Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

11.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2824 25 26 27 28 > Следующая >>>

230

64.XSJS (ас) - 4 JV9JS (ас) + 0 _т7 У7 (ас).

65. Х ^ (ас) ~ 2 зс * (ас).

66.л 8J7(х)- ас7Уд (х) - X ь(Уд(л) ~3xsJf0(x)~i5x *7ff (ас)- -'t05xS3fZ(cc)-9b5x2ts (х)-Ю39*хУ„(x)~~27027of..7^Joe),

Ar* f

67. x s C/2[cc)- З х У /х ) + 3x3% (x) + 3x% (X ) +дк:76(x) + po

^ 80*ІГ. 3S +2K (x ) ’ K=1

{

68.X -3 , (X ).

69.Х*%(х).

70. (XS- 4 x ) Jf(x) + 2 X *% (x).

								I
71.	0,716.
72.	0,235	/,	itn x	, „ cosx
73.		/,	itn x	, „ cosx
73.	У ~ Cf		- — -— ■+£,		Vx
			\fx		Vx
04.	Указание. Воспользоваться производящими функциями
BOX функций.				дай соответствующих систем			бееселе-
BOX функций.
Ѳ5. Указание. Воспользоваться разлокениями дам е Ш							)	.
е •	'	й себрать		члены, не зависящие от Г ,
8 6 *		J0(x)^~ J cos ( xsin				■

І Х

Of (x)"j? J cos(xsimp-cp)d(p-}

231 -

		1	casC^ sin ф- 2(f) d if i
		0
		/ ж
		J3 (x )= ^ f	cos(xsin<p-S(p)dcf>.
90 .		2 fxJ0 f a x ) d x		2 f i J o Ct)dt
	a ;~-	‘ ________________ __ ____g____________
		(X(<*-i)J		df {%&()}

Ы-і Jffai)

f .

{_ 2Je(oi,x) ^ 22Щ{ЫЯЯ) t		f 23в(щх)	^ ' _
Отсюда	d2'Jf(oi2)	(oCL)
cL4 % I0*-/)	d2'Jf(oi2)	(oCL)
9 1 .
X ~ ^	^ndp (-Ct-n ^ ))
n=i
где
Cn -	г?—/, 2,...		0<х<11
ипХ+<(-*п)

92. Указание. Воспользоваться формулой (1 5 .6 ), считать

‘* = оіл > а		»	ГД®	c<n ~ полони тельный нуль функция
^ г ) и	применить	правило		Бѳрнулли-Лопиталя.
93.		f	Ѵ	«Л) „ - t ,	Ы.„ a t
■	' ! xtT
		мліЗ.Ч ы .„> 7»			—-	9

232

гдеie£cinJ - последовательные положительные нули функции 'Jg(x) <a-\fE , Т - натяжение на единицу длины контура, Р - пове|йшоотная плотность мембраны.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения

Э 2ц 1 ди. / „ п ^ п

' э ? + Г ' а г “ 5 5 і Р = ^ ' при условиях:

u(Ojt) равно нонѳчной величине;

u(P>t)=0; 0< t<оо ; и Сі,Oh Оу 0< г< R •

ди				TTS	при	04г<е,
d t			■пе\р
d t	t~o		I о		при	£ ^ * -£ /? .
94,				%<&)
			( -	%<&)
	ри>1		( -		sin(oot-+ лу),
	ри>1			Ш)
				Ш)
где &=\j£- ,	Т -		натяжение		на	единицу длины контуре,
	р -		поверхностная плотность мембраны.
95- и (z ,th E	(а „cos(a.& t)+B„ s:„(a% t) } 3,(						) ,
n*f						J
где					^Uhr)d,t’
					^Uhr)d,t’
			2	'	to
ß ^ '			2	'
ß ^ '		QUft tg		(Uft) Q
П		QUft tg		(Uft) Q

с1ң- последовательные положительные нули функции J0(x)-

■ъь

Указание.		Задача	приводился к			интегрированию уравнения
з^а	/	3 ^ ^	1 д ги		О }	D 4 'i< г а , 0 < t < ж ,
Э гг	г	1 г	ä'Jft*'’
при условиях:
	U .(x 0 ) t } = O y			â < t < o o - y
	и (г ,	0 ) = ср(г),		( U	K	гй ;
	д и	- - у С г ] ,		О	< г	< <і0 .
	d t
		t=Q

-25К -

Ответы

главе

I . Решение. Условия (22),(23)

заданы,

причем функция

<р{х

)

задана графически

на

рис.12,

По формуле

(28)

запишем функцию

( .г, t

), описывающую сме

щение точек

отруны,

в виде

u(x,t)--

<р(ас-а t J + ф> ( х +а і)

-g

Это решение являегоя

полусуммой прямой волны p fx - a t)

обратной волны

(p(x-t-at)

причем <2

есть скорость

рас

пространения этих волн. Полученное решение для любого мо

мента времени

можно истолковать следующим образом:

два одинаковых графика <р( х

) налагают друг на друга в

момент времени

= 0, а затем движутся в

противоположные

отороны по оси Ох оо скоростью OL.

График

струны в момент

времени

получается как

среднее

арифметическое

таких

раздвинутых графиков. Функция u (x } t)

при t =>~~

изобра

жена на рио. 15,

Рис. 15
2 . Решение . Начальные	условия	(17), (18) имеют вид;
V	, е«™	~е^Х 4^
if(x)=a, 'q>,(*)-4		(66)
О.	воли	х<~£, x>â.

Применить формулу Даламбера (28) непосредственно нельзя, таи как функция ір{(х) имеет разрывы n p a j r » - ^ и

Поступим следующим образом: заменим функцию <ff(x) дифферен-

2.S5

цируемой функцией		х	) мало отличающейся от <£У ( х ),
т ,в . ’’сгладим" начальные			условия (66). После талой замены
можно применить формулу Даламбѳра и подучить решение новой
задачи в	виде		x+at
			x+at
	U *Сх, £ ) ~ t e J			<Рі * ( -)d	•
			x-at
3.	Решение. Начальные данные				продолжим не четный обра

зом, после чего задача оводитсд к исследованию			колебаний
бесконечной струны. Распространение		колебаний,	идущее от
интервалов (х , ,х г)	и (~хг>~х <)	изображено	на рис. 16.

- хг -X,

ли

Рис,16

При малых значениях времени t процесс происходит так же, как у бесконечной струны. Далее происходит отраже

ние от закрепленного конца, после чего водка,	амеваая вид
равнобедренной тралении (р и с .16) движется в	калраахеяха .
роста X .

236

Заметим, что начальное условие в этой задаче разрывной для его обоснования, кал и в задаче 2, нужно применить ме тод "сглаживания".

4 . Решение. Вследствие симметрии можно ограничиться рас смотрением отруны прилгу# Начальные условия имеют вид

U((xf О)=•■О,

dUf	Of	если
dt t~a	Ѵі	если

ас>0

х^О, ( ^ )

Кроме того, из механических соображений следует, что в точ ке ХяО , где сосредоточена масса М, должно выполняться краевое условие

М	д ги,	~ 2 Т	Эиу
М	ЭѴ х**0	~ 2 Т	дх <х=0	(6 8 )

Краевой режим вызовет волну, распространяющуюся вправо со скоростью а:

Uf (X, tj - Li(x-atJ,

(69)

Вид функции <р нам и нужно определить. Подставив выражение (69) в краевое условие (68), получим для определения (р обыкновенное диффереішиальное уравнение:

М а г<р"(-at) ~2Ttp '(-a t).

Интегрируя его, находим

(p(-at)-Cf-t-Сг е

2Т ' Ма t

Для определения постоянных Cf и Сг воспользуемся .начальны ми условиями (67). при х= 0:

ср(0)*=0,

-сир '(О)- Ѵ-0}

тогда

2Т

Cf -hC2= 0}

М а сг =:го-

23?

Теперь находим

а:- a t *0

X -at>â,

(70)

Аналогичным образом определяется положение струны

Uz(x,t) при

Г Г	при	■X+ Ctt>0
Г Г
Ugfat)1*4		x+cLt<ü.
О	при	x+cLt<ü.
L		(71)

Непосредственной проверкой можно убедиться, что функ ция Uf(x',t), определяемая формулой (70), удовлетворяет урав нению (21) и условиям (67) й (68).

Аналогично обстоит дело и с функцией и 2 (я, t).

Таким образом, формулы (70) и 171) Дают решение нашей зада чи.

5,	Решение. Предположим. что			концы струны		находятся в
точках	= 0 а х*?. Начальные			условия	будут	иметь вид
и (х} О)=?{),		ди	= ¥(х),		О4 х 4 â.
и (х} О)=?{),			= ¥(х),		О4 х 4 â.
			t=Q

Для однозначного определения функций üCxf t) нужно			задать
еще условия на концах. Например, если концы струны			закреп
лены, то краевые условия	имеют вид
u ( o ,t ) * o ,	u C e,t)» o .
Если же концы свободны,	то
== О.	ди	* о .
== О.	Тх	* о .
х -0	Тх	х - е

Возможны и другие комбинации краевых условий.

В случае конечной струны снова можно пользоваться ме тодом продолжения начальных условий с отрезка [0,& ] на всю ось. Это продолжение нужно выполнить таким образом, чте»

238

бы решение, даваемое	формулой	Даламбера, удовлетворило
в т о ч к а х О и х а і	краевым	условиям.

Нам необходимо проинтегрировать уравнение колебаний струны при начальных данных

дц

и (х, О)а: Аsin — t = Ц'(о:)~0, 0<С *4 £ d t t*Q

при краевом	условии u(0,t)=0		U(P,t)=0.		Продолжим функции
Ц>(Ой) й \p(xj	на отрезок £■£, и]н е четный				образом, а затем
периодически	на вою ось. Подучим функции
ір*(х)=А sin ~ ß ,					- оо<сх<+ ск>,
совпадающие	на отрезке	[0 ,І]	о	cP(/xJ и ’у(х).
Подставляя функции <р*(х) и ~у"Щв формулу Даламбера, на
ходим решение в виде
	.	üt		.	ж
а (ос, tJ -jr[A sin j (х - at)+A sin j- (ос+atj]
или	/	а *	Ясс	sra t
	ц(сс, t) = A sin ~j~ COs '!Г~ '

Непосредственная проверка показывает, что эта функция на отразие[0,ІІ] удовлетворяет начальным условиям, а на кон цах его - краевым условиям.

Такам образом, U (х ,і) есть решение поставленной задачи.

Заметим, что если бы концы струм были свободны, го начальные условия нужно было бы продолжить на отрезок [~Е,0] четным образом, а затем периодически на всю ось.

Іо , Решение. В § 4 была решена задача колебаний ко нечной струны, закрепленной на концах сс™Оих=£:

Э2а	г дги	О
d t 2	а	( 2*0
		( 2*0

при начальных условиях

и (x,O j=ip(x)t “ Г L ~ V (x>’

О4.x£ 2.

(30)

И краевых условиях

а (0, t j - ß ,

и ( ^ t ) - О.

(31)

При условии, что \jr (X ) дифференцируем, a q> ( cc ) дважды дифференцируем, эта задача может быть решена методом разде ления переменных. Решение представляется в виде ряда

и [JC, tj—	f А,7COSU>„ 11 ènsin Сі)л tj Sin			X,	(36' )
где	пжа	,	_ j r,	- •
			ri~/} 2f ...

собственные частоты колебаний струны, а коэффициенты Ahjßn определяются по формулам:

		/ г	~ Г ~ ~ d x ,			V
	<	/ г	. .	пхх	,	V	(34)
			'Sin—jr— d x ,
		Sn ~ 7 T £ sJ v (x) iln
В данной	задаче &п~ 0 ,
Ап ~	J 'х (£-x)sin ^jr-d z =»			. L	x t f -x ) w t£ s.\l .
							'0
		ПХХ ,		о	â	n . , плх e
		cos p	OLX ssa	Tin:	ЛЯГ		4
				Tin:	ЛЯГ		О
. Z ë f	с	n7ix 1	4âz		е	4e
. Z ë f	.	n7ix 1	4âz	пжх\		4e
+Щ	sin	dx\		e	"'ZTTiO-COi nx}=
+Щ	sin			e	I , -

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2824 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ