книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]

я ѳгой формулой мы учитываем все частные решения вида (45) уравнения (40). Предположат, что ряд (46) сходится и его можно почленно дифференцировать. Теперь найдем произволь­ ный постоянные Ат и В#п тан, чтобы функция и(х,у,і:) удовлетворяла начальный условиям.

Полученные выражения (46^) и (46^ ) можно рассматривать кая разложения функций <р(х)и уг(х) в двойные ряда Фурье, коэффи­ циенты которых вычисляются по формулам:

Подставив эти выражения в формулу (46) , долутам^решвяие s%- дачн (40) - (42).

. Стоячие волны прямоугольной мембраны

мембраны одновременно проходят положение равновесия и од­ новременно достигают максимального отклонения. Такие коле­ бания мембраны называются стоячими волнами.

Контур мембраны при колебаниях остается неподвижным. Лиши, точки которых не колеблются, навиваются узловыми ли­ ниями. Их уравнения

соседних прямоугольниках отклонения направлены в разные стороны. Центр каждого такого прямоугольника является пуч­

Например, рассмотрим колебание, соответствующее к*=-1 а п={:

одновременно находятся то Uu одну сторону плоскости xQy} то по другую (в зависимости от знака &іп(шиІ Узловыми линиями в рассматриваемом случае будут прямые

£aO,2a£s ул/Пі (т .е . контур мембраны). Пучностью является точка (^r >jß) - центр мембраны, который имеет

133

Узловыми линиями в этом случае будут контур мембраны и отре­ зок прямой ЗС=4г‘

При Q<X<-g функция sin —g~ положительна, а при ^r<x<â- огрицательна. Функция sin yj%?Q при О <уст .

Поэтому левая и правая половины мембраны будут прогибаться в разные стороны. Пучностями являются две точки (■£-,£) а

( * ' f ) (рИС‘ П ) ’

Р и с . Л

UJ. Колебания круглей мембраны

і

Пусть мембрана в состоянии покоя занимав, круг радиу­ са R с центром в начале координат. Как было показано ранее уравнение свободных малых поперечных колебании относитель­ но декартовых координат имеет вид

Таким обрывом функция

К

J tfN 7 „ (A Kz)dx,

г_ / г Р(г]У0ІАк х}сіг.

аRjJ-K Уд Ч/^к) о R

Стоячие волны круглой мембраны

Колебания, описываемые функцией

и-цСг,1:]-САк с о 5 А к а і + В к 6(П /\д- QL

представляют стоячие волны круглой мембраны. Узловые линии для рассматриваемой мембраны являются концентрическими ок­ ружностями, радиусы Ъ которых определяются из уравнения

z u r f - y . f F r - ) - * -

Таким образом,узловые окружности имеют уравнения

Между узловыми окружностями располагаются окружности пучнос­

139

гаег минимума или максимума. Колеблющаяся круглая мембрана всегда имеет пучность при Z. - О.

§ 2 . 5 . З А Д А Ч И

I . Метод Д алаи бера

Задача I . Пусть бесконечная струпа в начальный момент име­ ет вид, изображенный на рис.12.

U

Задача 2. Бесконечная струна, находящаяся в равновесии на. участке [-6, 6) в начальный момент от удара молоточка шири­ ны 26 получает скорость ~$-0 . Изучить колебания струны.

Задача 3. Рассмотреть колебания долуограниченной струны," закрепленной при Х=0 . Начальное отклонение всех точек струны равно нулю, начальная скорость равна

О, если 0<сх<х{ } ^>cTj,

Задача 4 . Бесконечная струна, имеющая в точке х=0 сосре-. доточенную массу М, находится в положении гіавнов''Сйя. В на­ чальный момент временичударом молоточка массе М сообщается скорость 1Т0 . Натяжение струны равно Т. Изучать колебание точек струны.