книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]
.pdfІО
где символом О( ) обозначена величина, которая при имеет гог же порядок, чго а j , г.е
dim —const,
Формула Стирлинга упрощает вычисления Г(ос) при больших вначѳяиях аргумента.
7) График гамма-функции
Используя свойства гамма-функции, построим ее график.
Рис. I
8) Логарифмическая производная
Рассмотрим логариі|шческув производную от Г(х*1) и обозначим ее у(х),ч.ъ.
d f /7Г(x-fj) |
Г'(х + 1) |
¥ (*). |
d.r |
Г{т-+і) = |
II
Логарифмируя ( I .а ) , получим
вп r (x +l)=s ёпх + EnГ (х )у
■откуда после дифференцирования этого соотношения получим
=£ ■+ У(х-1).
Последовательное |
применение этой формулы дает |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
'П-/ |
{ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4rM = Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Бела ж-п |
- целое |
|
положительное число, |
то |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n-t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ { ф £ д-Ъ-Т7Г + У(0)- |
|
|
|
|
|||||||
Постоянная |
Ѵ(0)= |
|
= /~/(7J |
часто |
встречается. |
Еѳ |
|||||||
называют |
постоянной |
Эйлера и |
обозначают jjf |
(или£*). 0.на |
|||||||||
равна |
у ^0,577216... . |
|
|
|
|
|
|
||||||
Заметим, гамыа-функцаю можно распространять на всю |
|||||||||||||
комплексную плоскость, используя |
аналитическое продолжение. |
||||||||||||
Тан, для |
комплексных |
значений аргумента с положительной ве |
|||||||||||
щественной частью |
Rez>0 Г(і)можно определить с |
помощью |
|||||||||||
интеграла |
(1 ,1 ), |
|
который сходится в полуплоскости Rez>0 |
||||||||||
Пример I . |
Вычислить Г (3,7), |
|
|
|
|
||||||||
Решение.Используя (ІЛ),пОлучиы |
|
|
|
|
|||||||||
Г (3 ,7 )= 2 ,7 Г (2 ,7 )= |
|
2,7 |
І ,7 Г ( І ,7 ) . 2,? |
1,7 |
0,9086= |
|
|||||||
= 4 ,I7 0 m « ^ ,I7 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Значение |
Г |
(1,7) |
|
найдено |
по табл.І на отр.7Э. |
|
|
||||||
Пример 2. |
Найти Г (0,0001). |
|
|
|
|
||||||||
Решение. |
Используя |
го, |
что |
Г(х)™'-£ |
при |
х - |
■*0, |
||||||
получим |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г (0,0001) |
------------ = |
10000. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0,0001 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Найти |
20 / |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Воспользуемся формулой Стирлинга |
|
|
|||||||||||
|
х ! |
Ѵ?Я х Х+2 е Х |
при |
X -*- +оо. |
|
||||||||
Получим |
|
|
|
|
|
20 t£ - 2 0 |
|
/в |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
20!^\І2п 20 |
2,455-ІО |
|
12 |
|
Пример 4. Найти f |
(-2 ,4 ). |
|
Решение, |
Г Ң 4 + 0 |
|
п:-г,4)=Г(-2,4+0 |
Г(-0,4+1) |
|
|
|
|
' - г * |
І-2Ж -Ш |
|
Г({> 6}_________j-OtB935 Ш-1,/08.
(-2,4){-1, 4 ) Ы 4) -0,8 ~ 0,8084
§ 1.2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРШЩШІЪНЬІХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ВДОВ. МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
К сожалению, решение далеко не каждого дифференциаль ного уравнения моино представить через элементарные функции или свести его к квадратурам. Тогда приходится прибегать к прдбляженкам методам интегрирования дифференциальных уравнений. Одним из таких методов является решение дифференци альных уравнений с помощью рядов методом неопределенных коэффициентов. Этот метод особенно удобен для линейных диф ференциальных уравнѳіШй с переменными коэффициентами.
Рассмотрим пример, несложный о вычислительной сторо ны, где выясним: X) как применяются ряды для нахождения ре шения дифференциального уравнения методой неопределенных' коэффициентов; 2) каким образом дифференциальные уравнения могут служить источником возникновения новых, неизвестных функций.
Пусть дано дифференциальное уравнение
У "+ у =0. |
(2.1) |
Требуется найти его решение, удовлетворяющее началь ным условиям
У XsO |
х*о =>0, |
( 2 . 2 ) |
|
13
Будем искать решение в виде бесконечного степенного
ряда.
Тогда 1 |
у=зО.0-і-а,х-і-а2х гч |
л а пх \ . . . |
(2.3) |
-.. |
|
|
|
0 |
y'=af+2a1x^3aJx + |
|
|
1 |
y"=2as-*-3-2as x+4-3a^xz+ .. |
|
|
|
(а0+2аг}+(а,+3 -2a?t )х+(а2+4 |
... s О, |
|
Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая при подстановке в диффераподальное уравне ние обращает его в тоадесгво.
Поэтому, найдя у ии подставив у и у "в левую часть уравнения (2 .1 ), получим тождественный нуль. Исходя иэ един ственности представления функции степенным рядом, эаклпча-
ем, что коэффициенты при всех степенях х равны нулю,
а0
аа+ 2 аг =0 , |
а2 ~ |
2 1 |
' |
|
а, +3 -2 x3 =0 , |
|
а, |
|
|
aj ~~ з/ ’ |
|
|||
а г +4-За^~0, |
а 4~~4-3 " 4! |
} |
||
а3 +f-4 af =0 , |
|
а3 |
а, |
|
as ~ s-q ~ 5! * |
||||
|
п |
/ ,) Н |
* |
|
|
агп - (гО |
(2п)! |
||
|
ГУ |
|
'pn+ flt |
|
|
a 2n*r;-( U |
|||
Воспользуемся начальными условиями (2.2) и подставим |
||||
сс=0 в рчд (2 .3 ). Получим |
|
|
|
|
. Кя о |
ЗГ=0 = * * = /• |
|
|
|
14
Аналогично,у=Ъ* г**** *а«хЛГ-1 х=»о= а , - 0 .
К-1
Так как (Х,~0, то все нечетные коэффициенты равны ну лю, а четные равны
Н~!)
п о.,. (-1)'
lZn r ‘J (2n)l~ (2r>}! '
Подставляя найденные коэффициенты в ряд, получим
У = 2 Z a * * |
-Е1.л й * |
т‘—2! |
У/ |
â! |
||||
|
|
( - |
)П |
2п |
X |
X1 |
|
|
KaÜ |
п=0 |
|
|
|
|
|
|
|
Это сходящийся на всей числовой оси ряд и функцию, |
||||||||
представимую этим рядом, |
наэовеы носянусом и обозначим |
|||||||
, |
X s |
сг* |
|
, |
цП |
Х 2п |
, |
|
y=COSX = f - g J + J J ------- + (- /) |
Y in )]* ‘ ' |
' |
||||||
|
|
|
|
|
|
£2. / |
p x 2n |
|
Бели бы функция, определяемая рядом / (-/) ~r§nTf » ив |
||||||||
была бы до сих пор |
„ |
|
то |
её |
|
Л*0 |
’ |
' |
известна, |
бы пришлось |
"открыть", |
||||||
ввести.при решении |
уравнения |
( |
2,1 |
) , |
|
|
|
|
Аналогично поступают в общем случае. Пусть дано ли-
*
нейное дифференциальное уравнение, например, второго по
рядна
у\р(х)у'-+ ^ (х)у= 0 |
|
(2.4) |
Нредполоким, что |
|
|
pM = T L а к X*, |
ІХІ < R, ; |
(2.5) |
к=о |
|
|
КжО8к * к, |
\x l< R 2 , |
' ,2 .6) |
|
|
где R( а R2 радиусы сходимости вl H 0 W p - известные коэф фициенты разложения соответственно рушима р(х) и ух ) . Бу-
15
дем искать решение уравнения (2.4) также ѳ виде степенного ряда іхэ
|
|
|
y ~ L |
С |
аск |
|
|
|
(2.7) |
|
|
|
|
к=о |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Если j/= 2 1 СкХ* решение |
уравнения (2 .4 ), |
то |
при |
||||||
подстановке |
рядов (2 .7 ), |
(2 ,5 ), |
(2.6) |
в уравнение |
(2 .'О |
|||||
получим тождество. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приравняв коэффициенты при |
одинаковых степенях х |
.получим |
||||||||
бесконечную систему уравнений для определения неизвестных |
||||||||||
коэффициентов |
|
|
все предлокеянне преобразова |
|||||||
ния можно проводить |
в |
области, где сходятся и ряд (2.5) и |
||||||||
ряд |
(2 .6 ), |
т .е . при |
/ х/ <Я; |
|
|
|
|
|||
|
'г д е |
|
R = |
т іп ^ ; #2}. |
|
|
|
|||
|
Однако, остается невыясненным, будет ли сходиться • |
|||||||||
ряд |
с найденными коэффициентами [cÄ J |
и будет ли |
он решени |
|||||||
ем исходного |
уравнения |
(2 .4 ). Ответ дает теорема, |
когорл&' |
|||||||
приводим без |
доказательства. |
|
|
|
|
|||||
|
Теорема. Если |
ряды (2 .5 ), |
32.6) |
имеют радиусы |
сходи |
|||||
мости Rf |
и |
/?г , то при j'x\< R , |
где R- -mn{Rt} AjjnocrpoeH- |
|||||||
ѵный вышеуказанным образом ряд (2.7) сходится и его сумма
является решением уравнения (2 .4 ).§
§1.3 . УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. ЕГО ИНТЕГРИРОВАНИЕ О ПОЖЩШ ОБОБЩЕННОГО СТЕПЕННОГО ГОДА. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ I. РОДА
Уравнением Бесселя называется .уравнение вида
, _л? V :’+ х у ’+ (х 2- р <) у = 0 ; |
р>-С. |
(Б) |
Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, где р^О параметр уравнения. Поставим задачу налги общее решение этс о дифференциального уравне ния. Так как уравнение Бесселя линейное, то его общее ре шение можно представить в.виде
У~ Lу У/+ ^2Уг-
|
|
|
16 |
где yh у2 линейно независимые частные решения уравнения |
|||
(Б), а |
С0 Сг - |
произвольные |
постоянные. Напомним, функции |
Уі(х)> |
Уг(х ) |
называются линейно независимыми на некотором |
|
отрезке, если |
|
|
|
|
ytfr) dг |
const ч* О |
(на рассматриваемом отрезке). |
|
Уг(х) |
|
|
Решение уравнения Бѳоселя будем искать в виде степен ного ряда. Однако, перепишем уравнение (Б) в виде
у* + - £ у '+ 0 ~ & * )у шО
изаметим, что коэффициенты этого приведенного уравнения не разлагаются в степенные ряды по полот?телі.ід. степеням
ас и поэтому нельзя воспользоваться теоремой предыдуще
го параграфа н утверждать, что решение уравнения (Б) можно искать в виде _
т = о
Поэтому будем ионать решение этого дифференциального урав нения в виде так называемого обобщенного степенного ряда
У=ссЫХ^Стх т= ^ |
оіч-т |
Сдф Оj |
|
|
-ѵл ОС J |
(3.1) |
|||
тяО |
т=0 |
|
||
где с*. - некоторое вещественное число.
Бели ряд (3.1) является решением уравнения Бесселя, то найдем производные этого ряда
|
t |
09 |
/ |
, |
, . |
j |
|
|
|
ч |
Ы.т/Л~1 |
|
|
||||
|
У * 2 - |
(* + ™)стх |
|
|
|
* |
||
|
|
т=о ' |
|
|
|
|
||
|
у' |
|
(pLi'm)Lc‘-'+ni~ |
aL+m-2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
тяо |
|
|
|
|
|
|
подставим в уравнение (Б) |
и получим |
тождественное |
равенство |
|||||
..дулю |
__________ |
|
|
|
" |
|
Л |
|
И (**т )(*+ т Ч )ст Эс**т-+-22 (о(+т)стХЯ+” р г 'ІГІ?тх |
dt/Г) р |
ас + П Н 2 |
||||||
+LCmX * О. |
||||||||
т*0 |
' |
|
■тяО |
|
|
тяО |
т*о |
|
17
Вмнеовм х * ва окойки, в сводках остается стеленной ряд. Это выраввние будет равняться товдесгвенно нуди тогда Я тольво тогда, когда все коэффициенты степенного ряда рав ны нули
'*(*-f}+ot-p*]Ce » О,
(<*+f)oL +jk+ f)-ps]c, -О,
[(oi+2)(et+ f)+ (a t+ 2 )-p fe + C a =ö,
[ (oi+3XoL (oL*3)-psjc3 + C( -0,
m
[ ( * + / n ) ( c i + m - 1 j + ( e i + m ) ~ p { \C m t C m _2 = 0 - ,
Или |
r |
|
|
(oL• P ' K |
- O. |
|
|
|
|
||
|
I ^ 1 ) 1 р * \ с г |
О,. |
|
|
'( л * г ) - р ^ с е+се =о, |
||
W |
Y*.+ з ) 1- р |
* \с , |
*< :,*(>, |
Так как |
Со^ 0 , го |
из первого уравнения |
системы (А) |
|
получим |
о |
’0 |
л |
. |
|
ы.г- р г — О, _ . |
|
|
|
(Это уравнение называется опрчделяаианл уравнением ш т ре-, зольвенгой). ОтсюдаÄ ~ .1 ß . Таким oöpast полу.ено два значения для показателя ос . Если одно из этих значений подставить в систему ѵА), то можно ппштг-ппоффпнрчт!^
C0,Cf,C2,.„ ={Ст]™Кели. подставить д р у г о е г&бЛЩ.
' |
I «нвлиотТ аа:'^ [ ѵ ' ' |
|
|
.I.. |
ЗКЗЕМП Пап |
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
to соответственно получим другие |
значѳніая коэффициентов |
||||||||
f ^ } |
, а |
следовательно, получим другую функцию, которая |
|||||||
такие будет являться решением уравнения Бесселя. |
|
||||||||
чим |
Рассмотрим случай ос=+р . Тогда из системы (А) полу |
||||||||
|
|
^т',ІІ'т-ііѴ |
|
|
|
|
•у т |
|
|
.Л |
__ |
|
|
—^*77~2 |
• |
_л |
|
||
|
|
(р+т)Ь-р*~~(2р+/п)п> * |
/77-<>,J » ' |
(3.2) |
|||||
|
Из втоірого уравнения |
системы (А) имеем |
|
|
|||||
|
|
|
С, [{р,+/)г-р * 1 ‘ 0; |
|
|
|
|||
|
|
|
(2p+ l)C ,= â; |
|
|
|
|
||
|
|
|
С< = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
С-помощью рекуррентной формулы (3.2) отсюда делаем |
||||||||
вывод, |
что все |
нечетные |
коэффициенты равны нулю |
|
|||||
|
|
^з*+/*£* i |
|
*mÖ;r't 2 ;-.. |
|
|
|||
Для четашс коэффициентов получим |
|
|
|
|
|||||
|
|
Г |
- "****"1 |
_ |
f ЪК'2 |
|
|
||
|
|
гк ~ (2р*2к)Ік |
2*(р+к)к |
|
|
||||
Последовательное применение этой формула позволяет найти |
|||||||||
С2/<через |
С,о |
|
|
|
|
|
|
|
|
^гк |
4^І0+к)к |
2 г(р+к)к |
£г(р+к-0(к~0 ° г*~* |
||||||
|
|
|
Н У |
|
|
п |
(~ 1 ) * С а |
||
|
2г*(р+к)(р+к-f}...(р+і\к(к-І)...{°6~ 2**нt[p■**$...(р*! |
||||||||
|
Коэффициент С0 до сих пор был произвольным, |
половам |
|||||||
2 РГ(р+1) '
Тогда получим
Са |
Н У |
'2К |
к !(р+к)... (р+2\(р+1)Г (р+і) |
|
^ Т і Г
19 |
|
(-0-* |
|
~ 2г**рк! Г(р+к+ ] ) ’ |
f’ 2; ’ ■' |
А ряд, дающий решение уравнения Бесселя, примет вид
3p(x) = Y_ |
(rÖ * . |
|
X |
2к+р |
~è*«*pKi г(рткн) |
г |
|||
*=о |
|
(3.3) |
||
у - |
(~1)к |
( х \ 2к*Р |
||
£гв |
к! Г(р+*Н){ 2 ) |
* |
||
Этот ряд определяет функцию, ногорая называется функ цией Бесселя I рода индекса (иля порядна) р .(Или цилинд рической фунищей I рода индекса р ). Термин "цшшядрическае функции" обязан тому, что уравнение Бесселя, решением кото рого они являются, встречается при решении яраевнх задач математической физики для осесимметричных тел.
Вали взять оі=-р , то по аналогии мокло подучить функ
цию
¥ 4 |
і |
к! Г(-р*к+!) \ 2 / |
. |
(3.4) |
которая является функцией Бесселя I рода, но отрицательного индекса ~р и также является решением уравнения Бесселя.
Покажем, что если р - н е |
целое, то функция Ур(х) и |
||||
У.рСх) линейно независимые |
решения уравнения Бесселя и поэ |
||||
тому вполне определяют его общее решение. |
|
||||
Действительно, |
если |
р - |
не,целое, го |
|
|
оо |
м |
|
т) |
\х*0 Оу |
|
|
|
||||
к—о |
к!г\р4к Ц |
||||
|
|||||
<-t)K
к! Г{-р+к*1)