240
Подставляя найденные |
значения Ап |
и |
Вп в формулу (зеО, |
находим решение |
|
|
|
|
,2 |
|
|
|
|
«(* > ^—ЗР"Г — |
c o s - j — s tn ~ f~ = |
Пяі |
|
|
|
|
St* &■ < |
|
(Zk+Dxat |
. |
(2к*!)хк |
~ T P ^ |
co* --------? ------- Mn — e— • |
16. Решение. Уравнение колебаний струны (24) необход мо проинтегрировать при начальных и краевых условиях
' |
и (х , О)** А s |
i n |
у |
04x4?, |
|
|
|
u'f (я,{?)=*О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
u (o ,t)~ o , |
u(ef thQ. |
|
|
|
|
Будем решать вадачу методом Фурье. По |
формуле |
(36^ ) |
поду |
чаем |
|
/ |
|
|
|
п л х |
|
|
|
|
|
Ь*.~т l |
A sin~T~sin |
|
В „°0, П‘■*л- |
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ 2 |
|
1 |
|
л |
|
|
|
|
|
і/*•sin |
|
~~r~ d |
x - A , |
|
Ап =0, п=2,3„ |
Следовательно, |
искомое |
решение имеет вид |
|
|
|
|
|
. і I |
I |
|
» л X . |
зсcct |
• |
|
|
|
u(oc,t) = A sin - - c o s - j - |
|
|
Это же решение было-найдено методом Даламбера в |
задаче |
№ 5. |
|
17. В нашем случав |
|
|
|
0 |
|
|
0 4 x < x h |
|
|
|
|
|
|
|
п р |
и |
|
Ѵ о |
п р и |
X ( 4 x 4 x r g f |
|
0 |
п р и |
х г < X 4 £ . |
Поэтому
|
f |
, , |
. ПЗСХ , |
„ |
X |
|
f |
2 1* |
f |
^ “ л я а |
-J <p(x)sm-T -äx^ - ~ - J s |
|
оО |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
2â V~o / |
лжх2- |
пяос4 \ |
|
|
- ~ -*-s-f-(POS— 3~* -COS ~-ф~} ~ |
|
~ 4ТЯР& |
|
П Я(х,+хя) |
пж(хл-х*) |
S i " |
~Те- - - - - -Ä / ? |
|
* * |
18. Решение. Если на струну действуют внешние сялы, перпендикулярные оси Ох , го колебания струны описываются неоднородным уравнением
|
9 еа |
г |
Э га |
~9(х, *)> |
|
|
dt* |
а |
Эх* |
(72). |
|
|
|
F(x,t) |
|
ГДв |
9 ( х > {) |
|
|
Р |
' |
|
|
|
|
|
|
|
F M |
- сила, |
рассчитанная на единицу длины, J> - линей |
ная плотность струны. |
|
|
|
|
Решение уравнения |
(72) при начальных и краевых услови |
ях (30), |
(31) записывается в виде: |
■ |
|
|
|
TK( t ) S ( n ^ . |
I . |
|
|
к*( |
|
|
|
4 * |
функции |
T#(t) |
являются решениями обыкновенных дифферен |
циальных уравнений второго порядка |
|
|
|
а ч ф |
) , к гл*аг |
TK(t}~SJt)' |
(74) |
|
d t* |
— j r ~ |
|
|
|
|
|
|
»цш кабальных уоловаяж |
|
TK ( 0 ) = T J <P (X ) --- J — d x -, |
(75) |
d b |
2 |
f . |
, кгих |
(76) |
d t |
t*o e |
■J f(x ) sin —j~ d x } |
"o |
|
|
и функции 9K(t) |
определяется аз |
разложения g (x ,t) |
в ряд |
синусов |
|
|
KTLX |
|
|
|
|
|
- $ ( z > t ) = 2 2 |
e K ( t ) s i n e ' |
(77) |
|
Kai |
|
|
(78)
О
Заметам, что решение (73) существует только в случае сущест вования разложения (77)
Сначала рассмотрим случай, когда частота со вынужден ных колебаний не совпадает ни с одной из собственных частот колебаний струны (случай отсутствия резонанса). Предположим, что Ф(эс) разлагается в ряд Фурье по синусам
Ф(х)= У |
ак sin |
~ Г ~ |
|
|
|
|
|
К*і |
|
|
|
|
|
Сравнивая это |
с (77), |
найдем, что в |
нашем случае |
ÖK(i) - |
- CL* 61ПCot. |
|
|
|
|
|
н„ |
/<К*™Л а . |
у - ^ с і * |
s i n c o t . |
* |
|
|
|
|
|
Уравнение (74) будет нуеть вид; |
Тк + -- |
|
|
Подставляя в |
это |
уравнение |
его |
общее решение |
в виде |
|
|
I |
icfta-t -/I |
■ kscat |
V a ksin и)t |
|
Тк =С,К -~р-+Ск $т- |
е |
|
получим
Из начальных условий |
Тк(0), Т*(0)»0 |
|
находим |
значения |
постоянных Ск и Сі : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с і - О, |
|
к%а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Такам образом, |
|
|
|
|
|
кланKjiat |
|
|
|
|
ак£г |
|
г . |
. |
(і)£ |
sia |
1 |
|
|
|
%-шгег \-Sinu)t~кяа |
|
а 'J |
|
|
В результате |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а ( х |
t) - T _ ------__________ |
|
иі£~ |
. |
Kftat\ |
мях |
1 |
' ' |
а гк гл 1-и,Ч1 |
M * * -£ £ stn- — |
\ sin"è~' |
Теперь рассмотрим случай резонанса, когда |
|
кзіа |
при |
Тк (t) |
|
каком-нибудь |
значении |
к. |
В этом |
случае |
следует ’ |
искать |
в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тк (t) = Ск cosout+С* Sinait -i-8Kt cosuit. |
|
|
Вычисления, аналогичные |
приведещшм выше, |
давт: |
|
|
|
о |
а* |
Ск-О, |
|
'* |
2ы* |
|
|
|
°к~ |
2ы ’ |
|
|
|
|
|
Таким образом,
TK(t-)=jth [sin w t-cotcosioi]
р поэтому |
|
|
/г&х |
OÖ |
|
|
и (x,t)=j—i £r_aK(sin(0 t-uitcosuit)sin |
g |
- |
19* Огвет: |
|
|
|
|
u(x,tj- 9ft Г |
кЯ |
кха . |
кя |
x - |
-sin ~~r~ cos |
sin |
( |
Указание.
^ ЛГf если 04X4-J-’
Поэтому
20. Ответ:
Жпх |
ЗСпх giftat |
|
sm — — cos — з— |
- 21. Решение. Вела потенциал обозначит ■через 'ü’CXft) в результате введения новой функции U(х,t)-~еТ*if-{x.f t)
уравнение (5) обращается Б уравнение колебаіщй струны
Если положить, как |
обычно, и (х, t) =>X{xj-T(/t)r |
|
|
то для отыскания собственных функций X (х) придем к урав |
нению Х'+ХХ -О |
с |
краевыми условиями |
%<(0)^QSХ'(Ь"0. |
В нашем случае |
|
7і= О является |
собственным |
числом. |
Действительно, при |
этом общее решение |
Х=С4х^Сг |
удовлет |
воряет обоим краевым условиям при С^=0, |
|
|
|
Мы положим Х 0~{ |
функция |
T0(t) |
|
найдется |
из |
уравне |
ния ■£''=# , т .е . |
Tp =a04-Sot |
. Если |
7і# 0 , то |
|
X = |
~ Cj гos Ляг +Сг sin А X, Краенее условия приводят п уряянешз--
ям
\С 2ы0 , ~ А С, sin х і= 0 .
Собственные числа суть корни уравнения sinXi^O,
няс |
- |
|
-- |
€ |
Собственные функции запишем в заде |
|
( здесь К |
может равняться нулю), |
функций и (я, £) |
в .виде рада
ufx, t)~ ctgi-Sgt |
faces a \ Kt + s i n |
а xMtjcos |
клх |
|
|
Kef |
|
|
|
|
|
где член a[g-t-fi0t |
|
отвечает |
собственному |
числу Х.д”0 |
Проводя дальнейшие |
выкладки, |
подучаем |
|
к |
|
я |
*П _ 4 |
О- |
j |
ßn+OZat |
(2n+f)Xx] |
V'(x,t) =>АІ е |
Г |
|
12 ІГ>- |
|
|
css— j — -cos~~e— ], |
|
|
' ^ L ^ i |
|
|
|
Заметим, что если бы в этой |
задаче |
начальное ^распределени* |
потенциала было постоянным: |
Ü/ |
= Е |
, то получим |
|
|
|
/(*0 |
|
О |
|
v -(c c t t / = £ } |
u ( x , t ) = E е L . |
|
Физически ото означает, что в любой момент времени все точ ки линия имеют одинаковый потенциал, который уменьшается вследствие тока утечки.
23. |
Решение. Требуется решить уравнение (36) при началь |
ных условиях: |
|
- |
ult „Q= J(x,y)= o, |
|
4 / іт0= г & ,у ; - ъ . |
Решение задается формулой |
(43). Из ( 4 3 '') следует, что кт= |
= 0, |
а коэффициенты Вкп |
находим при т^е : |
|
/ |
I |
р |
. Г?ТСптсуУ ,. кяхsxjt . |
|
4У // // |
_ |
|
^ К п ~ к п |
■jrJ J |
|
Sln ~Т~л/? —г~я*Ф- |
|
|
о о |
|
|
246
8to шраквішв оказываемся отличный о і нуля при нечатных
8>іГіЧІ1'ИЯХ к и п : |
|
|
|
к^2 п ( +1 t к ~ 2 п г |
+ |
/ |
, |
______________ 164 У-p
^tr/~ ^2nt+ ^f>2+i — л*а(2п,+1)(2лг+1)\J(2nt+f!z+(2n2+$*' ’
|
n ^ O t 1,2t . |
. . i |
n^-O, 1,2}.... |
Решение уравнения запишется в виде: |
|
и (х и t s |
J se **Y |
У |
|
„ |
{■ |
J |
!—0 j^0 (2nfHK2n^$\,Щ+1} nt-rijr |
X j e'/ t |
(2Я{+і)хх |
5іП |
(2лг +1)ху |
. |
■-------- |
— — ------- |
24. |
Решение. |
Закон, по коюрому данная мембрана co |
se ршает колебание с указанной частотой, |
запишется в виде: |
а»С&<2 м *т ^ |
a t+8i2 |
ѴВat) sin — sin |
|
+(A2iCO&Y Vs a i s ßsj siny'v'Satjsin ^j^stn ~$r , |
Для точек, относящихся-н узловым линиям, |
имеет место |
равен |
1 ство U.=О. |
записатв, |
|
|
|
|
Поэтому мояно |
|
ж |
ж |
|
Sin жх sin 2яу |
|
a t |
А2/c o s j\1'сЛі ß2isinj-\r5 |
sin |
2жх |
. |
Ху |
A ^ c o sf^ a t + BfgSinfVs at |
~ r |
sin |
е |
247
Слева стоит функция, зависящая огд: и у, справа - функция, времени.if Равенство будет иметь место только в том случае, когда эти функции не зависят ни от координат, ид от време ни, г .е . являются постоянными величинами.
Имеем
.. |
я х |
. |
гжу |
s i n |
- J - |
S in |
~ |
~ . |
2лх |
! |
х у |
sin —J~ Sin ~j~
или
Узловые линии описываются уравнением:
Six VCУ
a c o s ” |
«**ß c o s - j - . |
Конкретная форма узловых линий зависит от значений постоян ной. Так apsiesi=ß*f имеем x=*y , г .е . узловая линия представляет собой притмую, являющуюся диагональю"мембраны.•
25. Решение. Задача сводится к интегрированию уравне
ния:
при следующих начальных и граничном условиях:
где Р - поверхностная плотность мембраны. Решение будем искать в виде (54), Коэффициенты Ак и подсчитываем поформулам (56/f) с учетом заданных начальных условий. Подуча ем:
гр |
2Р^(\ке) |
|
I гJ6(Л*x)dz'~wa[jiLK3<(juK)Y |
яоэтону
и *иі |
% |
Ѵ |
" |
)1г 'Jo(A^ s{n^ |
a t - |
26. |
|
Решение. Частота |
основного |
гона квадратной мембра |
ны определяется до формуле_____ |
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
Ь>кп ”*Ла |
|
_ |
|
пРи |
к аП ■ |
|
|
|
гд. |
|
|
|
|
|
|
|
(дасй.кб я у |
V2 в. |
|
|
|
|
|
|
Частота |
основного |
тона круглой |
мембраны равна |
Л, <з, |
|
|
u f |
|
|
. |
- |
|
первый |
(наименьший) корень |
где Л/ =* |
|
|
|
|
функция Бесселя J0(.x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Приравняем найденные выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
А(а = у v f а |
я |
|
|
|
|
найден |
C=*1t B 5g . |
|
|
|
|
|
|
|
|
27. |
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2п + і)хх . |
(Zn+fjfiy |
|
|
|
|
|
|
|
----- -ß— |
sin |
~ j |
— X |
ШР-;У>£)~ |
у ь |
~ Z. Z . |
" |
" |
, |
/із'/ъ |
”'Д 3 |
|
|
|
к-о |
Л’0 |
|
(2к-*-ѵ |
(2п + 1) |
|
|
|
|
|
|
~ Т |
a x t |
|
|
|
|
cos\[(2к+1}г+ ( 2 т - 1)2
|
|
|
Ответы к |
глава Э |
2. I Шараболояды вращения |
z => с (х г+у г); |
2) |
круговые |
кодусы с осью симметрии Oz х% y z=.czz ?\■ |
3) |
2 |
2 |
/ 2 |
однополосгяые гиперболоиды u p |
+У - v Z —С — |
С тО |
, двуполоспше |
nps С <0 , конус иря С^О ; |
4) |
сферы |
|
£-i-zz™R z~cz ; |
\
5)параллельные плоскости;
6)параболоиды вращения х 2+у ? 2
7) сфера |
х г+ у г-* гг= ~г ; |
8)гиперболические параболоиды xy=*4cz ;
9)семейство параболоидов вращения;
10)семейство гиперболических параболоидов.
3.I) Окружности с центром в начале координат;
2) гиперболы х у —С ;
3) эллипсы х 3+ 3 у г?= Q -С 2'
І
4)параболы у 2- 4 х ч -а х с &іп С •
5)параболы, оси симметрии которых параллельны ос* Оу;
прямая 2 х ~ у +і ~0.
