книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

ний системы Т' соответствует период периодического решения раз­ ностного уравнения V при тех же, что и система, начальных усло­ виях. Следует отметить, что известны только значения переменных в моменты квантования.

5-4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Описанный выше метод основан на методе графов передаточ­ ных функций и переменных состояния и является строгим методом исследования импульсных нелинейных систем.

Однако недостаток метода обусловлен большим объемом вы­ числений, необходимых для решения разностного уравнения методом последовательных приближений. Применимость метода ограничена

и использованию графа открывается возможность исследования ха­ рактера изменения переменных.

При некотором навыке этот метод можно использовать для вы­ бора величин параметров системы. Однако этот метод носит чисто эмпирический характер.

Глава шестая

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

Теория линейных импульсных систем достигла высо­ кой степени совершенства, и практически решены все задачи, относящиеся к анализу и синтезу систем регули­ рования. Однако теория устойчивости нелинейных им­ пульсных систем еще недостаточно развита. Для того чтобы решить главную задачу устойчивости нелинейной импульсной системы, естественно попробовать применить второй метод Ляпунова, развитый для разностных урав­ нений. На практике известно широкое использование это­ го метода для исследования устойчивости нелинейных не­ прерывных систем. Между тем такой подход весьма эф­ фективен как для непрерывных, так и для дискретных систем регулирования, характеризуется определенными трудностями, связанными в принципе с произволом вы­ бора функции Ляпунова. Такой выбор, предоставляемый исследователю, не позволяет предложить условия устой­ чивости, приемлемые для всех систем, и обусловливает существование лишь достаточных условий устойчивости. Во второй части мы опишем основные критерии, бази­ рующиеся на этом выборе.

Наряду с этими работами существует в настоящее время весьма небольшое число алгебраических критери­

151

ев, не использующих функции Ляпунова, Единственное действительно интересное предложение содержится в геометрическом критерии устойчивости и его различ­ ных обобщениях. Этот подход обладает по сравнению с предыдущими неоспоримым преимуществом благодаря использованию понятия передаточных функций. Это гра­ фическое решение зачастую значительно проще всякого другого аналитического, особенно если порядок системы высокий. Однако оно не приводит к необходимым и до­ статочным условиям. Поэтому области устойчивости» которые он позволяет определить, могут не превышать области устойчивости, полученные различными другими методами, и следует одновременно применять различные критерии.

6-1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

а) КРИТЕРИЙ ЦЫПКИНА

Я. 3. Цыпкин предложил [Л. 6-1, 6-2] метод, исполь­ зующий частотную характеристику непрерывной части нелинейной импульсной системы регулирования. Этот подход к решению задачи устойчивости такой системы регулирования основан на идее В. М. Попова [Л. 6-3, 6-4], используемой для исследования нелинейных не­ прерывных систем автоматического регулирования. Не­ смотря на его изящество и широкие возможности, метод определяет только лишь достаточное условие устойчивовости системы. Однако, так как нелинейная импульсная система достаточно сложна, аналитические методы ста­ новятся весьма громоздкими, и графическое решение за­ дачи становится предпочтительным.

1. Постановка задачи

Исследуем нелинейную импульсную систему, струк­ турная схема которой изображена на рис. 6-1. Она со­ стоит из нелинейного элемента N (е) и из линейной им­ пульсной части (ЛИЧ). Эта последняя содержит им­ пульсный элемент (модуляция амплитуды импульсов произвольной формы) и непрерывную часть G(p).

152

С одной стороны, предиилилим, что нелинейная харак­ теристика (рис. 6-2) удовлетворяет условиям

и, с другой стороны, что линейная импульсная часть устойчива.

Задача состоит в определении условий абсолютной устойчивости системы. Система называется абсолютно

устойчивой [Л. 6-5], если устойчивость системы сохраня­ ется для любых возмущений * и при любых формах характеристик нелинейного элемента, удовлетворяющих условиям (6-1)— (6-3).

2. Уравнения системы

Рассмотрим систему с периодом Т в момент t= tiT. Передаточную функцию, т. е. импульсную характеристи­ ку линейной части, обозначим через G(ti).

Дискретное преобразование Карсона (параметр ко­ торого обозначен через q, а само преобразование через С), взятое от G(n), запишется:

G*{q)=C{G{n)]. (6-4)

* При этом имеются в виду возмущения по начальным услО'

виям {Прим. ред.).

153

Предположим, что линейная непрерывная часть си­ стемы устойчива,т. е.

Полюсы дискретной передаточной функции G*(q) имеют отрицательные действительные части

Re(<7) <0;

3. Достаточные условия абсолютной устойчивости

Говорят, что система автоматического регулирования абсолютно устойчива, если при произвольных начальных возмущениях удовлетворяется условие1

Способ установления условий абсолютной устойчиво­ сти заключается в отыскании решения г(п) уравнения (6-5). По аналогии с работами, выполненными Поповым [Л. 6-3, 6-4], Цыпкин [Л. 6-1, 6-2] вводит вспомогательные функции

r=0

Тогда очевидно, что для О ^ п ^ т

Ет (п) = е (я ).

1 Здесь следует иметь в виду изменения е(п) типа единичного

скачка либо некоторой исчезающей функции времени (см. также комментарии к гл. 6) [Прим. ред.).

154

Образуем следующее выражение:

Эти частотные функции существуют, если выполнены условия (6-7) и (6-9). Подставим уравнения (6-15) и (6-16) в уравнение (6-14). После нескольких простых преобразований получаем:

155

Так как интегралы (6-17) отрицательны, то

Условие (6-18) требует, чтобы константа Сь которая не зависит от ш, была бы положительна. Подставим ве­ личину рт, полученную из (6-13), в уравнение (6-20) и получим оценку

т

(6-21)

п=0

Неравенство (6-21) говорит об ограниченности ча­ стичных сумм некоторого числового ряда с неотрица­ тельными членами.

Ряд, соответствующий этой сумме, сходится при т—>оо, а согласно теореме о сходимости рядов с не­ отрицательными членами

и нелинейной характеристикой jV(e), удовлетворяющей условиям (6-1) — (6-3), абсолютно устойчива, если дей­ ствительная часть дискретной функции Попова положи­ тельна, т. е.

Условие устойчивости (6-24) определяет величину сектора (0, К), внутри которого должна находиться нелинейная характеристика N (е) для того, чтобы систе­ ма была устойчивой. Это условие является только до­ статочным.

156

4.Частотные критерии абсолютной устойчивости

Чтобы сформулировать критерий устойчивости нели­ нейной импульсной системы, введем понятие статическо­ го коэффициента усиления нелинейного элемента

где К (г) является наклоном прямой, проходящей через точку нелинейной характеристики для выбранной вели­ чины е; /Смаке и /(мин — две величины статического коэф­ фициента усиления, определяющих сектор, внутри кото­ рого находится нелинейная характеристика (рис. 6-3).

Нелинейная система, в которой нелинейный элемент заменен линейным элементом с постоянным коэффици­ ентом усиления К, называется линеаризированной си­ стемой управления.

Из соотношения (6-24) следует, что нелинейная им­ пульсная система, нелинейная характеристика которой лежит в интервале О, К, абсолютно устойчива, если со­ ответствующая линеаризированная импульсная система устойчива, т. е. если частотная характеристика G*(jaT) линейной части не пересекает прямую —/С-1 (рис. 6-4).. Наибольшая величина К= Ко, определяющая наиболь­ ший сектор, внутри которого должна находиться нели­ нейная характеристика N(e), получается в результате

проведения вертикальной прямой, касательной к С*(/ю). Величина Ко является критическим коэффициентом уси­ ления. Разность Ко—/(макс характеризует запас устойчи­

157

вости системы. Этот критерий устойчивости может быть, очевидно, распространен на замкнутую систему

с радиусом, равным единице. Прямая V—(—0,5-j-/e>) пре­ образуется в W = {—0,5 -{-/«>) (0,5 + /ш)-1 = ехр { —/ —j— - f-ш(0,25 — да2) - 1]}.

Рис: 6-5.

Положим, что К'о = 0,ЬК0. С точки зрения устойчи­ вости системы приходим к тому же, т. е. к рассмотре­ нию расположения G* (/ю) для разомкнутой системы относительно прямой — Ко -И® и K'0G* (/«*») = 0,5Kfi* (/<*>)

относительно прямой -0,5 -f- /со (рис. 6-5). Тогда очевид­

5. Обобщение критерия устойчивости

Непрерывная часть нейтральна или неустойчива. Пе­ ред этим мы рассматривали только нелинейные импульс­ ные системы, у которых линейная импульсная часть

158

устойчива. Достаточное условие, доказанное выше, при­ годно для любой нелинейной характеристики в интерва­ ле 0, Ко (см. рис. 6-3) и любой устойчивой линейной ча­ сти. Эти условия могут быть использованы, если линей­ ная характеристика расположена внутри сектора, опре­ деленного ранее. Цыпкин обобщил этот критерий на

Рис. 6-7.

системы, у которых эта линейная импульсная часть ней­ тральна или неустойчива: передаточная функция G*(q) имеет полюсы на мнимой оси, в начале координат, или в правой части полуплоскости: Re (q) > 0 ; —я<1ш((?) =^д:.

предположим, что структура импульсной линейной части такая, что для &</СМИн линейный импульсный замкнутый контур устойчив. Критерий Цыпкина может быть приме­ нен ко всей системе, но частотная характеристика линей­

ной части G*(jw) должна быть заменена характеристи­ кой замкнутой части, т. е.

Вышеприведенная система может быть без труда преобразована для случая, когда входной сигнал e(i) равен нулю, в систему рис. 6-8 УИС — устойчивая им­

159

пульсная система. В этом случае ее нелинейная харак­ теристика

Критерий не изменяется, но характеристика нелиней­ ного элемента должна находиться в секторе к,_Ко, а ча­

стотная характеристика линейной части G*i(/co) должна определяться из уравнения (6-28), причем коэффициент усиления k выбран так, чтобы линейная импульсная часть была устойчива.

З а м е ч а н и я . 1. Когда линейная импульсная часть нейтральна [случай исполнительного двигателя p - 'f l+ x p ) -1], ее передаточная функция G*(q) имеет один нулевой полюс, а все остальные полюсы действительны и отрицательны, то k -может быть величиной произвольной и как угодно ма­ лой. Критерий, описываемый (6-24), может быть использо­

ван.

2. Если нелинейная .харак­

па насыщения), то критерий

3. Критерий также пригоден, если нелинейная характеристика

0, Ко или в случае импульсной линейной нейтральной или неустой­ чивой части лежит в интервале к, Ко-

Нелинейная характеристика отрицательна или неста­ ционарна. Рассмотрим нелинейную характеристику, ле­ жащую в секторе г, k рис. 6-9 (на этом рисунке г отри­ цательно) :

Можно предположить, что эта характеристика неста­ ционарна (является функцией времени, т. е. п). Заменим

160