книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]
.pdf170
Поверхность называется ориентированной, если сторона поверхности уже выбрана.
Потоком векторного поля F через данную ориентирован ную поверхность 6 называется поверхностный интеграл (ска ляр)
n = f j F (M)-n°(M)d Sj S
где П°Ш) -орт нормали к выбранной стороне поверхности в произвольной точке.
Поверхностный интеграл
Р |
Р'П°о16 |
|
|
ег |
|
|
|
но замкнутей ориентированной поверхности 6 ,где Я 0 -орт |
|||
внешней нормали к |
поверхности |
S « |
называется потоком поля |
F через замкнутую поверхность |
s . |
|
|
Если поверхность.в взаимно однозначно проектируется, например, на плоскость згОу _в область &ху , то вычисле ние потока векторного поля F через б- сводится к вычисле-. нню двойного интеграла по области ойху по формуле
Р-Н1
^ d x d tj,
lcosfl г=ЯхМ
Yja&cosy- косинус угла между нормалью в каждой точке по верхности и осью Oz и он равен коэффициенту при л7 в фор муле (I) или (2).
Аналогично, если поверхность 6Г |
взаимно однозначно |
|||
проектируется на плоскость yOz или |
г О х , поток вычисля |
|||
ется соответственно |
по'формулам: |
|
||
( |
F- п° |
)dydz, |
|
|
^ jcosocl |
|
|||
^^(y,zj |
|
|||
n=J/( |
F ■п° |
) a t x d z . |
||
\cosjSl |
||||
Я>хг |
У - У ( Х , z j |
|
||
I7I
В болеѳ сложных случаях, ногда поверхность S' ооотоит
на нескольких частей б,- , б2 и т . д . , го
|
П=J J F ’П°сів- f/ F ;n |
J j F - n 0d6+ . . . |
|
|
s |
St |
$2 |
ния 5 |
Иногда вычисление потопа проводят методом проектирова |
||
на все три координатные |
плоскости (проекции поверх |
||
ности |
б |
обозначим соответственно <2>_1;у.)£>у.с,% л), в этом |
|
случае уравнение поверхности FfayfaO однозначно разрешимо
относительно каждого из аргументов. Если |
атими решениями яв |
|||
ляются функции х |
^ х (у ) z)ß |
у = у(~с, z)J Z = Z(х, у )f |
||
то поток векторного поля |
|
|
||
F = Х (х, у}z) і + У(х, yt z)J-h Z(x, у, г)R |
||||
вычисляется по формуле |
|
|
||
П=Я ^ / J X |
Zl У' Z j d y d z ± |
|
||
±fyfe, |
y fc 4 z] |
d z d x ± J J t [xf y, z(x, yj] dxdt/f |
||
&ZX |
|
Ä xy |
|
|
где знак |
берегся |
соответственно таким, |
каков ^нак cosot, |
|
Cosß и COS'jß ьа |
поверхности |
5 . |
|
|
Если вектор F и орт нормали разложены по координат |
||||
ным ортам, |
то |
|
|
|
П ~J f(X c o s и + y co sp + Z c o stf)d Г.
|
|
6 |
- |
J |
. |
|
Если вектор F определяет поле скоростей текушей жид |
||||
кости, |
то интеграл П выражает количество жидкости, |
протека-» |
|||
ющей через |
поверхность б" за единицу времени. При этом «оли |
||||
б - замкнутая поверхность, ограничивающая трехмерную об |
|||||
ласть |
У |
, и если интеграл берегся но внешней стороне |
|||
то величина П называется потоком вектора F изнутри по |
|||||
верхности |
6 |
; она дает |
разность между количествами |
жид |
|
кости, вытекшей иа области У и втекшей в эту область за единицу времени (предполагается, что жидкость может свобод но протекать через поверхность & ) .
При П>0 из области У вытекает, жидкости больше, чем в нее втекает, что указывает на наличие в этой области источников, питающих поток жидкости.
При П <0 |
аз ооласти У |
вытенаѳт |
жидкости меньше, |
||
чем вТѵ-кает, что означает наличие |
в этой |
области стоков, |
|||
где жидкость удаляется из потоков. |
|
|
|||
При П~0 |
из |
области |
У |
вытекает жидкости столь |
|
ко же, сколько в |
нее |
и втекает. |
|
|
|
ЗА Д А Ч И
63.Найти поток векторного поля
. F = 2 асІ+(!~ 2 y)J + 2z К
через внешнюю сторону |
замкнутой поверхности 6 , состоящей |
из части параболоида |
acz+ zZ=: J - 2 у (у^ О ) |
иплоскости осОг.
64.Вычислить поток векторного поля
F *= (йсч-г)І- 2xJ-+(2Z -X) K
через верхнюю сторону треугольника АВС, получаемого при пе ресечении плоскости 6 z + 2 y - 3 z = 6 c координатными плос костями.
65. Вычислить поток векторного поля
F = (x~2z)L -t~(3Z~^ x }j+(5х+у)к
через внешнюю сторону полной поверхности треугольной дира-ч мады с вершинами А (I; 0; 0 ), В (0; I ; 0), С (0; 0; I ) , * О (0; 0; П).
66. |
Найти поток |
радиуса-вектора t через часть плос |
кости x + y+ z = { |
, лежащую в перэом октанте. Орг п° |
|
составляет |
с осью Oz |
острыя угол. |
|
|
173 |
|
67» Найти поток векторного поля |
|
||
F |
«“ |
+ x j + X Z K |
|
через внешнюю огородучасти внешней стороны параболоида |
|||
вращѳная у - х |
-t-z г , лежалую в нервом октанте и ограничен |
||
ную плоскостью |
y a f |
( 0 4 у 4 /). |
|
68«, Найти поток векторного поля |
|
||
через поверхность ~г *■ |
ѵ- ~г » f |
изнутри этой HO“ |
|
вѳрхносгн. |
|
|
|
69. Вычислить поток векторного поля
F ” yZL - X j - у к .
через внешнюю сторону полной поверхности кругового иояуов Х*+уг~гг*=0у ограниченного олоокоотью Zmf(OiZü().
70. Вычислить поток векторного поля
г J r Зт S— h =» аг с -+УJ +Z к
череэ положительную сторону боковой поверхности конуса
СС%уг4~j~Z* 0&Z4и.
71. Найти поток |
вепторнохю поля |
|
|
|
||
|
F - 4 1 - QJ |
|
|
|
|
|
через внешнюю огорояу поверхности параболоида вращения |
|
|||||
y=>X%-ZZ ограниченную плоскостью у - |
4, |
лежащую во вто |
||||
ром октанте. |
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
72. Найти поток |
радиус-вектора |
|
|
|
||
|
T ^ x l + y f + Z K |
|
|
г t |
. |
|
1) |
через боковую поверхность |
гляиндра X +У ** " * |
||||
-f/ 4 г<:Ң в |
сторону ее внешней нормали; |
|
|
|
||
2) |
через боковую |
поверхность |
конуса |
х г+ у г£ 4х* |
|
|
з сторону ее внутренней нормали; |
|
|
|
|||
3) через полную поверхность куба |
- а 4 Х4 а , |
|
||||
-а-су^а r a £Z6 Ct |
изнутри ПѴОЙ |
поверхности. |
|
|||
m -
73. Пайни поток векторных полей T)p=xyL+yzj-+xz]< через расположенную в первом октанте часть сферы X -f-y •+
в сторону ее внешней нормали;
2)cj,=X3i-t-y3j + Z 3i< нуса х % у г4 Zz, 04Z4,H
чѳ^зз полную поверхность ко изнутри этой поверхности.
74. Найти поток |
векторного поля |
|
||
|
F =» ( f - 2 х ) Т + 2 y J + 2 z к |
&} состоящей |
||
через внешнюю сторону |
замкнутой |
поверхности |
||
йз частей - |
поверхности конуса |
X 2-*-y2=^Z2 |
О) |
|
и плоскости |
Z - 4. |
|
|
|
75. Найти поток векторного поля y z t - х Т - у к
'через внешнюю сторону замкнутой поверхности, состоящей из
часть |
конической поверхности х 2+ z ' - y 2 |
и плоскости |
|||||||
</* |
I |
{ 0 4 у 4 |
/). |
|
|
|
|
|
|
|
76. |
Вычислить |
поток вектора |
F^'i-t |
через ту часть |
||||
полусферы z=\ff~x2~y2 , которая вырезается цилиндром |
|||||||||
Х^+у2= |
х . |
Орт п е составляет острый угол с |
осью O |
z . |
|||||
|
77. |
Вычислить |
поток |
вектора |
Г~ |
2 —' |
через |
по |
|
|
г = |
Ъ t |
|||||||
верхность конуса {Z- (]г- |
X г+ у г |
, |
заключенного |
внут |
|||||
ри цилиндра |
Х г+у |
|
и расположенную над шюскостью2=^ |
||||||
|
Орт П° составляет с |
осью Oz |
тупой угол. |
|
|||||
78. Вычислить поток электрического поля точечного заряда у. , помещенного в начале координат, через поверх ность:
I) |
сферы X Z+y Z+z 2~ R Zі |
|
2} |
( х - 2 R )z+ y Z+ZZ~ R Z. |
|
79. |
Найти поток вектор в индукции |
ъ ” |
электрического поля, образованного одним зарядом электри
чества |
, |
помещенным в начале координат через поверх |
ность шара |
|
сс у z~f.z г~ 4 . |
|
|
I |
175
80, |
Найта |
поток |
вектора |
F —асі ■+z j ~ук |
через |
|
внешнюю сторону |
замкнутой поверхности (сг-/)*•=z z-+ у г |
|||||
'Z - D |
у =0, |
х = 0 . |
_ |
_ |
|
|
81, |
Найта поток |
вектора |
F=(x+y+z)tc |
через внеш |
||
нюю сторону замкнутой |
поверхности сс=0, |
и=0, |
z=>0. |
|||
(p +y j ^ h z . |
|
|
|
|
|
|
82, |
Найта поток |
вектора |
F=xy(I -*j) |
через внешнюю |
||
сторону замкнутой поверхности |
ое--=О,y=u,z=0^x%z7^Z-y. |
|||||
83, Вычислить поток вектора г через ту часть поверх ности конуса 2 Z^ 2 ~ ѵ х г-*-у2' , которая расположена между плоскостями Z = 0; z = I .
Орт п° составляет с осью Oz острый угол.
§ 3.4. ДИВЕ Р Г £ II Ц И Я
Дивергенцией векторного поляF в точке Мназывается! предел отношения потока векторного поля F через ориентиро ванную поверхность S (охватывающую точку ІА) к объему I' , ограниченному этой поверхностью, когда новерхнос.ь стягива ется к точке М °
& F n ed 6
cUv F(M}~ âim-
6 -+-М
Г'
Если векторное поле F ~ X і УJ •+Z к
имеет проекции с непрерывівдот частными производными первого порядка в некоторой области, то л казсдгЗ точк этой области существует дивергенция к ока равна
d i v F'(M) - |
дХ_ |
кду |
dZ /tf |
|
~дх |
||||
|
ТЕОРЕМА. ОСТГОГРАДСГ-ШТ), 9олп векторное поле
F~ Х і ■+Уу -*■ ZK
имеет проекціи с непрерывными производными, то поток вектор ного поля f (VI) через ориентированную замкнутую поверхность
|
|
176 |
|
|
|
|
|
|
S равен тройному интегралу от дивергенции вектора, |
взято |
|||||||
му по объему, ограниченному этой поверхностью |
|
|
||||||
J j F - F ° d 5 —J f J d iv F d v |
|
|
|
|
||||
6 |
— |
і/ |
точка М называвтси источ |
|||||
Если d i v F ( f i 0) > 0 |
. то |
|||||||
ником. а если dlyF(dQ)<0 то точка М0 называется стоком. |
||||||||
Абсолютная величина d i v F (М 0 ) |
характеризует |
мощ |
||||||
ность готочника или стока. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные формулы для вычислещ |
|
|
...иди |
|||||
1) |
d iv С —О |
|
( с - |
постоянный |
вектор)-, |
|||
2) |
d iv (C F ) - C d iy F |
( С- |
постоянный |
скаляр) \ |
||||
3) |
div(Ff+ F2)=d i v Ff + de у Fz ; |
|
|
|||||
4) d i v (u F j - и d iv F + F g i a d и ; |
|
|
||||||
5) |
d iv z = div(xF t L/ J + Z K ) -3, |
div(xi-t- y j ) = 2 ; |
||||||
6) |
d i v ( с * г ) ~ 0 |
|
( с - |
|
постоянный |
|||
|
|
|
|
|
|
вектор). |
||
|
З А Д А Ч И |
|
|
|
|
|
|
|
84. |
|
|
—» |
2 г* |
2,« |
S*'"■ |
||
Найтй дивергенцию поля F—х L |
+у J+XZ к |
|||||||
в точке А (I; 0; - I ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. В нашем случае |
|
|
|
|
|
|
||
|
X ~ х г> |
У= у г, |
|
Z - |
|
XZ5. |
|
|
Пойтому
17?
Согласно оаредѳле зад погодам, что
IВЗГ /А \ 9 t f /А VdZ/A
85. На^тя дивергенцию доля
F « JsSi / z Г ■+ а - y * z J + x y z SK.
86.Найти дивѳргеншю ноля F^zc'yzi+jcy^J'+xyz**
вточке А (I; І{ 2 ).
87.Найти дивергенцию поля
( З х +у ) Г+(2(/ - г )/ + (3z - 4ас)к.
88. Найти дивергенцию векторных полей:
1)2=* ссі + y j + z R г-
T + J + K
2) ß m Tj
V(x-+i/i>z)F ß
Ъ) ^ ^ е х у ( y j -з с Г + х у к ).
89.Найти дивергенцию векторного поля:
o c yl -l-y zJ + X Z K ,
90. Найти дивергенцию векторных Пилей:
1) |
ßssary^i +x*yj +Z5K |
в точке А ( I; ~І} 3) |
2) |
градиепта функций у |
ссу 2z 3. ' |
91.Вычислить дивергенцию от градиента функция
/j.= осг+у г+ z 3,
92.Найги дивергенцию градиента ояалярг тс полей, ‘за да..ншс функциями:
1)у = S x 3y - 6 c c y * - b z 7',
2 ) y = x * y rZ3;
3)У =* ос*- 4 ас3у г+3 y zz 3-6.
93.Определить дивергенцию вектора индукции £ ^ * £ ^ 2** электрического поля, образованного электрическим зарядом у, помещенным в начата координат.
178 |
\ |
94. Определить дивергенцию поля линейных скоростей V вращающейся падкости с постоянной угловой скоростью со .
95.Определить дивергенцию напряженности магнитного поля /7 , образованного электрическим током силой Cf , те кущем по бесконечно длинному прямолинейному проводу.
96.Найти дивергенцию поля P=uFf где
CL=a x y * z 3, |
F ~ 2 i + 3 J - K . |
Найти cLLv(gxadu).
98, Вычислить двумя способами, гепосрэдсть_ ло и по теореме Оотроградского, поток венторного поля F через замк нутую поверхность 6 :
I ) F ^ z C - y J - t 2 z F } 2у і - г - о , х > 0J Oi zstâj.
|
l) F=*(vc+z)l -*-(x+y\J |
||||
|
6 :{зсг+ у 2= # г, |
X-by + z ^ R , |
|||
|
1 ) F=y 2J |
|
|
$ ■{ x ^ 1-y-z, xzO , y>0} z >Oj; |
|
|
*0 F |
= |
2 |
б:^£г+у+г- 9} |
|
|
y z O , |
z ^ O ) . |
|
|
|
|
99. Вычислить поток |
вектора F=*4 Z+2T+3J'- к |
|||
через |
поверхность |
сферы |
(cc-t-3)z~h(y-i-7)2-+zz= â . |
||
|
Ч 3 .5 . |
ЩіРКУЛЯіЩН |
’‘’ЕКТОРНОГО ПОЛЯ |
||
_ |
Динейнш интегралом или циркуляцией векторного ш ля |
||||
F(U ) вдоль линии |
|
|
|||
179
OC = Cc(t))
Г: У s y(*)>
, z = z(t)
называется криволинейный интеграл
|
|
Ц = J F (M } .T ° ( M ) d s ~ f F d г , |
|
|
|
||||
|
|
г |
|
|
|
Г |
|
|
|
где |
v 5 |
- дифференциал дуіи |
Г / |
d z ~T°d& |
дифференциал |
||||
рядяуea-ве кгоpa Ч вдоль Г. |
|
|
|
|
|
||||
|
Ооновные свойства линейного интеграла. |
|
|
||||||
|
I . |
Свойство |
линейности: |
|
|
|
|
|
|
|
J (ci^ +C2^Z^dlss CiJr^dl +c2jf?td*' |
|
|||||||
|
Г |
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
2 . Свойство |
аддитивности |
|
|
|
|
|||
|
|
J F d z |
ягJ F d z |
■+J F d z . |
|
|
|||
|
|
rt +rs |
|
П |
|
rs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3. |
При изменении |
направленія лапжм Г лшейянй |
ият^*“ |
|||||
рвл меняет свой знак |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f F d z = ■ / F d z . |
|
|
|
||||
|
|
FB |
Г |
Іа |
параметрически |
|
|
||
|
ЕЬли линия |
задана |
|
|
|||||
Ѵ |
Я - x C t), |
|
(/= |
|
2 = z(t), |
|
|||
причем в начальной и нонечной |
точках пути |
параметр t |
оеот- |
||||||
вегственно принимает значения |
|
t=oL |
a |
t =ув |
, г* |
||||
J г d г |
вычисляется по формуле |
|
|
|
|
||||
|
Jp d Z » |
J*\ x [xftJ,yfö, *&)]*'№+ |
|
||||||
гЫ
+y [ x ( t) t y(t), z ( t) \y '(t)+ Z [xtfj,tftj,z{tj]zt'ejjdt
(I)