книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]

Задача 5. Концы конечной струны закреплены в точках X-Ö и Х<*8. Начальное отклонение имеет вид

Начальные скорости равны нулю, Найти смещение U.(x} t),

Задача 6. Начальное отклонение неограниченной струны изоб­ ражено на рио.ІЗ.

Рис, В

Начертить профиль струны в различные моменты времени.

Например,

к >

Задача 7 . Бесконечной струне в начальный момент времени придается форма

начальный момент времени ее точкам сообщается начальная скорость, равная

ные окорооти равны нулю. Начертить профиль струны в момент времени ~t к ; к - Or if 2, . . .

находится в равновесии. Затем ее точкам сообщается началь-

Начертить профиль струны в момент времени

Задача 12. Та же задача для струны со свободным концом. Задача 13. Начальное отклонение конечной струны с закреплен­

142

Струна отпускается без начальной скорости. Найти закон ее колебаний.

Задача 20. Найти колебания отграниченной струны с жестко закрепленными концами, если начальное отклонение имеет вид, изображенный на рис.2 .14 . Начальные скорости равны нулю.

Однопроводяая линия длины £ свободная от искажения заряжена до потенциала £ (по отношению к

земле). Один конец (х =ё) изолирован, а другой (х=0) в начальный момент заземляется. Найти распределение потенциа­ ла вдоль линии.

Задача 23. Воем точкам квадратной мембраны сообщаются оди­ наковые начальные скорости Ѵ~0. Длина стороны мембраны рав­ на £ j . В начальный момент времени функция f (х, у )} описы­ вающая отклонение мембраны от положения равновесия, равна нулю. Найти смещение и (х } у , І).

За£ала_24. Найти узловые линии квадратной мембраны со сторо­

Задача 25. Круглая мембрана радиуса у , закрепленная на краю, совершает осесимметричные колебания, вызванные удар­ ным импульсом Р , приложенным в начальный момент времени t ~0 и распределенным равномерно по площади круга радиу­ са £ .

Задача 26. Определить длину стороны квадратной мембраны, имеющей тот же основной тон, что и круглая мембрана радиу­ са у..

Задача 27. Однородная квадратная мембрана, имеющая в началь­ ный момент времена t -О форму А xy(ß-x)( 8-у)У начала колебаться без начальной скорости. Величина А ^Canst. ійем - брана закреплена по контуру. Исследогать ее свободное коле­ бание.

144 ~

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

§ 3 . 1 . СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ

Пусть У - некоторая область к пространстве. Гово­ рят, ято в области У определено скалярное поле, если каж­ дой точке М = М у ? z ) из У поставлена в соответ­ ствие некоторая скалярная величина

Ф (М )*= < р (з:) y ? z ) ,

Математически задать скалярное поле это значит в неко­ торой облаоти пространства определить скалярную функцию точки ip(Mj ,т .е . функцию трех переменных Lp(^xty ,z) »если

У - облаогь трехмерного пространства.

Поле атмосферного давления ~ это скалярное поле, функ­ ция которого равна величине атмосферного давления з точке на земной поверхности с географическими координатами ('Х}у)ч

Поле потенциала. Пусть в пространстве находятся нес­ колько электрических зарядов. Тогда в каждой точке Мпрост­ ранства можно определить потенциал Ц (М) - скалярную вели­ чину, равную работе по перемещению единичного заряда + е а з бесконечности в точку М.

На практике иногда рассматриваются поля, обладающие определенной симметрией, что облегчает изучение свойства таках иолей. 'Отметим среди них длоскопараллельное, осесиммегрическое и сферическое поле.

145

Скалярное поле <р(М) называемся плоокопараллелымм. если в некоторой декартовой системе координат оно ѳгдается функцией, не зависящей от одной из координат, например z_, т .ѳ . ip(M) = tp(x, У, 2J-

Такое поле принимает одинаковые значения на кавдой прямой,

Скалярное поле у>(М] называется ооесимметоическим. ео.ли его значение в каждой точке М завиоиТ только от ѳе?раостояния до некоторой оси, наяример^ои Ог.

В этом случав

V>(M)*f('/z17‘, *)•>/( Р,г),

чало декартовой системы координат поместить в точку 0, то

<р(м) =« у>( ОМ}** ср^'/й:%у%ге}*‘ у(г.))

%** у ас -t-у +z .

Свойства скалярного поля изучают с помощью следующих основных характеристик: поверхностей уровня} производной по направлению; градиента,

Это уравнение можно рассматривать, как уравнение не­ которой поверхности в пространстве. Давая в уравнении (I)

С различные значения, получим множество (семейство) поверх­ ностей, на каждой из которых физическое явление протекает одинаково. Эти поверхности называются поверхностями скалярного доля.

Для поля потенциала такие поверхности называются экви­ потенциальными, т .ѳ . поверхностями с равным потенциалом

(от Лат. Qequits- равный).

Если поле плоскопараллельное, то поверхности уровня определяются уравнениями <р(сс, у)**^

и являются цилиндрическими поверхностями с образующими, параллельны;® оси Ог . Если плоснояараллелъное поле рас­ сматривать только на плоскости хОу , то эти уравнения определяют совокупность линий уровня на плоскости хОу.

Для ооесимметрического поля поверхности уровня опреде­ ляются уравнениями

Ч> ( ^ V 2, z ] = C.

Вели поле сферическое, то поверхностями уровня этого поля служат сферы с центром в'О, В декартовых координатах

хг-ь y Z4-z2=*C2.

ЗА Д А Ч И

Г

{

I . Указать область определения, описать поверхности уровня скалярного поля

Д .. ,

J \1х1+у*

Выделать поверхность уровня, проходящую через точку

разом, область определения есть пространство с выброшенной прямой (ооью Oz ).

Поверхности уровня определяются уравнениями ( I ) , т .е . •9* *

2 ъ с /с с Ѵ /у 3.

Полученное уравнение определяет семейство круговых конусов с общей вершиной в начале координат (р и с .І).

Отметим, что начало координат принадлежит всем поверх­

Отсюда видно, что при увеличении |С( уменьшается R

совокупность конусов вместе оо значением С на них раскрыва­

Z « J \Jx*+y*.

2, Установить область определения и найти поверхности уров­ ня скалярных полей:

I)сс*+у* ’

'О f ^ \J в * - а :2- у г- г г f

5) / - 32*y--Z ,

6)

,1