книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

зенно без изменений, так как нелинейный и импульсный элементы рассматриваются как один непрерывный нели­ нейный элемент. Этот метод, пригодный для вполне определенного класса нелинейностей, не очень ориги­ нален по своей сути, а является скорее некоторым обоб­ щением классических результатов.

С другой стороны, В. С. Ку [Л. 4-7] предложил ди­ скретный метод гармонического баланса, основанный на использовании z-преобразования, в котором нелинейный элемент — реле — расположен после импульсного эле­ мента (см. сноску к стр. 132). Этот метод имеет опреде­ ленные преимущества, а именно:

метод может быть применен для исследования систем с фиксаторами любого порядка (для того, чтобы упро­ стить расчеты, желателен фиксатор нулевого порядка); система может содержать несколько линейных им­

пульсных элементов; используется реальный выходной сигнал нелинейного

элемента, а не его разложение в ряд Фурье.

а) УСТОЙЧИВОСТЬ

Рассмотрим структурную схему (рис. 4-2), содержа­ щую идеальный импульсный элемент с периодом Т, фиксатор, реле с зоной нечувствительности D и непре­ рывную часть с передаточной функцией G(p).

В. С. Ку так сформулировал условие устойчивости системы: если выходной сигнал системы s(t) является установившимся гармоническим сигналом, то система считается неустойчивой. В противном случае она устой-

Рис. 4-2. Релейная импульсная система.

чива. По определению автора исследование устойчиво­ сти равносильно исследованию установившихся колеба­ ний даже в отсутствие входного сигнала e(t).

Предположим, что входной сигнал e(t) синусоидален, а его период Т' — пТ (п = 2, 3, ...). Выходной сигнал импульсного элемента — периодическая функция с перио­ дом пТ (входной сигнал фиксатора известен только в мо-

менты квантования). То же самое имеет место и для выходных сигналов x(t) и y(t) фиксатора и нелинейного элемента. Автоколебания существуют при отсутствии входного сигнала, если

z ( t ) = - s ( t ) . (4-5)

Следовательно, необходимо, чтобы сигнал e(i) имел тот же период колебаний, что и s(t).

Исследование устойчивости системы, изображенной на рис. 4-3, аналогично с аналитической точки зрения

Рис. 4-3. Структурная схема, эквивалентная си­ стеме, представленной на рис. 4-2.

исследованию системы, изображенной на рис. 4-2 (до­ статочно поменять местами фиксатор и реле) 1.

Выходной сигнал v(t) реле состоит из ряда импульсов постоянной высоты, причем не обязательно они будут существовать при каждом периоде квантования. Пере­ даточная функция замкнутой системы запишется:

где N(z) является ^-преобразованием эквивалентной ди­ скретной передаточной функции реле; Gi(z)— дискрет­ ное преобразование последовательно соединенного фик­

сатора и объекта G(p), т. е. G\(z) = BG(z). Исследование устойчивости импульсной нелинейной

системы, представленной на рис. 4-2, производится с по­

следовательность б-импульсов, то рассмотрение схемы рис. 4-3 лише­ но смысла {Прим. ред.).

132

б) ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ДИСКРЕТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Эквивалентная дискретная передаточная функция не­ линейного элемента определяется как отношение 2-пре-

133

рис. 4-4, их отношение не зависит от этого сдвига. Ана­ логичная картина наблюдается и на рис. 4-4,д—з.

Пример 4-1. Задача состоит в определении двух функций N(z), соответствующих двум основным случаям рис. 4-4 (период входного

Вернемся к рис. 4-4,а. Передний фронт импульса выходного сиг­ нала получаем при

z-преобразование является преобразованием Лапласа квантованной

функции, в которой еТр заменено на г, следовательно, при входном сигнале с периодом 4 Т нужно заменить в выражении (4-14) z ком­ плексным числом, модуль которого равен единице, а аргумент равен 2я/4, другими словами, j. Уравнение (4-14) запишется:

134

Но для того, чтобы сигнал vt(/) был бы таким, как изображено на рис. 4-5, нужно, чтобы сдвиг по фазе ср находился между — 45° и + 45°, с одной стороны, и, с другой стороны, чтобы зона нечувст­ вительности была бы D, при этом должны выполняться следующие условия:

В действительности первое условие эквивалентно условию обра­ зования переднего фронта v (t), а второе условие определяет конец отрезка времени, равного 774 (рис. 4-6). Для этих условий, для ве-

Рис. 4-7. Критические обла­ сти импульсной релейной системы с фиксатором нуле­ вого порядка и исполни­ тельным двигателем

G (p )= 4 /p (p + 1); Gi(p) = ={1—ехр(—Тр)]/рЦр+\).

135

Соотношения между E, ф и D для случая рис. 4-4,d соответст­ вуют 0 > ф > —90°, а аналогичные предыдущему случаю рассуждения дают возможность получить

BG(z) =Gi(z) , градуированной по Т, причем г определяется для пе­ риода квантования Т'=пТ (т. е. для рассмотренного случая z=j). Условие возникновения автоколебаний (4-7) заключается в выполне­ нии соотношения

— 1

1 3 6

Пересечение кривых — 1!N(z) и Gi(z) определяет условия суще­ ствования предельных циклов. Величина Т указывает порядок ко­ лебания (рис. 4-7):

я=4; 7=1 (не возможны колебания периода Т'=АТ)\

Т—.4 (колебания периода Г '= 4 7’).

В примере, изображенном на рис. 4-7, могут существовать авто­ колебания с периодом в 16 сек. Наоборот, для периода квантования, равного 1 сек, автоколебания с периодом 4 сек невозможны, это, однако, не означает, что не могут существовать автоколебания с пе­ риодом, например, в 2 сек. Нужно провести для каждого значения п

нал, как бы ни был мал сигнал входа е. Условия существования автоколебаний тогда связаны с дискретными значениями ф. Границы областей — 1 IN{г) в плоскости Блэка вырождаются в вертикальные линии (— 180° для случая 1, — 135° и —225° для случая 2), и авто­

колебание, соответствующее 7V= 4 Г, существует только, если <р=

= ±я12.

Большой недостаток предложенного' метода заключается в том, что при Т' = пТ исследование надо проводить для каждого значения

п (при О ф 0).

в) ОБЩИЙ МЕТОД

В общем случае следует построить графики функций (— 1/М(2))макс и (— \/N,(z))мин, соответствующие грани­ цам области: — l/N(z), определяемой как функция зоны нечувствительности D реле, для периода Т' = пТ входно­ го сигнала, его амплитуды Е и фазы ф.

Вбольшинстве случаев зоны, ограниченные кривыми

—1IN(z), симметричны в плоскости Блэка по отношению к оси — 180°. Когда период Т колебаний увеличивается,

эти критические области вообще становятся все меньше и меньше и стремятся к оси — 180° при п— >-оо. Отме­

во кривых G(z), учитывая при этом, что z = e1<f; |z| = l; cp(z)=2n/n. В этом случае Т является параметром для соответствующей кривой (например, Т' = АТ). Если су­ ществует автоколебание, выходной и входной сигналы

137

имеют тогда один и тот же период пТ, причем п — поря­ док искомого автоколебания.

2) В той же плоскости нужно провести семейство кри­ тических областей— 1/N(z) для 7' = 2 7, .... пгТ.

3) Если участок кривой Gi(z) для некоторой величи­ ны пересекает критическую область, соответствующую тому же значению 7', то при выполнении соотношения (4-29) существуют автоколебания с периодом п-то по­ рядка, максимальная амплитуда которых определяется значениями Е, D и <р. Если кривые Gi(z) для разных Т' пересекают критическую зону, то в системе может су­ ществовать несколько типов автоколебаний.

Очевидно, что если кривые G1(z) и — 1/Л!(z) не пере­ секаются друг с другом, то система устойчива. На рис. 4-7 показаны кривые, соответствующие критическому случаю для системы, представленной на рис. 4-3, для ча­ стного случая, когда п= 4. Если период квантования ра­ вен 1 сек, то автоколебания с периодом в 4 сек не су­ ществуют. Наоборот, если 7 = 4 сек, то существуют авто­ колебания с периодом 4X4 = 16 сек.

В этом случае.амплитуда колебания s(t) может быть

= 16 сек), и точка кривой Gi(z), соответствующая перио­ ду квантования 7 = 4 сек, для рассматриваемого случая определяет амплитуду s(t)(E= (s(/) |=5 дб.

4-3. ИМПУЛЬСНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С НЕСКОЛЬКИМИ ИМПУЛЬСНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

Определенное преимущество метода гармонического баланса заключается в том, что он легко может быть обобщен на случай нелинейных импульсных систем с не-

Iсколькими импульсными элементами. На рис. 4-8 пока­ зана такая система, причем оба импульсных элемента работают синхронно (см. сноску к стр. 132).

138

Легко показать, что передаточная функция замкну­ той системы будет:

Устойчивость системы тогда связана с выполнением условия

Следовательно, нет нужды производить новые расче­ ты, так как можно использовать те же критические об-

Hip)

Рис. 4-8. Импульсная система с не­ сколькими импульсными элементами.

ласти, что и полученные в предыдущем параграфе. Не­ обходимо только провести кривую Gi(z)H{z) вместо кривой Giiz).

4-4. НЕЛИНЕЙНАЯ ИМПУЛЬСНАЯ СИСТЕМА БЕЗ ФИКСАТОРА НУЛЕВОГО ПОРЯДКА

Нелинейные импульсные системы, рассмотренные выше, имеют обязательно фиксатор нулевого порядка. Это является существенным ограничением метода гар­ монического баланса.

Однако если фиксатор нулевого порядка отсутствует, а импульсный элемент таков, что длительность импуль­

функция непрерывной части), а не Gi(z) [Gi(z) =G(z) + + фиксатор].

Если длительность импульсов не стремится к беско­ нечно малому значению, всегда возможно рассматривать эквивалентные импульсы одинаковой длительности, но с постоянной, не меняющейся в течение длительности импульса в зависимости от ошибки, высотой. Следует отметить, что последнее предположение является допол­ нительным ограничением этого метода.

139

4-5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Метод гармонического баланса, развитый для нелинейных ди­ скретных систем, имеет ограниченное применение почти исключитель­ но для нелинейностей релейного типа. Поэтому интерес к нему зна­ чительно ограничен по сравнению с интересом, проявляемым к ме­ тоду гармонического баланса для непрерывных нелинейных систем.

кривых для разных Т' можно прекратить только, когда общий ход критических областей позволяет предполагать, что пересечений боль­ ше не будет.

Метод пригоден для исследования систем только в моменты квантования и не позволяет, с одной стороны, избегнуть трудностей, свойственных различным методам, основанных на использовании разностных уравнений, а с другой стороны, не позволяет определить переходные характеристики системы.

Кроме того, исследование предполагает, что входной сигнал импульсного элемента синусоидален, и только основная составляю­ щая выходного сигнала реле может быть рассмотрена. В действи­ тельности колебания в нелинейной системе редко бывают синусои­ дальными, и точность метода связана главным образом с возмож­ ностью синусоидальной аппроксимации выходного сигнала s(t) си­ стемы; следовательно, нельзя учесть допущенную ошибку.

Глава пятая

М Е Т О Д Г Р А Ф О В

Передаточные функции для непрерывных систем могут быть ■получены несколькими способами и, в частности, при помощи метода графов (signal flow graph). Эта методика применяется к линейным импульсным системам, когда все величины квантованы. В общем случае, если ошибка — квантованная величина, то нельзя совершенно строго заменить импульсный элемент эквивалентной передаточной функцией.

В этом случае следует поступать следующим образом: сначала построить граф перехода, соответствующий непрерывной части, а за­ тем, исходя из этой схемы, определить граф перехода импульсной части.

Исходя из графа импульсной части, возможно записать опреде­ ленное количество разностных уравнений первого порядка относи­ тельно переменных состояний системы. Получить решение системы разностных уравнений первого порядка достаточно просто, а началь­ ные условия вводятся логически. Этот метод исследования, исполь­ зующий матричную форму записи, носит название метода перемен­ ных состояния.

Если воспользоваться этими двумя подходами, то достаточно полно нелинейность может быть описана с помощью усилителя с пе­ ременным коэффициентом усиления, причем этот коэффициент сле­ дует определять для каждого периода. Метод переменных состояния

140