книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

т. е.

2(1 +D) k< 1— D ’

что является выражением, найденным выше по критерию Рауса —

43

б) Если объект имеет передаточную функцию второго порядка,

то годограф К имеет вид, указанный на рис. 1-28. Условие устой­ чивости, очевидно, идентично полученному из неравенства ( 1-111).

в) Когда импульсный элемент имеет передаточную функцию

первого порядка, годограф К(е^) передаточной функции имеет вид,

указанный на рис. 1-29. Условие устойчивости, получаемое с учетом выражения

44

в) ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНО УРАВНЕНИЯ, СВЯЗЫВАЮЩЕГО ВЫХОДНОЙ

ИМПУЛЬСНЫЙ СИГНАЛ ФИЛЬТРА т-го ПОРЯДКА С ИМПУЛЬСНЫМ ВХОДНЫМ СИГНАЛОМ

Разностное уравнение, связывающее вход и выход линейного фильтра m-го порядка, трудно получить непо­ средственно. Два метода позволяют избежать эту труд­ ность.

1. Метод z-преобразования

Наиболее удобный метод, хотя и требующий исполь­ зования соответствующих таблиц, базируется на z-преоб- разовании. Он будет подробно описан в § 2-6. Однако необходимо обратить внимание на тот факт, что фикса­ тор импульсов, рассматриваемый в этой главе, имеет ступенчатую передаточную функцию. Поэтому при рас­ чете методом г-преобразований необходимо вводить фильтр, учитывающий то обстоятельство, что его вход­ ной сигнал в промежутке между двумя замыканиями ключа — постоянная величина, что эквивалентно z-npe- образованию фильтра совместно с фиксатором нулевого порядка.

Например, для фильтра первого порядка с переда­

2. Описание метода

Возьмем линейный фильтр m-го порядка с переда­ точной функцией L(p), числитель которой соответствует статическому коэффициенту усиления, равному единице. На п-м периоде регулирования (момент пТ) состояние фильтра определяется вектором Yn(p1n, у2п, ..., ут п). Свободное движение, вызванное начальными условиями и соответствующее моменту времелш («+ 1 )7 ’, описыва­ ется соотношением

где А — характеристическая матрица фильтра (Т пред­ полагается постоянным).

Пусть e(t) — сигнал, приложенный ко входу фильтра. Для фильтра m-го порядка т параметров составляют

45

вектор Кп, включающий компоненты (kln, k2n, ..., k2n), которые определяют влияние входного сигнала в конце n-го периода регулирования, а именно в момент («+ 1 )7 ’.

Фильтр, на который действует входной сигнал e(t), описывается матричным уравнением

т. е.

т

i=r

Из системы т уравнений первого порядка необходи­ мо получить уравнение m-го порядка, например у1п, ...

..., у^-п+т- Уравнение (1-136) может быть записано как

у\+1= апУп1+ ^п~ЬапУп2-{- •••+

Уп2+1= аъУ1п-\-кп2-{-а23уп2-\-...-{-а2ту™;

(1-137)

2 I t т

' &т2Уп \ ••‘ \&ттУп

С помощью линейных преобразований вышеприведен­ ных разностных уравнений для п различных значений

легко исключить у1 (1 < / <£ от)-

Можно объединить следующие члены:

аг,Уп + kn .

Этот член подставляется в разностное уравнение и, следовательно, возможно выполнять расчеты, полагая

члены kln равными нулю и затем заменяя член

ah уп1 членом ahyln -\-kln. Так как само уравнение для у\ яв­ ляется уравнением свободного движения фильтра, общее правило сформулируется так.

П ра ви л о . Чтобы получить разностное уравнение т-то порядка, соответствующее пг разностным уравнени­ ям, записанным в форме (1-137), достаточно составить

46

следующий определитель, в котором значения Xi являют­ ся символическими переменными:

где К— постоянная величина.

Исходя из этой символической записи, получаем окон­ чательное уравнение, заменяя члены хДЛ на

ачлены Xmfl!j на уп+та^.

Втабл. 1-2 приведены разностные уравнения, соот­ ветствующие передаточным функциям линейных звеньев,

которые включены последовательно с фиксатором нуле­ вого порядка.

3. Применение метода

Постараемся найти разностное уравнение, связываю­ щее входной сигнал a(sn) с сигналом на выходе линей­ ного фильтра уп (рис. 1-30). На этом рисунке В0 — фик­ сатор нулевого порядка, выход которого постоянен меж­ ду моментами пТ и (п + 1)Г, НЭ — нелинейный элемент.

ч>

Рис. 1-30.

Характеристический вектор состояния линейного фильтра Y„ в момент пТ имеет составляющие уп и zn. Найдем характеристическую матрицу А уравнения, опи­ сывающую свободное движение линейного звена пер­ вого порядка. Этому звену (1 +Т р)-1 при начальном условии zn соответствует выражение

47

+ ( ~ ^ 1 r ^ - D J T . - D j j + T ] ) en

<о

A = exp ( —

Продолжение табл. 1-2