книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]

1UÜ

Поэтому вертикальная составляющая силы натяжения в топке с абсциссой х/ будет равна

По второму закону Ньютона эта сила и внешняя сила

ß>(X) g[x,t)dx

доліены уравновешиваться силами инерци”

d zU ß>(x) at* d x

в любой момент времени t . Получаем

^»1 2

Применив к этому интегралу теорему о среднем значении» по­ лучим

Это - дифференциальное уравнение малых поперечных колеба­ ний струны.

В случае постоянной плотности ( ß -const) уравнению (6) можно придать вид

ю г

(ь*)

где

Уравнение (6/ ) называется неоднородным уравнением ко­ лебаний струны или одномерным волновым уравнением. Это од­ но из простейших и в то же время важнейших дифференциальных уравнений математической Физики.

называется однородным, оно описывает свободные колебания струны.

2. Граничные и начальные условия

При математическом описании физического процесса надо прежде всего поставить задачу, т .е . сформулировать условия, достаточные дач однозначного определения процесса.

е

Дифференциальные уравнения о частными производными имеют, вообше говоря, бесчисленное множество решений. Поэ­ тому в том случае, когда физическая задача приводится к уравнению с частными производными, для однозначной характе­ ристики физического процесса необходимо к уравнению присое­ динить некоторые дополнительные условия.

Для уравнения с частными производными возможны различ­ ные формы дополнительных условий. Характер дополнительных условий покажем на примере.

Задача о поперечных колебаниях струны

I) Случай, когда струна закреплена на концах.

102

''»ме того, обычно задают начальные условия, т .е . форму и ярость струны в начальный момент t 0

2) Случай» когда концы струны подвижны.

Если концы струны двинутся по заданному закону, то граничные условия имеют вид

3) Предельные случаи.

Влияние граничных условий в точке, достаточно удален­ ной от границы, на которой она заданы, сказывается через достаточно большой промежуток времени.

Если нас интересует физическое явление в течение ма­ лого промежутка временя, когда влияние границ еще несущест­ венно, то ш есто полной задачи можно рассматривать предель­ ную задачу с начальными условиями для неограниченной облас­ ти. Например, найти решение уравнения

длй ~оо<х<о° , * >0>

с начальными условиями

U (о:, 0) = tf>(x)

при —0 0 <СС<0 0 .

d u f e ß i - y(x)

Эту задачу называют задачей Коши. Если же физическое явление изучается вблизи одной из границ и влияние гранич­ ного режима на второй границе не имеет существенного значе­ ния на протяжении интересующего нас промег гка времени, го мы приходим к постановке задачи на полуо; . аниченяой прямой.

газ

системе, с течением Бремени ослабевает. Задачи этого липа

шийся режим) формулируются следующим образом: найти решение уравнения для и і>-с*э при граничных условиях (7 ).

3.Вывод уравнения электрических колебаний э проводах а) Телеграфное уравнение

Пусть имеется электрическая линия, расположенная вдоль оси Ох. Будем считать, что вдоль линии равномерно распре­ делены, рассчитанные на единицу длины: омическое сопротив­

Напомним, что индуктивность L есть коэффициент про­ порциональности, связывающий индуктивное падение со скорос­ тью изменения тока, емкость С - коэффициент пропорциональ­ ности между током смещения и скоростью изменения напряже­ ния, утечка изоляции G - коэффициент пропорциональности между током утечки и напряжением.

»■гоя функциями положения точки и времени t .

Выделим участок линии (X, Х+Ах). Применяя закон Ома к участку провода длиной АЭС , можно написать, что падение

напряжения на этом участке равно супце оиичѳокого напряже­

Количество электричества, притекающего на участок провода

длинойЛлгза время At а //ѵ _ и /м х й)

равно сумме количества электричества, необходимого для за­ рядки элемента А х ,

107

а) Линия без искажения

Линией без искажения называется литая, г:рамегры кото­ рой связаны соотношением

Эх/ис*е

Если двухпроводная линия на конце имеет приемник энергии с сопротивлением R? и индуктивностью

- 108 -

4. Вывод уравнения малых поперечных колебаний мембраны

Мембраной называется натянутая плоская пленка, не соп­ ротивляющаяся изгибу. Пусть в положении равновесия мембрана расположена в плоскости 'ХОу и занимает некоторую область, ограниченную замкнутой кривой.

Будучи каким-то образом выведенной из состояния равно­ весия, мембрана начинает колебаться. Будем рассматривать лишь поперечные колебания мембраны, при которых каждая ее точка движется перпендикулярно плоскости хОу параллельно

будем считать, что функция и(х, у, éj и ее частные производные

Отсутствие сопротивления мембраны изгибу математически выражается в том, что вектор натяжения Т лежит в плоскости, касательной к поверхности мембраны в точке М и перпендику­

і

Из предположения о малости колебаний следует: