книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]
.pdf90
|
|
|
Бесселевы |
|
функции |
|
J |
, , J |
з ,. |
., J |
із ■ |
|
|
|||
_1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
” 7 |
г |
|
г |
|
|
|
|
J |
. (-) |
J ,м |
|
■ |
|
+ |
7+І |
J |
Л*) |
|
J |
u( =l |
|
|
||
|
|
1 |
—j |
|
|
|
|
I |
|
* |
|
|
I |
4~ |
||
и |
+« |
-1 ,1 0 2 5 |
|
4 *’ |
—ал |
4 “ |
|
—ал |
||||||||
1 |
+ 0 .43И |
|
42,8764 |
- |
- |
13,279 |
490,079 |
- |
797,44 |
+ |
8681,7 |
|||||
2 |
-0 ,2 3 4 0 |
-0 ,8 9 5 6 |
|
40,8282 |
|
1,6749 |
45,0340 |
|
—20,978 |
+ 110,35 |
||||||
3 • -0 ,4 5 6 0 |
40,0870 |
|
40,3690 |
|
-0 ,7 0 2 1 |
41,2691 |
|
-3 ,1 0 5 3 |
|
4 10,117 |
||||||
4 -0,2 6 0 8 |
40,3671 |
|
--0,0146 |
|
-0 .3 4 8 9 |
40,6251 |
|
- |
1,0577 |
|
-2 ,2 8 3 4 |
|||||
5 |
40,1012 |
40,3219 |
|
—0,2944 |
|
-0 .0 2 7 5 |
40,3329 |
|
-0 ,5 7 1 8 |
|
40,9249 |
|||||
6 |
40,3128 |
40,0389 |
|
-0 ,3 3 2 2 |
|
40,2379 |
40,0546 |
|
-0 ,3 1 9 8 |
|
40,5318 |
|||||
7 |
40,2274 |
-0 ,2 3 0 6 |
|
-0 ,1 2 8 5 |
|
40,3224 |
-0 ,1 9 3 9 |
|
-0 ,0 7 3 1 |
|
4 0,3088 |
|||||
6 -0 ,0 4 1 0 |
-0 ,2 7 4 0 |
|
+ 0,1433 |
|
40.1841 |
-0 ,3 0 4 9 |
|
4-0,1589 |
|
4 0,0864 |
||||||
9 |
-0 ,2 4 2 3 |
-0 ,0 8 2 7 |
|
4-0,2690 |
|
-0 ,0 6 7 2 |
-0 ,2 1 7 6 |
|
+0,2848 |
|
-0 ,1 3 0 6 |
|||||
10 -0 ,2 1 1 7 |
40,1584 |
|
4 0,1642 |
|
-0 ,2 4 0 5 |
+ 0,0042 |
|
40,2368 |
|
-0 ,2 6 4 6 |
||||||
11 |
4 0,0011 |
40,2405 |
|
- 0,0066 |
|
-0 ,2 1 0 2 |
+ 0,2004 |
* |
4 0,0462 |
|
-0 ,2 4 6 6 |
|||||
12 |
4 0,1944 |
40,1074 |
|
-0 ,2 2 1 2 |
|
-0 ,0 1 5 2 |
40,2801 |
|
-0 ,1 5 7 3 |
|
-0 ,0 8 5 8 |
|||||
13 -0,2 0 0 8 |
- 0,1084 |
|
-0 ,1 7 5 8 |
|
40,1760 |
4-0,0810 |
|
-0 .2 3 2 . |
|
4 0,1154 |
||||||
i ; |
40,0292 |
-0,2133 |
|
40,0165 |
|
40,2074 |
- 0 |
'u i |
|
-0,1301 |
|
40,2225 |
||||
15 |
-0,1565 |
-0 ,1 2 3 5 |
|
40,1812 |
|
40,0631 |
-0 ,2 1 0 7 |
|
4-0,0633 |
|
4 0,1643 |
|||||
16 |
-0,1910 |
4 0,0694 |
|
4 0,1780 |
|
-0 .1 2 5 0 |
-0 ,1 2 3 3 |
|
|
->-0,1944 |
|
-0 ,0 1 0 3 |
||||
17 |
- |
0,0532 |
-*-0,1892 |
|
+ 0.0199 |
|
-0 ,1 9 5 0 |
40,0604 |
|
-+0,1G30 |
|
-0 ,1 6 5 9 • |
||||
18 |
40,1242 |
+ 0,1343 |
1 |
-0 ,1 4 6 6 |
|
-0 ,0 9 3 6 |
+ 0,1830 |
|
40,0021 |
|
-0 .1 8 4 3 |
|||||
19 |
40,1810 |
-0 ,0 3 7 0 |
1 |
-0,1751 |
|
40,0830 |
40,1 »45 |
|
-0 ,1 5 1 5 |
|
-0 ,0 5 6 8 |
|||||
20 |
40.0728 |
-0 ,1 6 6 5 |
1 |
-0 .0 4 7 b |
|
4 0,1785 |
І -0 ,0 1 4 6 |
|
-0 ,1 7 1 9 |
|
40,1092 |
|||||
21 -0 ,0 9 5 4 |
+ 0,1411 |
|
4 0.1155 |
I |
|
+0.1136 |
• - 0,1534 |
|
|
-0 .0 4 7 9 |
I |
40,1785 |
||||
22 -0 ,1 7 0 t |
4 0,0092 |
; |
4 0.1688 |
j -0 ,0 4 7 6 |
1 -0 ,1 5 3 7 |
|
|
-* 0,1105 |
j |
+0,0984 |
||||||
23 -0 .0 8 6 6 |
+ 0.1446 |
|
40,0698 |
|
-0 .1 5 9 8 |
-0,0211 |
|
|
+ 0,1681 |
I |
-0 ,0 5 9 2 |
|||||
24 |
4 0,069t |
+ 0,1446 |
I |
-0 ,0 8 7 2 |
|
|
-0 ,1 2 6 5 |
+ 0,1240 |
|
|
4-0,0799 |
|
-0 ,1 6 0 7 |
|||
Функции her. bei, ker, kel и их производные.
1 |
her 3 |
r f b e r i |
|
b e i c |
d Ь е і д |
k er z |
d k e r z |
k e i x |
d k f l i 3 |
|
t b |
' |
“ c ü ' |
dz |
( І Х |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
_ _ |
|
|
|
0,0 |
1,0000 |
0,0000 |
|
о o o o o |
0,0000 -f-c* |
-0 ,7 8 5 4 |
0,0000 |
|||
0,1 |
1,0000 |
0 ‘1000 |
|
0,0025 |
0,0500 |
2,420 |
-9 ,9 6 1 |
-0 ,7 7 6 9 |
0,1460 |
|
0,2 |
1,0000 |
- 0 0005 |
|
0,0100 |
0,1000 |
1,733 |
-4 ,9 2 3 |
-0,7581 |
0,2229 |
|
0,3 |
0,9999 |
-0 ,0 1 4 7 |
|
0,0225 |
0,1500 |
1,337 |
-3 ,2 2 0 |
-0 ,7 3 3 1 |
0,2743 |
|
0,4 |
0,9996 |
-0 ,0 0 * 0 |
|
0 0400 |
0,2000 |
1,063 |
- 2 ,3 5 2 |
-0 ,7 0 3 8 |
0,3095 |
|
0,5 |
0,9990 |
— 0,0078 |
|
0,0*25 |
0,2499 |
0,8559 |
- 1 ,8 2 0 |
-0 ,6 7 1 6 |
0,3332 |
|
0,6 |
0,9980 |
-0 ,0 1 3 5 |
|
0,0900 |
0,2998 |
0,6931 |
-1 ,4 5 ? |
-0 ,6 3 7 4 |
0,3482 |
|
'0,7 |
0,9962 |
-0 ,0 2 1 4 |
|
0,1224 |
0,3496 |
0,5614 |
-1 ,1 9 1 |
-0 ,6 0 2 2 |
0,3563 |
|
0,8 |
0,9936 |
- 0,0320 |
|
0Д599 |
0,3991 |
0,4529 |
-0 ,9 8 7 3 |
-0 ,5 6 6 4 |
0,3590 |
|
0,9 |
0,9898 |
-0 ,0 4 5 5 |
|
0,2023 |
0,4485 |
0,3625 |
-0 ,8 2 5 9 |
-0 ,5 3 0 5 |
0,3574 |
|
1,0 |
0,9044 |
-0 ,0 6 2 4 |
|
0,2496 |
-0,4974 |
0.2867 |
-0 ,6 9 4 6 |
-0 ,4 9 5 0 |
0,3524 |
|
1.1 |
0,9771 |
-0,0831 |
|
0,3017 |
0,5458 |
0,2228 |
-0 ,5 8 5 9 |
-0,4601 |
0.3445 |
|
1,2 |
0,9676 |
-0 .1078 |
|
0,3587 |
0,5935 |
0,1689 |
— 0,4946 |
-0 ,4 2 6 2 |
0,3345 |
|
1,3 |
0,9554 |
-0 ,1 3 7 0 |
|
0 4204 |
0,6403 |
0,1235 |
-0 ,4 1 7 2 |
-0 ,3 9 3 8 |
0,3227 |
|
1,4 |
0,9401 |
• 4,1709 |
0,4867 |
0,6860 |
0,0851 |
-0 .3511 |
-0 ,3 6 1 7 |
0,3096 |
||
1,5 |
0,9211 |
-0 ,2 1 0 0 |
|
0,5576 |
0.7303 |
0,0529 |
-0 ,2 9 4 2 |
- 0,3314 |
0,2956 |
|
1,6 |
0,8979 |
-0 ,2 5 4 5 |
0,6327 |
0,7727 |
0,0260 |
-0 ,2 4 5 1 |
; -0 ,3 0 2 6 |
0,2809 |
||
1,7 |
0,8700 -0 ,3 0 4 8 1 |
0,7120 |
0.8131 |
0,0037 |
-0 ,2 0 2 7 |
-0 .2 7 5 2 |
U,-:658 |
|||
1,8 |
0,8367 |
-0,3612 1 |
0.7953 |
0,8509 |
-0 ,0 1 4 7 |
1 +0.1639 1 - 0,2494 |
0,2504 |
|||
1,9 |
0.7975 |
-0 ,4 2 0 8 j |
0,882! |
0,8857 |
—0.0297 |
-0,1 3 4 1 |
, -0 ,2 2 5 1 1 |
0.2351 |
||
91
П р о д о л ж е н и я
|
3 |
|
|
b er z |
|
d her z |
|
bei s |
|
|
d hei 1 |
|
|
k er z |
|
j |
r f k r r r |
j |
kel s |
|
|
d koi s |
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
1 ~ d z ~ |
i |
|
|
|
d i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,0 |
|
|
0,75t |
7 |
- 0 .4 9 3 |
1 |
0,972 3 |
|
0,9170 |
-0 ,0 4 1 |
7 |
- |
10G6‘ |
|
-0 .2 0 2 ;! |
|
0.210 8 |
||||
|
2,1 |
|
|
0,698 7 |
- 0 ,5 6 9 |
1 |
1,065 |
|
|
0,944 2 |
-0 ,0 5 1 |
: |
-8 2 8 ,2 ' |
|
-0 ,181 |
2 |
|
0,204 8 |
||||
|
2,2 |
|
|
0,637 7 |
- 0,652 ( |
1,161 |
|
|
0,966 6 |
- f t 058 : |
— 623,4* |
|
-0 ,1 6 1 |
4 |
|
0,190 1 |
||||||
|
2,3 |
|
|
0,568 ( |
-0 ,7 4 2 |
( |
1,259 |
|
|
0.983 f |
-U .063 7 |
- 4 47,5' |
|
-0 ,1 4 3 |
: |
|
0,175 9 |
|||||
|
2/. |
|
|
0,489 ( |
- 0 ,8 3 9 |
5 |
1,357 |
|
|
0,99 4 4 |
-0 ,0 6 7 |
i |
- |
297,1‘ |
|
- 0 .1 2 6 2 |
|
0.162 1 |
||||
|
2,5 |
|
|
0,400 ( |
- 0 ,9 4 3 |
6 |
1,457 ‘ |
|
0,998 у |
- 0 .0 6 9 |
7 |
- 1 6 9 ,3 ' |
|
-0 ,1 1 0 7 |
|
0,1489 |
||||||
|
2,6 |
|
|
0,300 1 |
- 1 ,0 5 5 |
|
1,557 |
|
|
0,994 3 |
—0,070 i |
- 6 1 ,3 6 ' |
|
- 0 ,0 9 6 4 |
|
0,136 3 |
||||||
|
2,7 |
|
|
0,1887 |
-1 ,1 7 4 |
|
1,656 |
|
|
0,9815 |
-0 ,0 7 1 |
( |
+ 29,04' |
|
-0 ,0 8 3 |
4 |
|
0,124 3 |
||||
|
2.8 |
|
|
0,065 1 |
- 1 ,2 9 9 |
|
1,753 |
|
• |
0.У5Я 0 |
- |
0,070 J |
+ 104,0' |
|
-0,0 7 1 |
C |
|
0,1129 |
||||
|
2,9 |
|
- 0 ,0 7 1 |
4 |
-1,4 3 1 |
|
1,847 |
|
|
0,925 7 |
-0 ,0 6 8 9 |
|
165.3' |
|
-0 ,0 6 0 8 |
|
0,102 1 |
|||||
|
3,0 |
|
-0 ,2 2 1 |
4 |
- 1 ,5 7 9 |
|
1,938 |
|
|
0,880 5 |
-0 ,0 6 7 0 |
|
214,8' |
|
-5112* |
|
|
9204* |
||||
|
3,1 - 0 ,3 8 5 5 |
-1 ,7 1 4 |
|
2,023 |
|
|
0,822 3 |
-0 ,0 6 4 |
7 |
|
253,7» |
|
-4240* |
|
|
8259» |
||||||
|
3,2 |
|
-0 ,5 6 4 |
4 |
-1 ,8 6 4 |
|
2,10i |
|
|
0.749 9 |
- |
0,062 C |
|
283,6' |
|
—3458' |
|
|
7378» |
|||
|
3,3 |
|
- 0 ,7 5 8 4 |
-2 ,0 1 8 |
|
2.172 |
|
|
0,662 1 |
- 0,059 C |
|
305,6' |
|
-2762* |
|
|
6558» |
|||||
|
3,4 |
|
- |
0,968 C |
- 2 ,1 7 5 |
|
2,203 |
|
|
0,557 7 |
-0 ,0 5 5 1 |
|
320,7' |
|
-2145* |
|
|
5799* |
||||
|
3,5 -1 ,1 9 4 |
|
- 2 ,3 3 6 |
|
2,283 |
|
|
0,435 3 |
-0 ,0 5 2 Г |
|
329,9» |
|
—1600* |
|
|
5ft'J8* |
||||||
|
3,6 -1 ,4 3 5 |
|
-2 ,4 9 8 |
|
2,320 |
|
|
0.293 7 |
-0 .0 4 9 1 |
|
334,1' |
|
-1123» |
|
|
4451* |
||||||
|
3.7 - 1 ,6 9 3 |
|
- 2 661 |
|
2,341 |
|
|
0.131 5 |
- |
0,046 ( |
|
334,0* |
|
-707,7» |
|
|
2664» |
|||||
|
3,8 - 1 ,9 6 7 |
|
- 2 ,8 2 2 |
|
2,345 |
|
- |
0,052 5 |
-0 ,0 4 2 6 |
|
330,4* |
|
-348 .7» |
|
|
3325* |
||||||
|
3,9 |
|
- |
2,258 |
|
— 2,981 |
|
2,330 |
|
-0 .2 5 9 7 |
-0 ,0 3 9 4 |
|
323.8» |
|
-41,08* |
|
|
2835* |
||||
|
4,0 |
|
—2,565 |
|
- 3,135 |
|
2,293 |
|
-0 ,4 9 1 |
1 |
- 3 6 1 8 ’ |
|
|
314,8« |
|
+ 2198» |
|
|
31,91’ |
|||
|
4.1 |
|
- |
2,884 |
|
- 3 ,2 8 2 |
|
2,231 |
|
- 0 ,7 48 1 |
-3 3 0 8 ’ |
|
|
303,8' |
|
4386* |
|
|
1991» |
|||
|
4,2 -3 .2 1 9 |
|
- 3,420 |
|
2,142 |
|
-1 ,0 3 2 |
|
-3011* |
|
|
291,3' |
|
6194» |
|
|
1631» |
|||||
|
4,3 |
|
—3,568 |
|
-3 .5 4 7 |
|
2.024 |
|
- |
1,3,3 |
|
-2726» |
|
|
277 7» |
|
7661* |
|
|
1310* |
||
|
4,4 - 3 .9 2 8 |
|
- 3 ,6 5 9 |
|
1.873 |
|
- 1 ,6 8 3 |
|
- |
2 4.'6’ |
|
|
263,2» |
|
8826* |
|
|
1024* |
||||
|
4.5 |
|
- |
4.299 |
|
—3,754 |
|
1..686 |
|
—2,053 |
|
-11200х |
|
|
248,1» |
|
972t» |
|
|
771,5» |
||
|
'.,6 |
|
- |
4,678 |
|
-3 ,8 2 8 |
|
1,461 |
|
-2 ,4 5 2 |
|
- I 9 6 0 ’ |
|
|
232.8' |
|
1038* |
|
|
5'.9,2’ |
||
|
4.7 -5 ,0 6 4 |
|
—3.878 |
|
1,195 |
|
-2 .8 8 2 |
|
- |
1734’ |
|
|
217,3» |
|
1083* |
|
|
955.0* |
||||
’ |
4,8 |
|
-5 ,4 5 3 |
|
-3 ,9 0 1 |
|
0,883 7 |
-3 ,3 4 2 |
|
- |
1525' |
|
|
201,9' |
|
1110* |
|
|
186.5* |
|||
|
4.9 |
|
—5,843 |
|
-3 ,8 9 1 |
|
0.525 1 |
- 3 ,8 3 3 |
|
- |
1330* |
|
|
186,8' |
|
1121» |
|
|
41.52* |
|||
|
5,0 - 6 .2 3 0 |
|
— 3,845 |
|
0,1160 |
—4,354 |
|
- 1 1 5 1 ’ |
|
|
1*1,9’ |
|
1119* |
|
-820,0* |
|||||||
- |
5.1 -6 ,6 1 1 |
|
-3 ,7 5 9 |
|
- 0 ,3 4 6 |
7 |
-4 ,9 0 3 |
|
-986 .5* |
|
|
157,9' |
• |
1105* |
|
- |
1861» |
|||||
5,2 |
|
- 6 ,9 8 0 |
|
—3,G27 |
|
- 0 ,8 6 5 |
8 '• -5 ,4 8 4 |
|
- 8 3 5 ,9 ’ |
|
|
143.7» |
1082* |
|
-2 :2 6 » |
|||||||
|
5.3 |
|
—7,334 |
|
—3.445 |
|
—1 uuu |
|
-6 ,0 8 9 |
|
-698,9* |
|
|
130,4* |
|
lft.4* |
|
-3433» |
||||
|
5.4 -7 ,6 6 7 |
|
- 3 ,2 0 6 |
|
- 2 ,0 8 5 |
|
-6 ,7 2 0 |
■ - |
574.9* |
|
|
U l . V |
|
1014* |
|
- |
4000» |
|||||
|
5,5 -7 ,9 7 4 |
|
- 2 ,9 0 7 |
|
-2 ,7 8 9 |
|
- 7 ,3 7 3 |
‘ —403.2* |
|
|
105.8' |
|
9716» |
|
-4440* |
|||||||
|
5,6 -8 .2 4 7 |
|
-2 ,5 4 1 |
|
- 3 ,5 6 0 |
|
-8 ,0 4 5 |
j -363,2* |
|
|
94,47» |
|
9255* |
|
-4769» |
|||||||
|
5,7 - 8 ,4 7 9 |
|
- 2 ,1 0 2 |
|
-4 ,3 9 9 |
|
—8,734 |
I |
-274,0* |
|
|
83,88' |
, |
8766» |
|
-5000» |
||||||
|
5.8 -8 ,6 6 4 |
|
-1,7*80 |
|
-5 ,3 0 7 |
|
-9 ,4 3 3 |
|
-195,2* |
|
|
74.00» |
|
8258» |
|
-5146* |
||||||
|
5,9 -8 ,7 9 4 |
|
- 0 ,9 8 4 4 |
|
-6 ,2 8 5 |
|
-1 0 ,1 4 |
1 - |
125.8* |
|
|
64.81» |
|
7739* |
|
-5217* |
||||||
|
G,0 -8 .8 5 8 |
|
- 0 ,2 9 3 1 |
- 7 ,3 3 5 |
|
- 1 0 ,8 5 |
! - 6 5 3 ,0 ' |
|
|
56,32» |
|
7216» |
|
-5224* |
||||||||
|
6.1 |
|
- |
8,849 |
|
- L ,494 3 |
-8 ,4 5 4 |
|
- 1 1 ,5 5 |
I -1 2 9 ,5 ' |
|
|
4B.50' |
|
6696* |
|
-5176* |
|||||
|
'6,2 |
|
-8 .7 5 6 |
|
1,384 |
|
-9 ,6 4 4 |
|
-1 .-.2 3 |
I |
-г-319,1* |
|
|
41,33» |
|
6183* |
|
-5032» • |
||||
|
6.3 - 8 .5 6 9 |
|
2,380 |
-1 0 ,9 0 |
|
—12,90 |
, |
- |
699,1* |
|
|
34,79' |
|
568Г |
|
-4951* |
||||||
|
6 .4 ; - 8 .2 7 6 |
|
3.4УО |
- |
12,22 |
|
-1 3 ,5 4 |
|
|
1017* |
|
|
28,85' |
|
5194» |
|
-4788* |
|||||
|
6,5 -7 ,8 6 7 |
|
4,717 |
-1 3 .8 1 |
|
-1 4 ,1 3 |
|
|
1278* |
|
|
23,49' |
|
4724» |
|
- |
4600* |
|||||
|
6.6 -7 ,3 2 9 |
|
6,067 |
- 1 5 ,0 5 |
|
-1 4 .6 7 |
|
|
1488* |
|
|
18,67' |
|
4774* |
|
-4393» |
||||||
|
6,7 |
|
— 6,649 |
|
7,544 1-1 6 .3 4 |
|
-1 5 ,1 5 |
|
|
1653* |
|
|
14,36» |
|
3846» |
|
-4170» |
|||||
|
в,8 - 5 ,8 1 6 |
|
9,151 |
1-1 8 ,0 7 |
|
-1 5 ,5 4 |
|
|
1777* |
t |
|
10,54» |
|
3440» |
|
— 3939’ |
||||||
|
6,9 - 4 .8 1 5 |
|
10,89 |
, -1 9 ,6 4 |
|
- 1 5 ,8 5 |
|
|
1806’ |
|
|
7,164' |
|
3058* |
|
-3 701» |
||||||
|
7,0 |
|
- |
3.633 |
|
12.76 |
j -2 1 ,2 4 |
|
-1 6 ,0 4 |
I |
|
1922* |
|
|
420.5» |
|
2700* |
|
-3460» |
|||
|
7.1 |
|
-2 ,2 5 7 |
|
14,77 |
-2 2 .8 5 |
|
-1 6 ,1 1 |
|
|
4951' |
|
|
163.3» |
|
2366* |
|
-3218* |
||||
|
7,2 |
|
- 0 ,6 7 3 |
7 |
16,92 |
- 2 4 .4 6 |
|
- 1 6 ,0 3 |
I |
|
1956' |
|
-5 8 .3 9 » |
|
2057* |
|
- |
2979* |
||||
|
7.3 |
|
-1 .131 |
|
19.19 |
I -2 6 ,0 5 |
|
- 1 5 ,7 9 |
! |
|
1940» |
|
-247,4» |
|
1770* |
|
-2745» |
|||||
|
7 4 |
I |
|
3.169 |
|
21.60 |
-27,61 |
|
-1 5 ,3 7 |
|
|
1907* |
|
-406,6» |
|
1507» |
|
- |
2517» |
|||
|
7 5 |
t |
|
5.455 |
|
24.13 |
-2 9 ,1 2 |
|
-1 4 ,7 4 |
|
|
I860» |
|
- |
538,8» |
|
1267» |
|
- |
2296» |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
92
Продолжите
1 |
Ьег 1 |
і і Ьег г |
|
b ei 2 |
|
(1 bui z |
d z |
|
|
d s |
|||
|
|
|
|
|
||
7,6 |
7,999 |
26,78 |
-3 0 ,5 5 |
- |
13,88 |
|
7,7 |
10,81 |
29,53 |
-3 1 ,8 8 |
- 1 2 ,7 6 |
||
7,8 |
13,91 |
32,38 |
-3 3 ,0 9 |
-1 1,37 |
||
7,3 . |
17,29 |
35,31 |
-3 4 ,1 5 |
- |
9,681 |
|
8,0 |
20,97 |
38,31 |
-3 5 ,0 2 |
-7 ,6 6 0 |
||
8,1 |
24,96 |
41,35 |
-3 5 ,6 7 |
- |
5,285 |
|
8,2 |
29,25 |
44,42 |
-3 6 ,0 6 |
-2 ,5 3 0 |
||
8,3 |
33,84 |
47,47 |
-3 6 ,1 6 |
+ 0,634 1 |
||
8,4 |
38,74 |
50,49 |
-3 5 ,9 2 |
|
4,232 |
|
6,5 |
43,94 |
53,44 |
-3 5 ,3 0 |
|
8,290 |
|
8,6 |
49,42 |
56,28 |
-3 4 ,2 5 |
|
12,83 |
|
8,7 |
55,19 |
58,9? |
-32 ,7 1 |
|
17,88 |
|
8,8 |
61,21 |
61,45 |
-3 0 ,6 6 |
|
29,47 |
|
8,3 |
67.47 |
67,68 |
-2 8 ,0 0 |
|
29,60 |
|
9,0 |
73,94 |
65,60 |
- 2 4 71 |
|
36,30 |
|
9,1 |
80,58 |
67,14 |
— 90,72 |
43,58 |
||
9.2 |
87,35 |
68,25 |
-1 5 ,9 8 |
51,46 |
||
9,3 |
94,21 |
68,83 |
- |
10,41 |
59,94 |
|
3,4 |
101,1 |
68,32 |
- |
3,969 |
69,01 |
|
9,5 |
108,0 |
68,13 |
|
3,4 И |
78,68 |
|
9,6 |
114.7 |
66,67 |
|
11,79 |
88,94 |
|
9,7 |
121.3 |
64,35 |
|
21,22 |
99.76 |
|
9.8 |
127.5 |
.61,07 |
|
S1.76 |
Ш , 1 |
|
9.9 |
133.4 |
56.72 |
|
43,46 |
123,0 |
|
КЦО |
156,8 |
51,20 |
|
|
, 135.J |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
кет z |
d |
k er z |
bei 2 |
d |
кеі з |
|
d z |
~ |
7 ~ |
||
|
|
|
|||
1800* |
- 6 4 6 ,5 я |
1043* |
- |
2084я |
|
1731* |
- 7 3 2 ,2 я |
849,8* |
- |
1881я |
|
1655* |
- 7 9 8 ,2 я |
671,4я |
- |
1689* |
|
1572* |
-846,7* |
511,7* |
- |
1507* |
|
I4868 |
—879,7я |
369,6я |
- |
1336* |
|
1397е |
- |
899,2s |
244,0* |
- 1 1 7 7 я |
|
1306* |
- 9 0 6 ,9 я |
193,9* |
-1028» |
||
1216* |
—9о4,4* |
+ 38,09* |
-890,2* |
||
1126я |
- |
нуЗ 2я |
- 4 4 ,4 3 я |
-763,2» |
|
1037" |
• |
-4,7я |
- 1 1 4 ,9 я |
- 6 4 6 ,7 я |
|
951,1я |
- 650,0* |
- 1 7 4 ,1 я |
- 5 4 0 ,4 я |
||
867,5я |
• |
820,4 я |
- 2 2 3 ,3 я |
- 4 4 3 ,8 я |
|
787,1я |
- |
:86,8я |
-263 .2* |
—356,5й |
|
710,2я |
- |
' >9 2я |
- 294 9* |
-278,1* |
|
687,2я |
- |
11,2я |
- 3 1 9 ,2 я |
-208,1» |
|
568,1я |
- 6 7 0 ,7 я |
- 330,8я |
-145,9» |
||
503,0я |
- 6 2 9 ,3 я |
- 3 4 8 ,6 я |
- 9 1 ,0 9 я |
||
447 2* |
- 5 8 7 ,5 я |
-355,2* |
-48,15» |
||
985,5я |
- |
545,8я |
-357,4* |
- 1 ,5 5 9 я |
|
33S.U» |
-504,5« |
- 3 5 5 ,?а |
+ 34,16* |
||
284,6я |
- 464,1я |
-350,8* |
|
64,49я |
|
2 і0 .2 э |
- 424,6* |
-343,0* |
89,89* |
||
1И.6* |
- 386,в> |
-332,9* |
110,8* |
||
> 2 , 6 * |
- 3 5 0 ,4 я |
- 3 2 1 ,0 я |
127,7я |
||
129,5* |
- |
315,6е |
—307,5я |
140,9* |
|
З а м е ч а н и е . Числа, за которыми след\ет индекс I, нужно умножить im I1)-*. Числа, аа которыми следует индекс 2, нужно умножить на ІО“ 8.
Числа, оа которым« следует индекс 3, лунок» умножить на 10-я .
93
Г л а в а |
2 |
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАШЧІЗСЮЙ ФИЗИКИ
§31. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВЙЕЬИЙ
ВЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И ИХ КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА
Большое число физических задач приводит к дифференци альным уравнениям с частными производными второго порядка относительно искомой функции. Такие уравнения можно н ам - сать в виде некоторого соотношения между независимыми пере
менными |
, х г , . г ,,хП} искомой функцией и и ее |
частными про |
||||
изводными первого |
и второго |
порядков |
у |
• - і |
, |
|
эга |
dzu |
*Ѳга* и |
â x / , d x z |
|
элтЛ |
|
Эху |
>9xidXj |
• Уd x z |
ди дги |
|
|
|
|
|
Эи. ди ' |
д ги |
Эх. rиü- |
||
|
|
Эх/ * дх2 |
' эху Эху ’dxidxj’ |
|||
Очень часто эти уравнения являются линейными относительно старших производных - производных второго порядка, т.е. имеют вид:
t" |
Э * и |
/—/ |
Э и . |
д и |
N л |
t fa ^ |
QiJ dxtdXj + |
>-"}ХПj U>dx4 * |
dxnj Q > |
||
ГДѲ |
и и =dij (x4} x 2 , ••■,xnj • |
|
|
||
|
|
|
|||
Если функция |
|
j ^ l ^ ) линейна относительно |
аргу |
||
ментов |
|
* то уравнение называется линейным |
|||
(без указания |
относительно чего). Линейные уравнения имеет |
|||
вид: |
|
|
1 |
|
П П |
|
|
|
|
Д Г 2 Г & i j C x ( ) X z |
х п )д х :д Х ; |
L={ |
( Х0 Х 2> “ і Х п) д Х ; + |
|
Св/ /=/ |
а |
1 в |
|
|
+ с(х() х2 ) xn)u —f ( x f) x2 f х^у
94
&imf{xi)xv ...)xnfiOf so уравнение (I) называется линейным од нородным, в противном случае - неоднородным. Вое многообра зие линейных относительно старших производных уравнений мо жет быть разделено на три типа. В каждом классе есть прос тейшие уравнения, которые называются каноничеокаыи. Решения уравнений одного и того же типа имеют много общих свойств. Для изучения этих свойств достаточно рассмотреть каноничес кие уравнения. Принадлежность уравнения к тому или иному типу - классификация уравнений - определяется коэффициента ми при старших производных. Мы произведем классификацию для уравнений, в которых искомая функция и. зависит лишь от двух переменных: Ц.=и(т,у), в этом случае уравнения линейные отно сительно старших производных иожно записать в виде:
э2и |
эга |
За ди . |
а«(х)У) Эхг^^а!2У)Эхду+ |
У)Эуг |
У>и>дх ’ |
С помощью замены независимых переменных уравнение (2) может быть приведено к его простому виду - каноническому. Поэто му при изучении уравнений с двумя независимыми переменными можно ограничиться в дальнейшем лишь каноническими уравне ниями.
Примем следующую классификацию уравнений вида (2):
1) если в некоторой области £ )дискриминант Л то уравнение (2) называется уравнением гиперболического ти па в обл. oö ;
£
2) еслиД=а/2- а^агг<0 в области S) , то уравнение (2) называется уравнением эллиптического типа в области & ;
3) ест.й=а/г-&,і‘2гг~0 в области Sö , то уравнение (2) называется уравнением параболического типа в области ££> .
Для каждоги вида уравнений существует своя каноничес
кая форма. |
в области S) , то |
Веди уравнеше (2) гиперболического пша |
|
в этой области существуют такие функции |
<р(х,у) и цг(х,у) |
что заменой переменных |
* |
£ - <р(х >У) > Г1 ч \ы 'л', у) |
(3) |
|
|
95 |
|
|
уравнение |
(2) |
приводится к простейшей’форме |
||
|
г / - |
эи |
д и \ |
п |
d£dq + ^fe'?>U>д% ’ |
|
|
||
называемой канонической. |
|
|
||
Если уравнение (2) |
эллиптического |
типа в |
области 3) ,го |
|
заменой вида (3) уравнение (2) приводится к канонической
форме: |
|
ди ди |
д ги |
Эги |
|
д %г + d f |
дЩ ’ dq ) = 0 . |
|
Если уравнение (2) параболического типа в области'® |
||
го,заменой (3) |
оно приводится к канонической форие |
|
д га |
_/ |
ди |
dqz * ‘1 (■%>'?> U>ö |
Принадлежность к тому или иному типу линейного урав нения, не содержащего смешанной производной от искомой функ ции, т .е . уравнения вида:
|
|
d2U |
dд гиU |
г,—.• |
|
ВцЭи dLLди |
„ |
(*) |
|||
|
|
" дх |
+аг2 ä P |
|
|
|
XTZ |
зг-А-О. |
|||
|
|
+К*>У> а>Л , |
э^У |
|
|||||||
очевидно, |
определяется |
знаками коэффициентов аа и Оу. Точнее, |
|||||||||
если Off(х,У)и. й^^г^всюду в |
области |
имев? разные |
знаки |
||||||||
(и в Я |
не |
обращаются в |
нуль), |
то |
уравнение |
(4) |
гиперболич |
||||
но в области® \естан(х,ч)и.аг^т,у) в |
области |
S) |
имеют оди |
||||||||
наковые |
знаки (не обращаются в нуль |
в обл. <Я ), |
то уравне |
||||||||
ние (4) |
эллиптично в Sb . Если хе |
всоду в S> один из |
коэф |
||||||||
фициентов |
равен |
0, го уравнение |
(4) |
дараболично в Э . |
|||||||
Аналогичный признак может быть оформулирован для ли нейных уравнений со многими независимыми переменными вида:
чг~ |
Э‘U |
г— р ди |
' Cü —f (&а ■zvг^ х п), |
|
|
U- аи дх? |
««/ |
°* дх* |
|
||
і=/ |
|
А |
|
||
, |
с |
- |
постоянные величины. |
(5) |
|
где Qjfa “к, |
|
||||
Уравнение ( 5 ) ^называется эллиптическим всюду, если коэффи циенты 3.;;, 1=1,п не равны нулю и имеют один и тот хе знак. Например, уравнение распространения звука на твердых те лах
96
з ги э ги э ги |
z |
2^~і"эТ г ~>"эТг+ К |
0. |
U |
К уравнениям эллиптического типа приводят задачи о диффузии газа, распадающегося в процессе диффузии, о рас пространении, излучении и рассеянии звука на твердых телах, об установившихся электромагнитных колебаниях.
Уравнение (5) называется параболическим всюду, если
коэффициенты аг- все, кроме одного |
(а/о ід) , не |
равны ну |
лю и имеют один и тот же знак и |
• Например, |
уравне |
ние теплопроводности |
|
|
ди
+ gtx,t).
dt
Уравнения параболического типа получаются при исследовании таках явлений, как теплопроводность, диффузия, распростране ние электромагнитного поля в проводящих средах, движение вязкой жидкости, движение грунтовых вод и др.
|
Уравнение (5) называется гиперболическим всюду, если: |
||||
1) |
все |
коэффициенты |
не |
равны нулю; |
|
2) |
все, |
кроме одного(С/ |
іо) |
имеют один и тог же знак, а |
|
О,- і |
имеет противоположный знак. |
||||
Например, |
|
|
|
||
|
|
д ги дги |
|
д ги |
г д ги |
|
|
Эхг + Эуг * Эгг ~к |
Эіг |
||
§ 2 .2 , ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЯМ ГИПЕРБО ЛИЧЕСКОГО ТИПА
I . Вывод уравнения малых поперечных колебаний струны
Рассмотрим туго натянутую струну, закрепленную на кон
цах. _Под струной будем.понимать |
тонкую упругую нить, кото |
|||
рая может свободно |
изгибаться, |
т .е , |
не оказывает |
сопротив |
ления изменению ее |
формы, если |
это |
изменение не |
связано с |
изменением длины струны.
Отсутствіе сопротивления изгибу математически выракаег-
97
ся в іом, что напряжения,возникающие в струне, всегда направлены по касательным к ее мгновенному профилю.
Пусть струна имеет дойну if и в состоянии покоя |
зани |
|||
мает отрезок [О, в] оси Ох. |
Каждую точку |
струны можно |
оха |
|
рактеризовать значением |
ее |
абсциссы х. |
Бели вывести |
струну |
аз положения равновесия |
(например, ударить по ней), |
то |
||
струна начнет колебаться. Процесс колебаний струна можно описать при помощи задания положения точек струны в раз личные моменты времени. Для определения положения струны в момент времени t достаточно задать три компоненты вектора отклонения точки X в момент t :
[ u / x , £ ) } uz ( x i j , и/.v j)} .
Мы рассмотрим только такие колебания, при которых
1)струна все время остается в одной плоскости (назо вем ее плоскостью Охц ) и каждая точка струны перемещается перпендикулярно к оси Ох;
2)отклонения точек струны очень малы. Такие колеба ния называются малыми поперечными колебаниями.
Процесс поперечных колебаний можно описать одной функ цией LI(JC} t) характеризующей вертикальное отклонение стру ны.
Рассмотрение малых колебаний дает |
основание |
считать, |
|||||
, что функция u(x,t) |
и ее частная |
производная по X |
мала, |
||||
гак что квадратами и их произведениями можно пренебречь |
|||||||
по сравнению с самими этими величинами. |
|
|
|
||||
Будем считать, что струна находится под действием сил |
|||||||
натяжения |
Т , приложенных к |
концам струны. Величина на |
|||||
тяжения, возникающего |
в струне |
вследствие упругости, |
может |
||||
быть вычислена по закону Гука. |
Выделим произвольный учас |
||||||
ток |
струны, |
длиной L |
(р и с.І), который при коле |
||||
бании струны деформируется в участок М Д л и н а |
Д/ |
ду |
|||||
ги этого |
участка в момент времени |
t |
равна |
|
|
||
L )
98
Рис Л
вследствие чего можно считать, что в процессе малых попе речных колебаний удлинения участков струны не происходит. Отсюда в силу закона Гука следует, что величина натяжения Т в каждой точке струны не меняется со времене и
Покажем, что величину натяжения Т можно считать не
зависящей |
от х, т .е . 7 « T0i T0-const. Действительно, на |
учас |
ток MJ MJ |
струны действуют силы натяжения, направленные |
по |
касательным к струне в точках Mj и М^, внешние силы и силы инерции. Так как рассматриваются лишь поперечные колебания, силы инерции и внешние силы направлены вдоль оси Ои .
Суша проекций всех сил на ось Ох должна быть равна нулю.
Получаем |
Т( хг) cosdfccz)- |
Т(sct)cosoi (xf) =~0} |
|
||||
где ы(х) |
|
||||||
- угол мегду |
касательной |
в точке с |
абсциссойдг |
||||
к струне |
в момент времени t |
и положительным направлением |
|||||
оси Ох „ |
В силу малости колебаний |
|
|
|
|||
T(X L)COSOL(XI)= |
ТСх і) |
T(Xj) |
|
f,2 V |
|||
|
|
'Sfr (Щ)г* |
iXl)’ |
||||
|
|
|
|
|
|
||
и, следовательно, |
/ '(xt) * T(x2) , |
|
|
|
|||
Отсюда вследствие |
произвольности X( и хг следует, что вели |
||||||
чина натяжения Т не зависит |
от х |
. Таким образом, Т^Т0 |
|||||
для всех |
значений |
х |
u t. |
|
|
|
|
Перейдем к выводу уравнения малых поперечных колебаний струны. Воспользуемся вторым законом Ньютона: изменение ко
личества движения участка |
( х {, хг |
) ь момент t равно им |
пульсу действующих на него |
сил в |
момент t . |
|
|
|
99 |
|
|
|
|
|
Пусгь руз(х) - линейная |
плотность |
струны. Тогда мас |
||||||
са участка (х{,Хг) струны равна |
|
|
|
|
|
|||
JГpг-(x )d x |
( 0 ^ х44 .хг 4 |
£)ш |
|
|||||
Пусть g=gCx,t) - плотность |
распределения внешних сил, отне |
|||||||
сенная к единице массы струны. |
Тогда |
равнодействующая этих |
||||||
сил, действующих на участок (хп хг) |
струны в момент^ рав |
|||||||
на |
X, |
|
|
|
|
|
|
|
|
А Л |
|
|
|
|
|
|
I |
|
J ß (x )g (x ,t)d x . |
|
|
|
||||
Сила инерции |
х< |
|
будет p(x)dx |
О*(( |
, а равно |
|||
элемента dx |
rppi |
|||||||
действующая сил инерции (в момент t |
), |
действующих на учас |
||||||
ток ( х 0 хг), |
будет |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
f f i K |
& t d x . |
|
|
|
|
|
|
|
Х1 |
|
|
|
|
|
|
|
В поперечных колебаниях участвуют лишь вертикалыныё составляющие сил натяжения (рис.2).
|
|
Рас. 2 |
|
|
Пусть а (х) |
- угол, составленный |
касательной |
к форме стру |
|
ны в точке с |
абсциссой |
х и осью Ох . |
|
|
Имеем : |
, ig d |
SUL |
Hzди. |
|
|
ьх |
|||
|
Sin* ~ \j |
/ + tg*oL |
ч і+ (Ш )г |
дх ' |
|
|
|
|
|