книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]
.pdf
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
Тогда подстановка верхнего предела ос=1 |
в |
правув |
||||||
часть соотношения (15.6) обращает ее в нуль. |
|
|
|
|||||
Отсюда получай |
|
|
|
|
|
|
||
(^ -ы .*)[хЗМ тх)Ур(ыпх)о(х=0-, |
P>~U |
|
(І5*7) |
|||||
|
o ' |
|
|
|
( |
Iе0 |
|
|
г .ѳ , последовательность функций Beooejurl^,(dmx)J |
j /? > -/, |
|||||||
ортогональна о вѳоом х |
на отразив |
(0;ІГ. |
т=і |
|
||||
§ 1.16. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДУ ПО ФУНКЦИЯМ БЕССЕЛЯ |
||||||||
Познакомимся о двум типам |
разложений фу д вд и /^г/ |
|||||||
в ряды по функциям Беооолд. |
|
|
|
|
|
|||
I |
тан разложения |
(разложение по Нейману) имеет вид: |
||||||
|
fix ) * |
ай Уе(х)+а,У,{х) + . . . + а„Уп(з$ + . . . . |
||||||
П |
тин разложения |
(ряд |
Фурье-Бесселя) |
имеет |
вид: |
|||
|
f(x ) |
(* fx)+at У?(ы ,х)+ .. .+ая%{л„х)+..., |
||||||
где о£,_, «*г |
|
нули функции Ур ix )’ |
p> --g . |
|||||
В приложениях чаще |
всего |
рассматривают |
случай |
р =0. |
||||
§ 1 .17.РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО НЕЙМАНУ. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ
SÖ? |
' |
Разложим функцию е ш |
в ряд Мавлорѳна по степеням t. |
Получим |
|
е = Г |
g - L - |
taO |
|
Кроме того, рассмотрим разложение
|
|
кх-к |
|
|
( - Г х Ч |
t* 0 . |
|||
'АГяО, |
2 * |
к! |
||
|
||||
Заметим, что полученные степенные ряды сходятся аб |
||||
солютно для любого X |
и |
£&0 . Следовательно, для ЬфО |
||
произведение этих функций |
равно |
|
||
|
51 |
|
|
|
||
f e a r V |
f - |
v f x ' t ' * |
||||
|
2хг! |
L , |
Ü* к ! |
'~ |
||
S |
f * |
(-Ц"х%+Ч г-К |
|
|||
|
Z _ |
2 k+*г f к ' |
' |
|||
|
н*о |
* |
ъ' |
л ' |
|
|
Сделаем замену £ - * * / ? ; |
t**n+f< |
и сбберем коэффи |
||||
циенты при t n . Заметим, |
тан как I |
и К |
любые целые, то |
|||
tls i - к мвняетоя ог-оо до оо . |
|
|
|
|
||
Подучим |
|
|
|
|
|
|
+а» |
оо |
(Ч )* |
х * н+п |
|
||
- Z |
( L |
|
||||
к ! (п+к);2**+пУ ' |
||||||
|
|
|||||
=Т . Уп(х)*П-
П—-rte>
г>
Итак,
эп Ш «' |
(І7. ь . |
Л er-O«
«>
Определение. Фуйкция \f(x,i) называется производящей для системы функций
|
•••>?-, (х ), fa (*), f . (х), fz (x ), |
|
|
|
+ао |
|
в |
если |
/ ( * ,* ) = £ |
<Рп‘х)* ‘' |
■/, іХ)} J^xj, |
Ясно, что для системы |
бесселевых функций |
||
J2(x)) t.. |
производящей являете^ функция е |
. |
|
Используя производящую функцию (формула |
(17 .I ), мож |
||
но получить' большое число интересных для приложений разло
|
|
|
|
52 |
|
|
|
жений функций в ряды по |
бесоелевым фуннциям. |
|
|
||||
Разложение е |
іу» |
|
|
м^ |
2, |
г .е . |
|
Положим в |
(І7 .І)£ ~ £ = |
||||||
t* -2 t-(= 0 ; |
|
t,j2 = f± \j2 . |
л» |
|
|||
|
|
__ |
|
^ |
и получим ддя |
ряд Ней- |
|
Подставимt f=f+v2 |
в (I7 .I) |
е |
|||||
мана: |
|
|
|
|
|
|
|
« * |
- £ |
3n( x ) ( l^ \ß f = |
|
|
|||
|
rJa—OO |
|
|
|
|
|
|
- |
• • • + (Г+ W |
2 |
+ ~ТГѴ2 |
|
+ (17 *2) |
||
+ %(х ) + (< + \/2)Уі (х )+ 0 ^ \ І2 ) г; г, -j +-• ■
Разложение cosa: Ц S in x . Положим в Ш .ІІ^ е '^ и , применяя формулы Эйлера, получим
i x s if x p £=• |
, . |
</?<£ |
, .у „ , -Z e tp , . -іср |
-■2І С / п іх ) е |
= ... +X s{x)e +7f (x)e + |
||
Л?а»-оО |
|
|
|
Ziep |
_ |
|
-pjöfr) + Jf (x )e \ * + 'Уг ( x ) e iq>+ . . . = |
-2eep\ |
|
=^(x)^lJl(x)(ecep~ e l J+Xz^x)i.e |
Ziep |
|
7-+e |
+...= |
|
=%(x)+2<yf(x)sirup+27г (x)cos2if>+2(73{x)sin3tp+-...
В полученном разложении отделим вещественную и мнимую части:
COs(xsinep)=X0lx)+2Jz (х)cos2ер+2У^(x)cos4>ер+... =
СО
= 70(х)+ 2]Г XZn(x)cos2ncp • |
(17.3) |
. п=1
Sinfasinep)^ 2 У((х) sirup+2Js 'x) sin3ep+...=
= ? £ |
^2n4(x)sin(2n-f)cp. |
( і? л ) |
л —Л |
fc,/ f |
|
Эти две формулы являются с одной стороны рядами Ней мана, а с. другой-разлоненнем в ряд <Рурье соответственно функций cos(xsin<pj и sin(xsincp), причем коэффициентами разложения служат бесселевы функции I рода, соответствен-
|
|
|
|
53 |
|
|
|
во |
четного |
и нечетного индексов. Заменам в |
этих формулах |
||||
^ |
н а ^ - ^ Р ! |
|
со |
|
|
|
|
|
cos(x cos |
|
|
|
|
||
|
(х)+2£_ 2гп(х)со5(пя-2гир)** |
|
|||||
|
|
|
fiaf |
|
|
|
|
|
|
|
|
PO |
|
|
|
|
|
|
*$0 & +2L (~f) ”J2n(x)cOs2rj(pi |
(17.5) |
|||
|
|
|
Па/ |
|
|
|
|
|
:in(xCOSq>) = 2 ^ J2n.{ (x)sin\~Y~ft-(2n-l)^ « |
|
|||||
|
|
|
OO |
- _ f |
|
|
|
|
|
|
|
fg w tä c o s fe n -fa . |
(17.6) |
||
|
Пусть |
if = 0. Тогда из |
(17.5) |
и (17,6) |
будем иметь |
||
следующие ряды Неймана: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
ро |
|
(17.7) |
||
|
c o sX = |
üe(x)+2Y _(-t) |
Jznfâ's |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
Пя/ |
|
|
|
|
|
s in x - |
a~f |
|
(17.8) |
|||
|
г л (ЧУ |
УгпЧШ . |
|
|
|||
|
|
|
/Та^ |
|
|
|
|
ХГЦіІ |
Пусть ^ ' s 0, |
подогавив |
это значение в |
(17.3), году- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уе(х) + 2 Х . |
^ г п ^ ’ |
(І7* ^ |
|||
л»/ Приведенные формулы находят важные применения в пші-
, ложеняях.
§ І.І8. JfHTffl’PM БЕССЕЛЯ
Рассмотрим разложение (17.3) и вамѳтим, что для любо го X ряд, стоящий в правой "асги разложения, сходится равномерно (правильно), так как его мажорантой яаляетоя разложение (17.7). Умножим (17.3) на cosnip в проинтегри руем почленно полученное выражение от 0 до St , тогда ' получим
54 |
|
|
|
|
Я |
яЫ х), SO'® n |
~ четное, |
||
fCOS n<P COS(XSinip)dif>-l0 |
, |
воли fl - |
нечетное. |
|
Аналогично на (17.4) подучим |
|
|
|
|
Я |
\ О |
, |
если П - |
четное, |
J&intupsin(xsirup)di{>= |
I |
|
|
|
о |
\я%і{х) I если а - |
нечетное, |
||
Отсвда, елогав, получим |
|
|
|
|
% |
|
|
|
(18.I) |
f CQs(ncf>~Xsinip)dlf>^3lJn ( x ) , |
||||
о
где п -любое целое положительное шш нуль. Это интеграль
ное представление впервые получил Бессель. ,
йспольвуя интегральное представленаѳ ( І 8 .І ) , можно получить следующее свойство бесселевых функций I рода.
Теорема. |
/ для любого действительного ос |
а для п целого |
положительного или нуль. |
Доказательство. Применим к интегралу Бесселя теорему о среднем. Тогда получим
\Jn(x)\(.-~j Icos(nw-хмп ifIdip=—jcos(n(p0-xsiruf>0)j6/.
Причем знак равенства возможен лишь в случае п. = 0 , Ж=а0. в остальных случаях
где X - любое вещественное, а п - целое |
положительное. |
§ I .1 9 .РАЗЛОЖЕНИЕ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ |
|
Для многих вопросов радиотехники а теоретической фи- |
|
8ИКН нужно уметь представить функцию’ f(x ) |
в виде |
f{x)=a/Jp{o(,z)-+a3Jp(u2xJ+ ..л а п7р (ыпх)^. т.у ц э . і )
55
где р>-1 , а oCffoLg)..)cCny , положительные нули функции Зр(х), расположенные в порядке возрастания.
Для определения коэффициентов разложения |
|
воопольэуемся оргогональноогью на (0 ;І) с весомее сиотамы |
|
бѳосалевых функций |
, |
Ур(оі{ xj^ |
Ур(оІ-23C)j , , Ур ( ОСffx)s |
|
гд е а {)ы.гу .г нули функции 'Jpfa) а именно,, что |
для р>~/ |
|
|
|
• приm*nt |
fx J p (°^т•t-JJofan 2:) х=- |
|
|
|
jx3p(x)dx=j3pff(x) при m*ny |
|
|
|
(19.2) |
и проведем следующие формальные рассуждения. |
|
|
Предположим, |
что такое разложение функция f(x) в ви |
|
де (19 .1) возможно, |
умножим в.пхУр(ас„х) левую |
и правую |
части разложения и предположим, |
что допустимо почленное ии- |
'тѳгрврование. Тогда получим |
|
/ |
‘ |
J xf(x)Jp(ы„xjdx ~ a J тУрЫ,х)Ур(к„x)dx +
о |
J0 |
/ - |
У |
+а2/хУр(<хгх)Ур (<*„ x)dx+...+а„ухУо*finxJdr+..„
о о
В правой части в силу ортогональности система бесоелевш: функций все интегралы, кроме одного, об^лтятоя в нуль И получим
^ x7f iä„l}f!x!dx ^ 2
а"~
(п
56
Эти формулы существуют, если интегрируемы цодинтвграаьныѳ выражения. Вола р положительное или нуль, &/(Х) абсолютно интегрируемая на (0 $ І), то все интегралы в (19.3) существуют, тан как пре этом бесселевы функции в атом ин тервале непрерывны. При р< О бѳосѳлѳвы функций Jp(dxx} в точке Х=0 терпят бесконечный разрыв, пдачем
|
Зр (о£л х) 0 (х Р) |
яри Х-+-0-, р < 0 . |
|
Следовательно, интегралы во всяком случае существуют |
|||
дляP ? -J |
и ѳслн/і'Д'і абсолютно интегрируема на |
(0; I ) . |
|
Определенна. Еслиf(x ) |
абсолютно интегрируема на |
||
(0 ;І), то |
ее рядом Фурье-Бесселя называется ряд |
|
|
а,0^(л^фа23р(и9х) + . . .+ аа7р (л,,ас)+... t |
(іэ .4 ) |
||
где коэффициенты разложения а.п а.2^..,ьап}...определены аз формул (19.3).
Остается выяснить, когда ряд Фурье-Бесселя функции j(x ) сгодится, причем именно к функции f(x ) .
Теорема (о сходимости ряда Фурье-Бесселя).
V
Бела функция f(x) задана на отрезке [0 ; 1} и удовлетворя ет там условиям Дирихле (функция ограничена, кусочно непре
рывна а нусочно монотонна на нем), |
го ее |
ряд |
Фурье -Бесселя |
||
(1 9 .4 ),рр~~§~, сходится для |
нсех Х} |
|
прячем его |
||
сумма равна/(х ) в каждой |
точке непрерывностн функции |
||||
в равна |
в |
каждой |
точке |
разрыва, г .е . |
|
ЯхЩ +Ях-0) |
0О |
|
|
0<Х</ . |
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
||
п - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для Г « / всегда, |
а для X-=Q |
при р >0 |
ряд (19,4) |
||
сходится к нулю (поскольку при этих значениях все коэффи циенты системы обращаются в нуль). ,3
Эта теорема доказана Гобсоном, она аналогична теоре ма Дирихле о сходимости тригонометрических рядов Фурье.
57
§ I . ТО „НЕКОТОРЫЕ ПШЛЕРН ПН1МЕШШШ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ. ФАЗОВАЯ И ЧАСТОТНАЯ ЮДПЯ1Щй
Модуляция колебаний - это изменение кшщх-czado пара метров периодичѳоких колебаний, медленное по сравнения о . самими колебаниями. Модуляция колебаний имеет место в раз нообразных механических, акустических, электрических а дру гих явлениях. При игре на скрипке "вибрато" представляет собой модуляцию колебаний, медленные качания пальца на гра фе скрипки Изменяют длину звучащей струны а тем самым высо ту звука.
Если немодулированннѳ колебания воздействуют на сис тему , параметры которой непостоянны во времени, то в ре зультате этого в системе возникает модуляция вынужденных . колебаний. Например, модуляция колебаний появляется в уоидигелях алакгрических колебаний, если их коэффициент уси ления ае постоянен.
Различают амплитудную, частотную а фазовую модуяяцвл
Пусть ток i(t) иэмѳняѳтоя по проогому синусоидальное му закону
c ( t ) = A $ i n ( c o z + cp)} |
(20. В |
где А,U),(р - постоянные амплитуда, угловая частота а аа-
ічальяая фаза этого немодулированного гармонического коле бания. При фазовой модуляция изменяется фаза колебаний. Пусть, например, модуляция наложена низкочастотный сигна лом о'круговой частотой ос , тогда'
(р—y s in a it}
где у - постоянная этого иыенения. Тогда модулированный по фазе ток будет равен
кБолее подробно можно найти, например, в книге А.А.Харкевича "Основы радиотехника", и ., 1562.
58
L(t) ~ А Stn(tot ^ yrsinolt)*
- А [s/л 6)t cos(yfSinai)* costotsin(ysir>ucj].
Применим формулы (17.3) |
и (17Л),дающие разлове- |
нае в рад по бесселевым функциям функций cos(yrsinoct) и S('n(yrsin<*t) и тогда получив
і( і) = A ls in c ü t |
[У0( у ) + 2 ^ У2т( у ) cosPmoit] ■+■ |
|
|
l_ |
/я*i |
|
CO |
'l |
■+ cosa>t-2Y_ |
^Sm4(y )sin (2 m -i)A t\~ |
|
|
m=f |
|
* |
А l^0(yr)sintüt+27((yf)cosüjisi/>ott+ |
|
+ 2 J 2(ty)sinot COS2а t+273Cy)costot sin3A *-*—] “ |
||
= |
А ^ 3 9 ( У ) & ПС0* + % (Ѵ Г) \ß l r > (to l+ ii} t- S in (U ) - A )t\ + |
|
*7i(w) \&/n(to+2oL)t+ SLn(to-2d-)t^+
+ J3(y) \sin(to+3c$t~sin(to-3d)t[■+..}=A f.7n(y}sin(üHi^)t.
Из последней формулы вытенает, что спектр амплитуд модулированного по фазе колебания - это линейчатый спектр, частоты которого равны
. . оо-пэс,...>оо-2<х-) u)-oij u),-)co+oi;to-t-2ar)...Jto-t-nai;...
самплитудами
Имодулированное по фазе колебание моино рассматри вать кая результат наложения на колебание с "несущей" час
тотой со и амплитудой АУ0(у) колебаний с "боковыми"
59 -
частотами io ± d ; u )± 2 u . Ввиду овойогва бѳооелѳвой функции становиться пренебрежимо малой, когда ѳе индекс п стано вится значительно больше ѳе аргумента, спектр практически считают ограниченным. '
Аналогично исследуется частотная модуляция, при кото рой частота со меняется по закону
СО**ь)0+ Acosinat,
тдвсов>Д(і)} с<. - постоянные.
ОДНОВРЕМЕННОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ДВУХ СИНУСОИДАЛЬНЫХ Э.Д.С. НА НЕЛИНЕЙНЫЙ ЭЛЕМЕНТ. АМПЛИТУДНАЯ ЮДУЛЯЦШ
Цуоть имеется нелинейный элемент о характеристикой
вида |
L(t)~A е ми(і) |
|
|
|
(20.2 ) |
||
а напряжение |
имеет вид |
|
|
|
U { t ) = C(fCOSOf t-f-Cre C O S ^ £( . |
(20.3) |
|
Найдем ток при одновременном воздействии двух синусо |
|||
идальных е.д.о. Используя |
(20.3), получим |
|
|
|
|
О |
|
t(t)-A e^ ccs^ uSac05^ |
Aef/COSOft& *!C0SOtt) |
||
где |
= к а г . |
Разложим каждой из сомножителей |
|
'^ c o s c j f t ^ |
^ S g c o s ^ t в ряд по фущіцщэд ТП ( § ) . |
Дня это |
|
го- в формуле |
|
|
|
LTStnep
■ £
Пв-Оо
Ж
придадим X |
значение і х ? & <р - значение |
СР '~ 2 ~ ‘ |