книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]

44. По какому направлению в точке В (-3; - I ; 2) скалирное ноле f**Xy+xz-i-yZ изменяется воего быстрее? Какова максимальная скорость этого изменения?

45. Найти наабодыпую крутизну подъема поверхности

Ж<=ân{js%-4у*) в точке С ('&; 4 ; £п foo).

46. Найти наибольшую крутизну подъема поверхности Z *

=Х У в точке (2; 2; 4 ).

47.С некой наибольшей скоростью мокѳг возрастать

W

функция У si~~JQ~TJS^y ига* переходе точки М(лг; у ; z ) через точку -a)*?

2)производную в точи- А по направлению я точке

В(1/2; -1 /2 );

'3) линагг уровня, проходящую через точку В (I; 0).

52. Даны два векторных поля Е^хі-у+гк, H*=5l-fy+S«. Найти наибольшую скорость изменения их скалярного проиаведѳния.

53, Температура неравномерно нагретого'железного листа (плоскостьхОу ) определяется по формуле

нения давления газа в этой точке. Дать геометрическую иллюст­ рацию решения.

§ 3 . 2 . ВЕК'ГОРНОЙ ПОЛБ

Пусть ff - некоторая облаоть пространства. № говорам, что в области Ff определено векторное поле, если каждой точ­ ке Мjjgjoft области Поставлен в соответствие определенный век­ тор А(М).

Если ßf - область трехчерного пространства, где guöрана некоторая декартова система координат, тогда поле А(М) задается разложением по ортам

F (М) =*ХСМ)і h y(M)J -г1(М) к

" Щ я > У, *Я + У (Ъ У > *)/*2 (х ,у ,*)к .

163 -

Таким образомзадание векторнаго поля р(М ) з трехмер­ ной оо'ляоти "У равносильно заданию трах скалярных функций точки в этой области.Векторные поля,как и скалярные,на праю

тика чаото обладают свойствами симметрии.

Z&

Венторное поле г (М) называется длоокопараплальн™. если существует такая декартова система координат ccyz , что функциях (M), P(iVI),Z(M) имеют вид

Х( М } - ~ Х ( х ; y)-f

У(М]~ У (х; у )} z C M - z f c y ) ,

т.е . зависят только от двух переменных £? я у ,

Если при этом Z(M)-7(X-, у)~0 го поло F{M) назнввг ѳтся плоским.

Векторное поле F(tf) называется осесишетричаскны. во­ ли существует такая цилиндрическая система координатß^<p,ZJ что функции имеют вид

Х(М) ~ X ( f j Z ) )

У ( М ) ~ У № ) і

Z ( M ) = Z ( p , l ) ,

т .е . зависят только от двух переменных р и Z ,

Боли Р(М) зависит только DT f , то поле' невывшее* цилиндрическим. Векторное поле F(M) называется оддоцард^ ѳслн существует такая декартова система координат, что функции X (М), У(М), 2Г(Л?) имеют вид

Х(М)=Х{х);

у ( м } ~ О;

Z(M)=0.

I . Векторные линии

цр»і

Векгоркой лквіей данного векторного поля F (М) называ­ ется такая линия, которая в каждой своей точке касается соответствующего вектора поля. В зависимости от природы

ш

конкретных полей ах называет иногда аадовша линиями или л и н и я м и тока. Дифференциальные уравнения

d x ч d y d z

( I )

x & W T “ W M - T & J M

определяют векторные линии. Оистему' уравнений (I) моано за­ писать в виде

= і(* іѴ } ц )

(это нормальная система дифференциальных уравнений с тремя

двяввесгншй) или в виде гй у ^ У

(I **)

(это нормальная система дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями у(х) и £(х) )..

В случае шовного поля вентерные линии удовлетворяют

Общий интеграл системы (Іа )

r * ‘ 4>,(t,c„c„ct i,

l * -

дает параметрические уравнения семейства векторных линии, а

общий интеграл системы (1**)

Г У * / (х >*ѵ >^z),

у

165

даег вѳягорные линии как линии пересечения цилиндрических поверхностей,

ные линии, получим поверхность, называемую векторной трубкой. Сечением £ вентерной трубка называется часть оѳнущѳй по­ верхности, лежащая внутри векторной трубки.

В цилиндрической системе ноординат"Д , Д Z ~д й ф р р й - циальные уравнения векторных линий имеют вид:

d p f d c p d z

~ РдіЪ^М ~ рч>і\ѲМ '

В криволинейных ортогональных коорщаяаг'х и, vf W

Решение. .йифрренциальные уравнения векторных ли^з® будут иметь вид

b

166 г

Интегрируя эту онсгему дифференциальный уравнений,

подучаем (

СП х + с п у*= £пС11

£ п у —g - â m ^ - g â n C g

ИЛЯ

у*=Саг .

Следовательно, векторные линии поля вектора F есть линии, получающиеся от перѳоѳчѳния гиперболических цилинд­ ров ccy=Cf о параболичеокими цилиндрами у * ~ C-Z.

Найти векторные линии плооцого поля

F - (jc-y) 1+(х + yJJ.

Решение. В случае плоского поля система дифференци­ альных уравнений сводится к одному дифференциальному урав-

Для нашей задачи имеем

Х(ХіУ)~х~Ѵ , У ( * ; у ) а х + у

t£ ± k іх х - у

Получила дифференциальное уравнение первого порядка, Ингеі'рируя его, найдем

Полученное уравнение векторной линии удобнее записать

Иполярных координатах

ß^ C e ^ .

С? .

Эго есть уравнение семейства логарифмических спиралей.

-167 -

57.Найгя векторные лини* олѳдующих плооких полей;

I) /? =*.-юуТ+ м ху, іде со —const;

Z)?*‘(cc*-y8)r + 2 c c y j‘,

3 ) Р жЭсТ-+ (у+ '/хі-і-уг)]~-)

*> F ~ x ( y - X ) l + y*J-}

5 ) F - X L + y e n % L j - ,

6) P =* (Sizay - y 3Jc +(3a:y*-x3)J $

7)F - C x - y jT - ty J -

58.НаЛгя векторные лягаи^поля градиентов ежуцздйг

k) f ^ C j + x y + 4 ’,

5)/=• act/}

168

59, Найти венторные линии следующих полей:

1) F~(z-y)c~+ (x-x)f+ (y~x)

2) r=* (х я- y s- s eJi ■+B xу / +B zxF -

l ) F ^ (x^y)L + (x + y )f+ zf<) b)F = X L - y J - Z * i

6) F =» ХІ ■+2Z*J■+2К;

?) F “ x T + y j -*-Z fë.

60.Определить векторные линии магнитного поля, обра­ зованного электрическим током J , текущим по бесконечно длинному прямолинейному проводу.

61.Найти векторные линии полей, заданных в цилиндри­ ческих и сферячесних координатах;

X) F =* cos ф ëj>- <р cos <р і

1) градиент данной фуннции (плоского скалярного по­

л я / ) ;

2) линии уровня поля у ;

\

3) векторные линии векторного поля градиентов фуян- в д н / . .