книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]
.pdf150
5. Постройте линии уровня плоских скалярных полей.:
л,
I) |
/ » |
X |
|
, |
о \ |
, |
за |
3 |
3 |
*■) f |
• |
+ у |
, |
|
э \ |
/ |
— |
у |
, |
3 ) / = » |
V |
|||
соответствующие значениям f = I, 2, 3, 4, 5С
б.Найти уравнение и построить график линии уровня, проходя щей через точку А, для оледующих скалярных долей:
I) |
/ |
* |
|
|
|
, |
2) |
|
|
* а г * - |
у |
\ |
|
ъ) |
f |
ж |
4 г с г - |
у |
*^ |
|
*> |
f |
” |
X |
|
' |
|
5) |
f |
ж |
Я у |
~~ |
у і |
|
|
|
|
У с с + у - 1 |
|
||
6 > |
/ |
------- * * ---- ' |
|
|||
_ |
|
|
У х - J y |
t S |
|
|
7) |
/ |
= |
5 |
^ |
— |
' |
A |
( J |
i 5 ) . , |
|
A |
( 2 |
- , - f ) , |
|
А |
О |
) |
2 ) , |
А |
И |
; |
О ) , |
А ( 3 ) \ 0 >
A H i t ) ,
. А « } < ) .
7 . Потенциал элентричѳокого поля, образованного зарядом
е , лежащим в начале ноординат, находится по формуле
<е
и = Т >
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
|
|
где г - модуль |
радиус-вектора точна. Найти энвштотѳнциаль— |
|
||||||||||
ную поверхность, |
проходящую чѳрев точку |
М(2; I ; 3), |
|
|
||||||||
8, Для скалярного поля ф |
где |
а. = 2 L-t-âj—і<3 найтя |
' |
|||||||||
поверхность уровня, проходящую череѳ |
точку А(І» |
1; |
3 ). . |
|
||||||||
Дать геометрическую иллюстрацию решения. |
|
|
|
|
||||||||
|
2 а |
Производная по направления |
|
|
|
|
||||||
Пусть (р(м) |
- |
скалярное поле. |
Рассмотрим в |
точке |
|
|||||||
некоторое фиксированное направление t ' |
и возьмем |
на |
направ |
|
||||||||
лении этого вектора точку М, |
отстоящую от точка |
^ |
на |
рас |
|
|||||||
сто ян и и ^ |
, Разность |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
&Фшч>(Мі)-(р{мй) |
|
|
|
|
|
|||||
определяет изменение (или приращение) поля при переходе от |
|
|||||||||||
точка f.1и |
Мт, |
а |
отношение |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
_А£ |
|
=» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,&е |
|
|
|
а і |
|
|
|
|
|
|
|
определяет |
среднюю скорость |
изменения поля <jp |
на участке |
|
||||||||
в направлении |
F . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Предел средней |
скорости изменения |
скалярного |
поля |
|
||||||||
. ср(N) f когда точка |
М неограниченно приближается к |
точке |
|
|||||||||
MJ J , оставаясь на направлении |
é |
называется пповзводной |
|
|||||||||
поля в точке |
но направлению É |
и обозначается |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
â<f> |
|
|
|
|
|
|
|
-І~ г * |
ір? “ |
tim |
- tim Q |
â t |
|
|
|
|||||
Щіі?
Ecлв функция f ( x 3t/3 Z) имеет в области непре рывные частные производные первого порядка по всем аргумен там, то в любой точке области
ЪФ Ъф Эф
1 ? = э ? е“ * * 5 у ' Ф А + ъ т ^ Г - т
|
152 |
где caseij CQSâj sos^ |
~ направляющие косинусы выбранного |
направления t . |
- |
Ив этой формулы видно,_что производная по направлению
Іпротивоположному - I , равна производной по направ
лению t , взятой с обратным знаком. Действительно,
И ' " Ш coffc-oij-h^cos(a-p)+?£cos<n-}f)*-^-.
Это означает, что при перемене направления на противо положное абоолютная величина скорости изменения функции по ля не мѳняетоя, а изменяется только характер ее изменения; если, например, в направлении ? функция возрастает, то в направлении е она убывает, и наоборот.
Проведем через точку М0 (зг> у3 Z ) гладкую кривую (Г), заданную параметрическими уравнениями
Х - я ( л ) , </« y(s), 2*?(s),
где S - длина дуги кривой, отсчитываемая от фиксированной точки в определенном направлении. Производная поля <р(М) по дуге $ кривой определяется следующим образом:
as |
È S L - 1 + * ! Е у ' + Ё £ х ' |
||||
Эа: x s |
B y |
“ s |
а ? |
$ |
|
Как известно x j , i/J} Zg |
представляют собой направляю |
||||
щие кооинусы |
касательной к кривой |
(Г) |
в Точке М (причем |
||
направление касательной оовпадает с направлением отсчета^ )? ~поэтону’~нпраиэводная по дуге" имеет то же значение, что и
"производная пс |
направлений н касательной" (к этой дуге в |
||
данной |
точке). |
|
|
Если линия (Г) задана с помощью произвольного пара |
|||
метра t |
: |
р е |
- а: (t), |
или |
|
U |
- г it), |
Z=3 %(t) Stx(tj T+yitJJ
|
|
|
153 |
|
|
|
то |
орт касательного |
вектора к кривой (Г) в |
точке |
I.L |
равен |
|
|
+ |
r ' t 1- H I M |
|
|
|
|
где |
- |
Ко)~ It'ttojr |
точке |
М0 , |
откуда |
|
t0 |
- значение |
параметра, отвечающее |
||||
а можно |
определить направляющие косинусы касате.льной. |
|||||
|
Если поле плоское, то направление â |
вполне |
опреде |
|||
ляется углом о£ . Формулу для производной по направлению в
случае плоского |
поля можно получить аз формулы |
(2), положив |
||||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
2 > |
|
|
|
|
|
|
|
Ъір |
|
Ъср |
|
|
|
||
дер |
|
|
(2 1 ) |
|||||
—-L- C O S O L + |
— — |
ѣ е п о і. |
||||||
'â l |
д х |
|
д у |
|
|
|
||
Если оі = О, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
эе |
д х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а если ос - ■т ,ю |
|
21'£ в |
I S . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
дв |
ду |
по |
некоторому направлению |
|||
Производная поля <р(х} у) |
||||||||
характеризует крутизну поверхности |
Z = £р(Х, у) в |
этом направ |
||||||
лении . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З А Д А Ч И |
|
|
|
|
||
9. Найти |
производную поля f. ~ хг y z |
в |
точке Pj |
(5; |
||||
I ; 2) в направлении,идущем |
от этой |
точки к |
точке Р? (7; |
- I ; |
||||
3 ). |
|
|
|
производные функции^=хгу г; |
||||
Решение. |
Находим частные |
|||||||
^ |
|
= 2 x V z > i y = x z > |
|
' |
||||
и вычисляем их значения в |
точке |
Рт : |
|
|
|
|||
( ж Ъ = г о , ( j f y p - s o , ( - f f ) / } - г л |
|
|||||||
Определяем косинусы |
направляющих углов |
вектора |
||||||
Р 1 Р 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
т > « v - f |
і |
-154 -
Таким образом, подставив полуденные значения в форму
лу (2), |
находим |
' |
Знак минус указывает, что в данном направлении функ |
||
ция у |
убывает. |
|
10. Найти производную скалярного йола^ ~ (c c Z+ y ?)‘ вдоль винтовой линии Г
в саз і с +sin tаj -f- і к
в точке MQ, отвечающей значения параметра tc -Ж ,
Решение. Радиус-вентор точки М0 равен
т .е . координаты этой точки |
( - 1; 0; ^ |
). |
|
\ |
||||
Находим орт касательного вектора |
1? (MQ) |
к линям (Г) |
||||||
в точке MQ: |
|
_ |
|
_ |
_ |
|
|
, |
|
|
|
=> - sin t С ■+COstJ. + ffj |
|
||||
|
|
i'fc)** - / ■ + K, |
|
|
|
|
||
|
|
ъ (н 0) |
Ѵ(ж) |
-J |
\Р2 . |
\fs К. |
||
|
|
|
о> |
| Щ |
v f |
2 |
d |
|
Отсюда: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
V? |
, v f |
|
дГ |
|
\j) xz- 0+ 2y z (-- ^ j+ (x ‘\ у г)Ц> |
M0 (-/>0,71) 2 ' |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
11. Найтг |
производную функіцшу мx y z |
в |
точке Л (5;І; |
|||||
2) по направлению к точке В |
(9; 4 г. 14). |
|
|
|
||||
12. Для указанных функций найти производную в точке |
||||||||
А по направлению к точке В: |
|
|
|
|
||||
I) |
/ |
= |
\1<2+ х г+ у г , |
А & ; 3 ) , |
e(JjS )-, |
|||
21 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
I |
/ |
Ж * У |
А О ; 0), |
|
||||
с |
— |
г |
’ |
|
|
|
|
|
155
|
|
|
|
'XU-tX-k9 |
|
|
A(S-t l)f |
|
ß(7j4); |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А (4it), |
|
В (-4 |
|
|
||||||
|
|
Ь) j. за у<х ~ 3у } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ß ( f }&)■ |
|||||||||
|
|
с \ |
, |
t |
3 |
- |
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13, Найти производную по направлению от |
точки А(3; |
I) |
|||||||||||||||||||
к В(6; б) |
функции j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке |
А. |
|||||
14, |
Найти производную функции |
у ^ я г + у |
|
-~3х+2у |
|
||||||||||||||||
- в точке |
Мг(0; |
0; |
0) |
по |
направлению к |
|
точке |
|
М, |
|
(3; |
4; |
0 ). |
|
|||||||
15, Найти производную скалярного поля / |
|
(М) |
|
2 'S |
|||||||||||||||||
|
=:гy+Z - |
||||||||||||||||||||
~xuz |
в |
точке |
А II; I ; |
2) |
в направлении, |
|
образующем о |
ося- |
|||||||||||||
і і |
|
|
|
|
|
|
|
|
в 60 |
О |
, 45 |
D |
и 60 |
А |
, |
|
|
||||
ма координат углы соответственно |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
16, |
|
|
Найти |
производную поля |
|
р |
|
' |
|
|
|
^ |
||||||||
|
|
|
J-( /V/~ у |
£ |
yz. -р |
||||||||||||||||
в точке М(3; I ; |
X) |
по |
направлению вектора |
è |
|
, еоли |
об |
||||||||||||||
разует |
с координатными |
ооямл острые |
углы |
ос} |
|
у |
, |
причем |
|||||||||||||
|
|
|
Установить характер и&ченешя поля в данном |
||||||||||||||||||
направлении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
I |
|
|
|
|
|
|||
17, |
Найти производную фуннции |
|
|
|
|
|
в |
точке |
|
||||||||||||
f^ v x + y |
|
|
|
||||||||||||||||||
А(3; 4); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) по направлению биссектрисы первого координатного |
|||||||||||||||||||||
угла; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) но направлению радиуса-вектора точки А; |
|
|
|
||||||||||||||||||
3) |
по направлению вектора |
Ц » |
[4 ; ~Sj , |
|
|
|
|
||||||||||||||
18, |
Найта производна |
поля |
f |
|
** £Су ■+ у z+ f |
|
|
||||||||||||||
но направлению вектора |
£**{(2; ~3}~4) |
|
|
|
|
в любой точ |
|||||||||||||||
ке и в точках А |
(0; -2 ; - I ) и В(3; 3; |
5), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
19, Установить характер роста |
скалярного поля |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
J-(м) ~ |
у г - 7 xy* 2 |
+ â x yz s |
|
|
|
|||||||||||
в направлении вектора |
|
F - 8 i~4j +8к |
в точке |
А ( I; I ; I). |
|||||||||||||||||
Найти_величину скорости изменения данного поля но направле нию £ .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
156 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
|
|
Найти |
производную |
плоского поля ¥>=x3-t-xy+3yv |
|||||||||
в |
точке |
М0{у2-} /;QJ |
по направлению, |
лежащему в |
плоскос |
|||||||||||
ти |
хОу |
|
, |
и наклонному |
под |
углом |
~ |
к |
оси |
Ох |
||||||
|
|
21. , Найти производную цилиндрического поля |
|
|
|
|||||||||||
/(р )я(х%-</г] |
в |
точке Mpdj |
- 2; |
0) по направлению радиус-вей- |
||||||||||||
тора |
этой |
точки. |
|
|
|
|
|
ос |
у |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в нача |
|||
|
|
22. Нг.Лги производную функции f= £ n (e ч е ) |
|
|||||||||||||
ле |
координат |
по направлению луча, |
составляющего угол |
Ы. о |
||||||||||||
осью абсцисс. |
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|||||
|
|
23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
точке |
|||
|
|
Найти производную функций f=axctg-^- |
|
|||||||||||||
M(2j - 2)’ окружности |
ссгч у |
|
=:О |
|
по дуге |
этой |
||||||||||
окружности |
|
(направление отсчета S |
против |
часовой |
стрелки). |
|||||||||||
|
|
24. |
Найти производную функции f= a zc ty (x yj |
в |
точке |
|||||||||||
(3; |
-3) |
по |
|
биссектрисе второго координатного угла (направ |
||||||||||||
ление |
отсчета в сторону роста абсциссы). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
25. Найти производную функции f = f n ( x гч у г) |
|
в |
точ |
|||||||||||
ке |
Р (І; |
2) |
|
параболы |
у - 4х по дуге этой кривой |
(в |
нап- |
|||||||||
равл-тай |
возрастания абсциссы). |
|
|
у г |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
любой |
|||
|
|
26. Показать, что производная функции |
|
|||||||||||||
точке |
эллипса |
Ä c + y |
= #2 по направлению его |
нормали |
||||||||||||
(в |
сторону |
вогнутости кривой) |
равна нулю. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
3. |
Градиент |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пусть |
скалярное |
поле |
(р(/і) |
э декартовой |
системе |
|||||||||
ноординаг задано функцией |
cp= (p(acjy-z). |
|
Его градиентом |
|||||||||||||
называется вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
S 'cad |
|
|
|
|
|
, |
|
|
(3) |
||
где частные производные вычисляются в точке М, Таким обра зом, по формуле (3) каждой точке М, где определено скалярное поле <p(Mj * сопоставляется вектор y x a d Ср(М)^
Вектор Q tad (р направлен в сторону наибольшего воз растания полнев данной точке) и по длине равен наибольшей
157
скорости возрастания функции / в точке /'/
и лежит на нормали к поверхности уровня поля,проходящей
через эту точку.
■ Основные Формулы для вычисления градиента:
i ^ g x a d C ^ O |
(С -с о п б і)> , |
2) g%adoc.«Li |
g % a d y = j} g z a d z - к ; |
3) gxa .ct(cj:) - C g x a d f ( C - c o n s t);
4)g x a d ( f - n p ) ~ g x a d j н- 'g x a d <p;
5)gxad(f'if>)sfgxadg>-y<f>-gzadf-t
« |
, / |
q > g zQ d f-fg za d cp |
|
6) $ i a d y ---------- --------------------------* |
|||
4) g r a d |
F (u )= |
F '(u \ g z a d U'} |
|
ry |
|
^ F |
5F |
8.) g ta c (F (u ,ir J ~ ^ g x a d u + - g g g g z a d ü j |
|||
|
|
|
d v |
9 ) g z a d |
( c ~ z j ~ £ ( g - постоянный SekmoPj |
||
|
|
Z =sci Ф yj +zx) *, |
|
iQ)gxad z ~ |
|
( г = ]/г2н у *+z^). |
|
Производная функгди f |
данному направлению £ рзв- |
||
на скалярному произведению градиента функция на единичный
вектор этого направления, |
т .е . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
<4) |
иян |
= |
q/zaâ fl cos |
по |
qzaa' t , |
||
|
||||||
|
ос |
“ |
- |
' 4 |
" |
* } |
|
|
158 |
|
где & |
- угол |
между градиентом и вектором |
.з точке М. |
Производная скалярного поля f (М) вдоль линии (Г) вы |
|||
числяется |
по формуле: |
|
|
|
“ |
» f(M )'$zadf(M )f |
(5) |
где С - орт касательного вектора к линии (Г) в точке М.
|
З А Д А Ч И |
|
|
27. Найти градиент |
поля |
х - 2 ссу-і-Зу-f |
|
в точке А (І; 2). |
|
|
|
Решзяпе. |
|
|
|
По формуле |
(3) находим |
|
|
д гас/(ссг- 2xry+3y-(J=(2sc-2 у)Г+{3- 2x)J |
|||
В частности, при |
ос = I , |
у =. 2, |
получаем, что gzadf(A}= |
=~ 2 l +J •
28.С какой наибольшей скоростью может возрастать
|
5С |
У |
Z. |
при пеРѳх°Де точки |
||
функция j\P ] ~~у~ + ~£ ^~5с |
||||||
М(ху у-z) |
через |
точку М0(-1 • 1; -?)? |
В каком направ |
|||
лении должна |
двигаться |
точка М при |
переходе |
через точку |
||
I ; 2 ), |
чтобы |
функция / |
(i.l) |
убывала с |
наибольшей |
|
скоростью? |
|
|
|
Решение. |
I) Наибольшая по абсолютной величине скорость |
||
изменения (возрастания или |
убывания) функции |
_/ (A3 при не-- |
|
реходе точки |
М через точку |
л0численно равна мотелю гради |
|
ента функции |
в точке ‘<Ѵі . При этом функция будет возрастать |
||
или .убывать с |
наибольшей скоростью, смотря по |
тому, будет |
|
ли точка Ипри переходе через точку Мдвигаться по направ лению градиента функции в точке М0или по противоположно му направлению.
|
Ъ9 |
|
|
|
Находим частные |
производные функцииУ; |
|
L |
|
м . Л - 1 . |
' i t . . * * ! |
- |
|
|
Эх у х л ' |
2 |
-? |
|
x |
. зу ' Уу* z > Эг |
|
|||
|
|
*- |
|
|
и по формуле (3) находим градиент в любой точке |
|
|||
|
|
r J ± - K |
\ ; |
|
g r a d f - (~ - ~і ) і + ( j - p j / + |
Zz |
|
||
Далее находим:
I) g z a d / l M j —2 i - 2 /с •
его модуль, численно .равный наибольшей скорости возрастании функции / (М) при переходе Мчерез Мп, будет
/ gzQ df[M 0)\ = \ff+ 7 ^\[8= 2Ѵ 2 .
іт |
J T / — |
2) gzadf(MlJ~'^ |
~2 ~j ~~£ K і искомый вектор |
имеет противоположное направление л будет равен
- guTdft M()=— j L + -gj + Y K-
Чтобы функция / (М) убывала с наибольшей скоростью при пе реходе через точку Mj точка Ыдолжна двигаться в направле- !ши вектора ~ gzadj-(Mt).
|
29, Найти градиент |
поля |
|
j —x 2-4ocy-hdу 2~d. |
|||
в |
точке M ( 2; - I ) . . |
|
|
|
|
|
|
|
' 30. Найти градиент поля |
|
f = cos (x y z + ij |
||||
в |
точке MD(2; - I ; I ) . |
|
|
g |
g |
g |
|
|
31, Найти градиент |
поля |
/ |
||||
|
“ Г + 2у |
-tjz |
- х у - |
||||
- 4х+2у-Цг |
в точке |
А (0; |
0; |
I ) , |
|
|
|
|
32, Найти |
градиент |
поля^ |
|
М -__£ ___: |
|
|
в |
точке'Е Ц ; 2; |
2 ). |
|
J ссг-+улч-г* |
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
33, Найти градиенты скалярных полей: |
|
|||||
|
I) |
a t c t’ y — |
у |
|
|
||
|
|
|
f |
|
* |
|
|
^ ^ X г+ y 74 Z^ }