книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]
.pdf60
Тогда получим
е “ ■ |
" - Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
пЯ-OÖ |
|
|
|
|
|
|
|
-£.ъ№*‘"Ч-і>п-£ ъ ы * |
1/?ф |
|
||||||
|
|
|
||||||
/Іо-ОО |
|
гг«с-ос |
|
|
|
|||
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
||
І п(йо)= . І п ( х ) |
|
, где |
|
П ~ целое, |
||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
е* |
= I 0 (x) + 2 Z |
ln(x)cosrnp. |
(20.4) |
|||||
|
|
|
п=і |
|
|
|
|
|
Воспользуемся полученной формулой (<і0.4) |
Е перемноаиц |
|||||||
|
, |
|
_ & cosa),t |
„ |
„ focoscOrt |
: |
|
|
почленно ряда функций б 4' |
а |
е * |
|
|
||||
&)=А[І0 (S<)l0(l^ 2l0(o,)ZIn(Ss)cosn^ |
+ |
|||||||
|
|
|
|
ГІлі |
|
|
|
|
+ 2 Ь (§г)Т-^ i n(St)c |
o s |
+ |
|
|
|
|||
+ 4 Z |
Z |
Іп(% )Щ )соб oü)2t cos *&,£]= |
||||||
П&І Kai |
|
oo |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= A [ W ) I0(fy+2Ia( f y Z l n(6z)coMvzt+ |
||||||||
+ 2I0W |
T |
In (5,)cosniD,t + |
|
|
|
|||
|
|
/?=/ |
|
|
|
|
|
|
|
DO |
J>Ö |
|
|
|
|
|
|
'k 2 T |
T |
In (â2)Ib($<) [cosfntog +x v j t + |
||||||
. |
ila j |
K=i |
|
|
|
|
|
|
+ COS (K < jJ j - n c0 2) t j \ . |
|
|
|
|
(2C-5) |
|||
Включение в цепь rez или иных фЙлътров позволит из |
||||||||
бавиться ог-некоторых из частот. Пусть, |
например, i0 2=Q ~ |
|||||||
низкая частота, |
а <0 ,=а> - высокая (Q ^<и>) |
.И пусть |
||||||
61
в цепь включен фильтр с полосой пропускания (
u)-f-Q. ), тогда юн будет иметь только частоты (ü-Q , cOjCü+Q и станет равным
і(і)=А{2І^г)І((^со5ь)і+2Щ)І/$г)[со$(ы+$і+ео5(й)-Я.)і}}=
^2A IB(SSUTM ^ 2 |
M l |
cösQ.i)costüt. |
ш |
|
|
Величина |
|
|
г і М
h ( g*)
называется коэффициентом модуляции. При этом амплитуда ко лебаний высокой частоты со будет изменяться с чаоготой Q, т .е , будет воспроизводить без искажения низкочастотные колебания.
При более широкой полосе пропускания фильтра в выра жение тока могут войти дополнительные члены ряда (20.5),° т.е.^появятся "побочные" частоты и тем самым, будет внесе но искажение.
ДИАГРАММ НАПРАВЛЕННОСТИ ПЕРЕДАЮЩЕЙ АНТЕННЫ
Антенной в самом общем случае называется система проводников, излучающая в пространство энергию в форме сво бодных электромагнитных волн. Эта энергия образуется за счет работы токов, циркулирующих в проводниках системы.
Назначение передающей антенны состоит в преобразова нии токов высокой частоты в энергию электромагнитных, волн и излучении этих воля в заданном направлении.
Если N0 - |
полная мощность, |
излучаемая антенной,то |
||
“ м о^осгь |
на |
единицу телесного угла для |
антенны с* |
|
такой же мощностью, |
как и данная, |
но излучающей |
по всей |
|
направлениям равномерно. Обозначим |
через А'(Ѳ}<р) |
мощность |
||
на единицу телесного |
у?ла, излучаемую данной антенной в . |
|||
•л
-62 -
направлении луча (&} <f) взятого в оферичѳской оиотеиѳ коор динат.
Отношение
М(0,9>) |
■ в(ѳ, <р) |
|
(К : 4ѵг) |
||
|
называется коэффициентом направленного действия антенны в направлении (Ѳ; <р).
Еоли Qma^ наибольшее значение коэффициента направ ленного действия, то отношение
Ш ^ . а Ч в , ѵ)
Ъmax 0
(или же квадратный корень из него) принимают ва характерно-?
тику |
направленности |
антенны. |
|
||
Диаграммой направленности антенны называется поверх |
|||||
ность, |
имеющая в сферичесних ноординатах уравнение |
|
|||
|
|
|
jO ü gfätp). |
|
|
Пусть |
излучающей |
поверхностью является круг радиуса а |
|||
с центром в |
тонне |
0, |
расположенный в плоокооти Ѳ= % |
(т .е . |
|
z = 0 ; |
рис.9 ). Это |
может быть открытый конец волновода |
или |
||
коничеокого рупора. Пусть распределение поля по кругу ха рактеризуется функцией Субполярных координат точки
Рис.?
63
Обозначим сферичесниѳ координаты точки О. через (fifty (f>), при ѳтом ß настолько велино, что все лучи, соеди няющие точки нруга с О , можно очитать параллельными и равными между собой, за исключением того случая, когда эта длина входит в выражение для фазы. Для этого последнего
олучая |
обозначим |
через |
^ |
проекцию OJY |
радиуо-векгора |
||||
точки |
М на направление |
радиуо-векгора точки |
<2 и получим |
||||||
|
Величину проекции |
|
Ср |
вычислим через |
оналярное произ |
||||
ведение |
векторов |
ÖM и |
|
б й |
|
|
|
||
|
|
|
|
öM -öa |
|
|
|||
|
|
|
|
9~ |
ю а і |
’ |
|
|
|
' Заметим, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О М — t |
COS цгі |
■+ t S i n y r j j |
|
|
|||
|
ÖQ |
^fisinQcosipT+psinBsinifj +pcos&k |
|||||||
|
iDQi ~ |
|
|
|
p |
|
|
||
|
|
~ |
s i n |
Ѳ c o s ip t - h |
s in В s in if> j |
- t - c o s â k . |
|||
Отсюда
q. —z sin 9 ( cos ycascp +sin у sin cp)- tsinâcns(y-cp).
Следовательно,
|
R—f i - |
zsin Q cos(yr-ip). |
|
||
Воспользуемся |
тем, |
что |
величина поля Е в точке, на |
||
ходящейся на расстоянии |
ß |
от точечного |
источника, пропор |
||
циональна величине |
|
і Kß |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JL |
- |
|
|
|
|
Р |
|
где |
|
решению волнового уравнения, |
|
||||
K~iß |
н |
R = p -z.sin âcos(y-cp). |
|||
Тогда величина поля в |
точке Q от |
элемента |
|||
■F f t ^ i d t d y поля излучения Cjner пропорциональна я*-
|
64 |
|
ранению |
|
|
( у |
ікСр-і sindcosIy-ip)] |
- . |
j > F { l , p ) e |
* * |
t d z d y r , |
a or воѳй изучающей поверхности круга - пропорциональна
интегралу |
по площади круга |
|
||||
|
|
|
гл |
а |
, ~iktsinOcos(yr-(f>) |
|
/ |
е |
‘ «у» / , |
fг/- |
|||
ft |
|
rJ d y j |
в |
г dz.. |
||
Величина поля от антенны той вѳ мощности, равномерно излучающей во всех направлениях, в точке О. пропордаональ-
на |
гл |
|
п |
|
|
ß e iKJ>f |
d f |
J |
l f ( t , y ) l i d t |
|
|
Отсюда получим |
|
|
|
|
|
I |
гл, |
r -/ .~iKtsthScos(y-(f>) |
td r |
||
\J0 d}r JQF(t,y)e |
|
||||
g t b v h |
|
|
~SfT |
y r )\td t |
|
|
|
/ |
d y s J I F ( z , |
|
|
|
|
O |
Q |
|
|
Рассмотрим некоторые частные олучаи распределения поля. Если распределение поля центрально симметрично, г .ѳ .
F(t, Y}='F(t),
тогда диаграмма направленности не будет зависеть от
угла (р
<$(ѳ,<р)=д(в).
Используя интеграл Бесселя для функции У0(х) и ее четность, подучим •
о |
"а |
о |
Кроме |
того, |
|
2л |
а. |
а |
|
f |
dyr J \F ( i) \ x d t - |
2 JCJ 1?[г)\ rdz. |
|
' ' ■ |
0 |
0 |
0 |
6Ь
Огоюда
/в К Щ ( « ъ №
J I F ( t ) l r ä t
где для упрощения выкладок положили d xsinâ-u, <%(&)
Пусть закон распределения поля, например, будет
W - ( a * - * T ,
где п - целое положительное числе! (напряженность поля убывает и исчезает с приближением и краям круга). Тогда преобразуем интеграл, стоящий в числителе, используя интег рирование по частям
•+
2sa*n(n-?J |
( a W |
r * y t ( u l) t'd % |
|
|||
= “ |
Р |
----- . |
|
|||
2 |
а Пп! f ^ |
, t \ |
n+f, |
n*fnl |
, z , пЛ |
|
2 а п*,п !Г1 |
||||||
2 а а |
п + г п / |
|
|
|
|
|
|
и Л+1 |
|
|
|
|
|
Интеграл в |
знаменателе |
равен |
2(п+1) ‘ |
|||
J |
( а - г ) x d z ~ - j - |
^^fX + / |
||||
|
а |
„ |
|
J |
* |л+ / |
гп+г |
г/ |
г г,і |
|
1 |
(а-ь) |
|
|
о
66
Следовательно, диаграмма направленности определяется функцией
и П+! |
А-пн(и) |
Заметам, что
поэтому |
0 4 & 4 J ; |
|
,„ а CÜ . Л 2 л а . л L , L |
||
м |
О 4 и 4 ак $ т &=* - 0 - sinâ**—fc -Jtn& '*-xsin84-fc >
где і-2 к а - длина края антенны, а Л- - длина волны.
Имеются таблицы значений гая называемой лаыбда-фуня-. цаи.Л/<ц/в "2рг* Используя ах, можно построить диаграммы нап
равленности, |
см. ри с.10, где приведены диаграммы направ-. |
ценности для |
различных значений параметров,. |
Рис. ю
|
|
§ 1,21. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ |
|
||
1. |
Определить |
значения: а) Г (2,58) |
;$ Г (0 ,2 ); в) Г"(—3,25); |
||
|
г) |
Г (3 ,5 7 );:д ) Г (4 ,6 І); е )Г (3 ,2 4 ) . |
|
||
2. С |
точностью 0,01 определить следующие |
значения гамма- |
|||
|
функции: а )Г (2 ,4 2 ); б )Г ( 3 ,б ) ; |
в ) Г (0 ,7 ) ; г ) Г ( - 0 ,2 8 ) ; |
|||
|
д ) Г ( - І ,4 3 ) ; е ) Г ( - 3 ,5 ) . |
|
|
||
3. |
Вычислить: |
а )Г (2,43); б )Г ( 3 ,5 І) ; |
в )/~ (-2 ,4 3 ); |
||
|
г) Г (-1 ,5 1 ). |
|
|
||
4. |
Определить: |
а) |
Г (0,0002); |
б) Г (-0,0004). |
||||
5. |
Определить: |
а) |
І б ! ; |
б) |
30!; в) 40!; г) |
44!. |
||
6. Доказать, |
что |
|
|
|
|
п |
|
|
7. Показать, |
что |
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
Г(х)=2/е |
$ |
t |
d i , х>0. |
|
||
8. Показать, |
что |
на 11; |
гамма-фуннцня Г(іг/ имеет минимум. |
|||||
|
х |
В задачах 9 - |
I I |
вычислить интегралы |
||||
9. |
fс?t .S е ' a td, ,t . |
|
|
Ca>0-f |
|
|||
|
Jo |
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
|
|
|
|
|
( a > 0 ; |
|
I I . |
7 |
^ |
|
d t , |
|
|
i n « / ; |
|
12. Бета-функция 3(х, у) или эйлеров интеграл |
I рода.ддя. |
|||||||
|
х > 0 } у >0 |
определяется следующей формулой: |
||||||
|
3(х, у) «/t Х~*(f-1)У~'dt. |
(2 1 .IJ |
||||||
Показать, что для х>0, у>0 несобсгвеняый аятеград, опре деляющий бета-функцию/сходите л.
68
13. Показать, что
*Ѵг
В (X, у) * 2J cosР'Х<р sin8^(р d <р
14.Показать, что
- |
, |
г ( х ) т |
х > 0 , у > 0 . |
в (*>У}~ |
Г(х+!/} > |
||
15.Показать, что
8 ( У г ^ 1г/ ) - я .
16. |
Доказать, что |
|
|
YoC+i |
|
|
|
|
||
|
я/е |
|
|
|
r |
( ¥ |
) |
|
||
|
|
|
|
п К~Г) |
|
|||||
|
[ ѣіп*X GOS^Xdx- |
г г ( ф |
+ 1) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
17. Выразить через гамма-ф£якцяю интегралы; |
|
|||||||||
a.)J s i n a ' fx d x j |
5 )Jc o s a(x d x > f |
|
S) |
|
|
|||||
18. |
Доказать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2к-1)!1 л |
^ |
если |
т*2кі |
|||
|
|
|
|
(244 |
2 |
|
|
|
|
|
J &іптх dx =J*cosmx d x = * |
|
|
|
|
|
|
||||
o |
a |
|
|
(2к)/! |
|
|
|
если |
m =» 2k+1. |
|
|
|
|
|
(2K-H)// |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19. |
Выписать ряды для функций |
J0(x); J/x); |
(x); |
х =0. |
||||||
|
Cx) и ка^1,и |
значения этих функций в |
точке |
|||||||
|
В задачах |
2 0 - 2 4 |
найти |
общие решения уравнѳн'Дй; |
||||||
20. |
х |
2 |
И |
! / 2 |
і I |
|
п |
|
|
|
у |
+ х у |
+ (х |
- J ß )y = ° - |
|
|
|||||
21. |
|
|
|
É |
|
|
|
|
|
|
X Zу " ■+ х у '+ (х -0 ,0 і)у = 0 . |
|
|
||||||||
22. |
эс2у"-+ х у '+ ( х г~ 4 )у - О. |
69
23.х гу V х у '-*-(хг-9 )у = ‘0.
24.У"' +.Xх' У + У = 0 -
25.Найти частное решение уравнения
X Zу \ x y l-f(x£- f ) y = 0 )
удовлетворяющее условиям
у\ |
=1 > |
У |
= 0 . |
І З Г - / |
|
|
X=1,5 |
26. Найти частное решение уравнения
Xеу '+зсу'+ (х - У) у= о,
удовлетворяющее условиям
= о .
Х=2 х - з
27, |
Найти частное |
решение уравнения |
|
|
|||
|
Ч |
/ |
• / |
, |
п |
|
|
|
У + х - У |
+ У = °> |
|
|
|||
удовлетворяющее условиям |
|
|
|
|
|||
|
|
|
- 48; |
у |
= |
/. |
|
|
Х=0,8 |
|
х - 2 .0 |
|
|||
28. |
Найти частное |
решение уравнения |
|
|
|||
|
n |
i |
l |
|
_ |
|
|
|
У + Х - У |
+ У = # * |
|
|
|||
удовлетвоглющее условиям |
|
|
|
|
|||
|
|
|
- 2 |
* |
|
= |
0 . |
|
Х=! |
А |
у |
X =2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
29.Найти частное решение уравнения
2
х гу " + х у '+ ( х ~ У ] у ~ 0 ,