а) ПЕРВЫЙ МЕТОД: ГИПЕРОБЛАСТЬ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ
Пусть нелинейное конечно-разностное уравнение т-го порядка будет:
Xn+m=z f (Хп+т—1, Хп+т—2, ■• Хп, п). |
(7-38) |
Исследование неустойчивости нелинейной импульсной системы, описываемой этим уравнением с помощью вто рого метода Ляпунова, позволяет определить условия, которые должны накладываться на переменные хп+т- и чтобы обеспечить неустойчивость системы. Эти условия определяют в «-мерном гиперпространстве гиперобласть L' (в отличие от гиперобласти L, характеризующей асимптотическую устойчивость).
Чтобы найти область L', характеризующую неустой чивость относительно начальных условий хп, ..., хп+т-и
|
|
|
|
исследуют |
совокупность гиперобластей D'i |
(i = 0, ... |
..., т— 1), |
обладающих следующими свойствами: |
а) |
Гиперобласть D'i принадлежит к гиперобласти L'. |
б) |
Каждая точка P'i(xu xi+i, ..., xi+m_i) |
гиперобла |
сти D'i преобразована согласно уравнению (7-38) в точ ку P'i+1[(xi+i, ..., X i+ m -i), f(Xi, .... X;+m-i)] гиперобласти
D 'i+l-
в) Гиперобласти D'; заключены в гиперобласти D'q. Критерий. Максимальная гиперобласть D 'q, обозна ченная D', получена таким образом, что она заключена в гиперобласти L, определяет гиперобласть начальных условий, достаточную, чтобы гарантировать неустойчи вость системы. За все время переходного процесса ни одна переменная не выходит из -гиперобласти D', т. е.
из гиперобласти L'.
З а м е ч а н и е . Нужно подчеркнуть, что этот критерий является достаточным, но не необходимым и что выбор гиперобласти D' но сит произвольный характер (гиперсфера, гиперобласть).
Следует использовать этот критерий совместно с критерием устойчивости (см. § 7-12) для того, чтобы определить область, отно сительно которой нельзя сделать никакого вывода об устойчивости.
б) ВТОРОЙ МЕТОД: ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЬ ЛЯПУНОВА
Рассмотрим еще раз гиперповерхности Ляпунова, т. е. совокупность точек фазового гиперпространства, для ко торых функция Ляпунова V (связанная с неустойчиво стью) имеет постоянное и положительное значение с.
