; І )

в

направлении

ë a~{cos4â' ° cosGO^cesStfj

л

найти g r a d /

в

гой

же точке

и его

длину.

6)

'?)

F ~ g x a d ( â n

z )>

уде

5'

-

Постоянный

вентор,

Y

-

радиус-вектор.

Г79. Вычислить дивергенцию поля

r= m

~

, где т

г —- ^ y

Z

- постоянное число,

г - радиус-вектор.

180,

Пользуясь оператором

V

,

проверить

справадлиг-

воогь (^орыудц di.y(cxz)=0,

где С— постоянны;’ вектор,

% -

радиус-вектор в пространстве.

181.

Найти дивергенцию поля

F'—yfz)^

182.

Вычислить дивергенцию полей:

I)

F - t t - ,

2) F ^ Lt - ä ) S t

v%é£Z,â - постоянные векторы.

183.

Вычислить дивергенцию поля

F —(c-z)z~ 2 г гс.

где

С -

постоянный

вектор.

184.

Найти дивергенцию полей:

1 )

F => <2 * (г х 6);

187.

Вычислить Zot-F , если

\

ä

S))

2) а

I)

3) г па;

4)

1г К;

Ь) t (г-1) ,

где äj £ - постоял-

вне векторы.

-

203

188,

Показать,

z°

что xat~t ^O,

189,

Вычислить

t a t ( г а )

,

где 3 - постоянный

вектор.

190,

Вычислять

rot F

если

V

Р =г*Г і

2)F**(c-x)f;

з ) ъ * ( с * г ) і

і) ( г £ ) ' 6 ;

5)

(~г*6х(скг);

Р) p ^ t £'c;

7)

А = г г ( ;

g)

г,

где £,с

-

постоянные

векторы,

Г -

радиус-вектор.

191.

Показать,

что

rot 5(%-3)шß ха.,

ттць&,£ -

- постоянные

векторы.

192.

Найти ротор векторного

поля

F ят/ ( ъ )

t .

193.

Используя оператор

, доказать,

что

t o t (cpF) “ <ргоЪГ- F *grad<p.

*

194.

Проверять,

что

вектор

(fcjtadf

ортогонален ж

своему ротору.

195.

Показать,

что

векторы c~t xo x a d z, zotß: xjftji]

компланарны

( С - постоянный вектор).

*

*

199.

Используя оператор

V,

найти:

где С -

a j div [ г ( с - 'xj],

- радиус-вектор в простран­

постоянный вектор,

t

стве;

-

204

-

5)

xot [ г (с* г )],

где С -

поогояяянй векгор, X -

радиус-вектор в прротран-

атве;

_

_

J )

4 iv [F ,* (i* F 2)lt

где

Ff

И

Fg- постоянные

векторы,

І -радиус-вектор в

пространстве.

200. Показать, что векторное поле

F **с(З.г)(£-г)-+ 3 ( І-г){с.г)-+ S(S‘Z)(â‘r'} t

где ä,ë, ?

-

постоянные

векторы,

потенциальное.

201.

Убедиться, что

поло

потенциаль­

ное,

Где

б г постоянный вектор;

Z - радауо-вектор в пространстве.

202.

Убедиться,t что

поле

С у I X солвноидальаое,

'F(M)=(T+J + к)* г

соленоидальное,

стве.

г д е

£

радиус-вектор в

простран-

204,

Показать,что

векторное поле F—х*С

, где С

постоянный векгор, является

ооленоидальным.

205. Будет ли ооленоидальным векторное поле р=х{а*г),

где 3 ' -

постоянный вектор.

Y *

jjjТ ^

2 —

206.

Проверить,

что векторное поле F~ ■

\J (x*+t/z+ z‘)J

I) ( 7 + / + л > г ,

2) с *(с*г)}

з) / g t a ä f ,

2U6

где

£

~ напрякеннооть іюли;

t °

- единичный вектор

касательной.

Поскольку постоянное электрическое ноле потенциально,

то

напряженность Е ыояет

Оыть представлена в виде градиен­

та некоторой скалярной функции (потенциала):

£ =*.giudip.

Тогда для величины работы имеем

А -

gxadip-Z°dâ.

Применив формулу Стокса, находим

,4 и

xot g x a d д>-п °als.:

где интегрирование ведется по поверхности,

натянутой на дан­

ный замкнутый контур.

Так как xot g x a d

то А — О

, что и требова­

лось доказать.

получим

gxad^ cUy Ä~ ЛА~0,

(*)

Поскольку векторный

потенциал Л неоднозначен, ибо к нему

может быть добавлен

градиент любого скалярного

поля U

вдц:

xotgn-L-biLi

Решете

__

Применим к

обеим частям

_ У J1/C

равенства t o t М-~ ~~ опе­

рацию z o t

. Получим

_

'xot z o t Н ~ zot -Jr- Jj-J- ( **) ,

Учигйваем,

что

x .o tzo iH = * g x a d d iv d - & N

равенство

d i v Н*=0.

В правой

час.а равенства C-**)xQjt

можно вв;огм под знав

производной,

гад как операции дифференцирования по коорди­

натам и времени независимы друг от друга.

Пслучим

,

L x o t Ë , но из

уравнений

Максвелла .

„

»

с s t

і ё Н

/ э ч ?

-

і ы е — Г Т 7 .

Окончательно

находим

волновым уравнением,

216.

Убедиться, что поле FCtij^Cfigxadif

потенциаль­

ное

( <р -

скалярная функция),

■

217.

Будет ли соленоидальпым поле ' .

F(м)<= g r a d ip х oxad yr

( (f

и у /

- скалярные функции),

дмаатах (

ip

~ скалярная функция, С~С4Z+C2J+Cgk - ПОС­

ТОЯННЫЙ ВвКТОр),

2ІУ. Доказать следующие тождества (используя оператор

Гамильтона):

'

_

а)

d i v xot F —О;

*

d)

xot g r a d <p= 0.

220,

Доказать, что

dev g z ü d ( х г-)-уг-+,іг)—8.

сквозь замкнутую поверхность, г .е. ф>n-xot FdS ,

равен

нулю, если поле определено всюду внутри поверхности.

223. Доказать, исходя из уравнения Максвелла

d iv E - 0 >

ряет

уравнению Лапласа..

224.

Из уравнений

(Мксвелла

1

_

. =■

/

ЬН .

. ~

д£

J l o t E

с

dt

’

ХО* ^ ~ С

d t ’

где

Е

- напряженность электрического

поля;

225.

Найти

АР, если

F

- 3 z ( х г+ у 2)1 - 2у ( х + z )J~i-4X ( у +z 2A£.

226.

Проверить,что'функции

J - X y и

£п.\/ссг+ у г=?пг

являются гармоническими на плоскости.

н27 . Проверить, что функции

х у

х у

г г п г

/

/ .

У ;‘x + y - 2 z ;

г ■+y*+Z‘ ~ г >

у£5гг+уг+ ггУ'

zs

являются гармоническими в пространстве

l'МП

228,

Вычислить лапласиан функции

<р ~ с ъ }

где

с

-

постоянный

вектор.

229,

Вычислить лапласиан

вектора

F —с*%,

где

С

~ постоянный вектор, z —радиус-вектор.

230,

Доказать,

-

2

, где ъ ~ радиус

что â z°^ - ~ p rz

вектор

в пространстве;

'

ъ° - орт Е .

231,

Доказать,

что

A (Z o t Р) «

'io t ( â F).

232,

Доказать,

что & (dlV F) ~ diV ( &F).

233,

Вычислить лапласиан

векторов

а)

F = г г ;.

где

г я

3cl+yJ+ Zк ;

d)

К -

константа .

235. Показать, что

°

236.' Показать .что

.

( а

/ [ ѵ + / Ь ) } :

237.

Проверить

справедливость формулы

л /(г )

/"(%J

iâe

г=с V-х г+у*+ г*.

238.

Проверить

справедливость формулы

ь Я г Н Ъ ) + Т * ,(%)>

;'Л5

а

239.

Вычислять лапласиан функции

ір= ъ ,

где

t =

\Л г2ч у

.

240.

Вычислить лапласиан вектора (с-г){£*ъ),

где

С -

постоянный

вектор, z - c c l + y j

->■z F .