книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы
.pdfпри й^О , |
6(п )> 0, а именно: |
|
|
|
|
||
|
, . . |
( Iе (п)\ |
|
-> |
|
||
|
j 'TTvT Для Iе (п)|<а(л); |
(6-81) |
|||||
|
* (« ) = |
< |
a W |
|
w J. |
||
|
|
|
1 |
для |
|е (и)] > а |
(л). ) |
|
Когда |
е(п)=е(п)=а, |
Ще(п), |
п]=А и |
0 < й (л )< Л |
для 0 < |
||
<а ~1(п) ^ а - 1. |
|
|
|
|
|
|
|
Для разностного |
уравнения (6-78) можно записать: |
|
|||||
|
G* ^ |
= ~ r F ~ r - |
|
(6-82> |
|||
Изображение G* (/to) в дискретной плоскости Найквиста являете®
полуокружностью (рис. 6-19). Условие абсолютной устойчивости Я- 3. Цыпкина выражается неравенством
1 -е -е
|
G* (/«) = |
|
й ’ |
(6-83) |
т. |
1+ в,-Р |
|
||
е. |
|
|
|
|
|
1+ е* |
|
В |
(6-84) |
|
* < _ i + ; r |
= cth- r - |
||
|
Возвращаясь к определению й, нужно, чтобы |
|
||
|
NU, п] |
е ? + 1 |
В |
^ |
|
|
r |
= c t h |
|
т, |
е. |
|
еР4. |
|
|
е№(«) _ |
1 |
(6-85) |
|
|
« < * (« ) — ЩТ)— < |
ег |
||
|
|
|||
|
С учетом нелинейной характеристики вышеприведенное неравен |
|||
ство запишется: |
ер+ 1 |
|
||
|
0 < Л - |
(6-86) |
||
|
< в ?-1 |
|||
|
|
|
||
171
Этот результат, найденный геометрически, будет впоследствии снова получен с помощью второго метода Ляпунова.
Заметим, что это условие является необходимым и достаточ ным условием устойчивости для системы первого порядка. Нелиней ная характеристика могла бы также находиться во втором квадран те при условии, что (см. рис. 6-12)
----- Г > 1 . |
(6-87) |
Пример 6-2. Импульсная система второго порядка с фиксатором. Структурная схема нелинейной импульсной системы приведена на
S ( t )
рТрЩ ■+
J
Рис. 6-20.
рис. 6-20. Ее линейная часть состоит из идеального импульсного эле мента (период Г), последовательно включенного фиксатора нулевого порядка и исполнительного двигателя
G (р) = |
-е~ТР |
( 6-88) |
||
Р2 ( Р + О |
||||
|
|
|||
Найдем 2-преобразование, соответствующее G(p): |
|
|||
|
|
1 |
(6-89) |
|
G* (z) |
•Г |
z — е—г |
||
ИЛИ |
|
— е,—Т |
|
|
G* а “ ) = - ¥ х Г (е1 |
|
(6-90) |
||
1) |
в1 • (е1 « - е ~ т) |
|||
|
||||
Применим первый критерий Цыпкина. Кривая G* (/аз) |
приведена |
|||
на рис. 6-21. Абсциссы точек А и В получаются из уравнения |
(6-89) |
или (6-90) соответственно: |
(6-91) |
OA = Re G*(2— 1) = G*(0); |
|
0S = G*(2= — l) = G*(jt). |
(6-92) |
172
Критерий Цыпкина приводит к неравенству
k < 2т т |
(б-93) |
Отметим, что необходимые и достаточные условия устойчивости для линейной импульсной системы будут:
k< _ J ____________ 2 (i + е ~ т) |
|
(6-94 |
|
I °В\ |
—2 + Т + 2е~т+ Те~т |
|
|
Применим критерий Джури и Ли. На рис. 6-22 изображены кри |
|||
вые G*(z); (z—\)G*(z) |
и (z— 1 )0*(2)—0,5й'((г— 1)G *(z)P = G*1(2). |
||
ОА и ОБ имеют вышеуказанные значения. |
_р |
|
|
|
|
|
|
0 С = |(2 — 1) G* (2)|z_ _ ! = Г — 2 -y-j— |
rf-> |
|
|
|
l + e |
1 |
|
OD = |
|(z — 1) G* (z)|z=1>= T. |
|
|
Из критерия Джури и Ли следует неравенство |
|
ReG* (z) [1 + q(z— 1) ]+*>-«—0,5£'<7[(z— 1) G* (z) ]2^ 0 . |
(6-95) |
Если учитывать кривые, представленные на рис. 6-22, необхо димо, чтобы
Re G*(z) +q Re[G*(z) (г— \)] + k~l—
—0,5k'q[(z—l )G *(z)]^0 . |
(6-96) |
Максимальная величина k получена для максимальных абсолют ных значений составляющих, не содержащихся в сомножителях, т. е.
Т 4-2 |
, |
1 |
k’ q |
(6-97) |
-------f - |
+ |
i r — |
£ - T ' + q T ^ 0 . |
|
Если положить <7= 0, |
мы снова находим условия, |
предложенные |
||
Я- 3. Цыпкиным (6-93). Если q — произвольная положительная вели чина, то, как легко видеть из неравенства (6-97), k' должно удовле творять условию
2 |
(6-98) |
k < k ' < - jr . |
Можно также подобным образом доказать, что единственное условие, связывающее коэффициенты усиления k и k', будет:
2
|
k < k ' < - у ~ |
|
(6-99) |
|
Это условие |
является |
более общим, |
чем |
полученное выше |
Я. 3. Цыпкиным. |
Сравнение |
условий (6-93) |
и |
(6-99) показывает, |
что по мере увеличения периода квантования Т эти два неравенства приближаются друг к другу.
Легко убедиться, что второй критерий Цыпкина обобщает кри терий Джури и Ли на случай нелинейностей, расположенных в сек торе. Однако его использование встречает определенные трудности,
связанные с тем, что неравенство (6-99) должно проверяться при
г=0.
173
г) ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ КРИТЕРИЯХ УСТОЙЧИВОСТИ
Предложенные геометрические критерии устойчиво сти являются обобщением работ, выполненных в 1961 г. Поповым, и в предельном случае, когда период кванто вания стремится к нулю, позволяют вновь перейти к тео реме Попова. Доказательство этих критериев весьма трудоемко, но их использование, в частности первого критерия Я. 3. Цыпкина, не встречает затруднений1.
Нужно также заметить, что можно легко найти сте пень устойчивости системы и показателя качества в за висимости от параметров характеристик нелинейного элемента или параметров импульсной линейной части. Этот подход позволяет тогда исследовать систему е точки зрения чувствительности. В общем случае нелинейная характеристика должна быть без памяти, должна удов летворять определенным условиям; она должна нахо диться до (или после) импульсного элемента. Этот кри терий в его настоящей форме исключает из рассмотрения практически важный случай, когда нелинейность связана с самим импульсным элементом.
Однако не исключена возможность обобщения геоме трических критериев на нелинейные импульсные системы с переменными во времени параметрами, с несколькими нелинейными элементами, с нелинейным импульсным элементом. В общем случае предложенные критерии приводят к условиям абсолютной устойчивости, более широким, чем условия, полученные вторым методом Ля пунова с помощью квадратичной формы (или квадра тичной формы плюс интеграл). Следует отметить по следние работы Попова [Л. 6-12], Халаная )[Л. 6-3, 6-6], Сего и Калмана [Л. 6-14], Сего [Л. 6-15], являющиеся математической теорией предложенных критериев.
В частности, Ж. Б. Пирсон [Л. 6-17] доказал, что неравенство, из которого исходит геометрический кри терий Цыпкина, является необходимым условием суще ствования функции Ляпунова квадратного типа; однако построение функции Ляпунова исследуемой системы при выполнении неравенства Цыпкина не всегда возможно, использование геометрических критериев является более простым, чем использование большинства критериев, которые будут рассмотрены в следующем параграфе.
1 Простое доказательство частотных критериев дано Якубо вичем (Прим, перев.).
174
6-2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
а) МЕТОД ЛЯПУНОВА
Для исследования устойчивости нелинейных систем могут быть использованы различные по своей трудоем кости методы, но практическое распространение для ис следования нелинейных импульсных систем получил только один алгебраический метод. Этот метод, назван ный вторым методом Ляпунова, отличается от первого, основанного на рассмотрении первого приближения раз ложения уравнения системы в ряд Тейлора (теорема об устойчивости линеаризованной системы в малом).
Второй метод Ляпунова (прямой метод Ляпунова) [Л. 6-18] благодаря своей универсальности лег в основу важных работ по исследованию нелинейных систем ре гулирования. Цель этого метода заключается в решении вопросов устойчивости нелинейных дифференциальных уравнений в зависимости от вида этих уравнений, но без определения общего решения самих уравнений.
Однако исследование линейных и нелинейных им пульсных систем в тех случаях, когда нелинейность обу словлена как свойствами самого импульсного элемента, так и свойствами статического нелинейного элемента, приводит к исследованию разностных уравнений в пер вом случае с постоянными коэффициентами, во втором случае с нелинейными коэффициентами. Т. Ли [Л. 6-19] и В. Хан [Л. 6-20] применили второй метод Ляпунова для исследования разностных уравнений. После того, как будут определены различные виды устойчивости, имею щие место в нелинейных импульсных системах, будет дано упрощенное доказательство теоремы Ляпунова для систем, описываемых разностными уравнениями, и опи саны многочисленные применения достаточных крите риев устойчивости.
Каждый критерий используется для определенного класса нелинейных импульсных систем, это является неизбежным следствием произвольности выбора функ ции Ляпунова. Как следствие этот произвольный выбор открывает неисчерпаемый источник для публикаций и заставляет искать для каждой задачи частную функ цию Ляпунова.
175
1. Устойчивость положения равновесия
Существует множество определений устойчивости. В работе Самсоне и Капри [Л. 6-21] приводится восемь различных определений, причем каждое из них стремит ся либо уточнить, либо дополнить другое. Действительно, в отличие от линейных систем (устойчивых или неустой чивых) нелинейная система может допустить при изме нениях возмущений как устойчивые, так и неустойчивые частные решения. Попробуем привести основные опреде ления устойчивости положения равновесия (в смысле Ляпунова) *.
Локальная устойчивость. Состояние равновесия си стемы при х = 0 устойчиво, если (и только если) неболь шие отклонения x(t) по отношению к этому состоянию, вызванные небольшим возмущением, остаются ограни ченными, когда это возмущение снимается, и меньшими, чем заранее фиксированная величина.
Локальная устойчивость исследуется для линеаризи рованных моделей системы при наличии малых возму щений.
Асимптотическая устойчивость. Если отклонение x(i)
относительно некоторого состояния равновесия х = 0 со временем стремится к нулю, т. е. lim x(t) —0, то это со-
стояние равновесия называется асимптотически устойчи вым.
Система может быть устойчивой и не обладать асим птотической устойчивостью. Если x(t) стремится к нулю монотонно, то устойчивость системы является асимптоти чески монотонной.
Глобальная устойчивость. Система глобально устой чива, если она устойчива для всех значений, которые могут принять переменные в исследуемой задаче. Ло кальная устойчивость является необходимым, но не до статочным условием глобальной устойчивости. Понятие глобальной устойчивости используется для системы, находящиейся в некоторых условиях, и это понятие необ ходимо для того, чтобы определить общие свойства системы в определенной области переменных, характери зующих систему.1
1 По поводу приводимых ниже определений см. комментарии к гл. 6 (Прим. ред.).
176
Неограниченная устойчивость. Неограниченная устойчивость будет в том случае, если глобальная устой чивость обеспечивается при любой области рассматри ваемых переменных, т. е. для начальных условий, кото рые могут быть расположены во всем пространстве пе ременных. Заметим, что эти определенияустойчивости используются в теории автоматического регулирования и что они могут быть сформулированы математически. Работа А. М. Летова [Л. 6-22] является прекрасным изложением этих определений.
2. Обобщение второго метода Ляпунова на разностные уравнения.
В работах (Л. 6-20, 6-23] В. Хан применил метод Ля пунова к разностным уравнениям и обобщил его на не линейные импульсные системы. Р. Е. Калман и Ж. Е. Бертрам [Л. 6-24] вновь рассмотрели эту задачу* но в более труднодоступной форме. Мы предлагаем [Л. 6-25] менее строгое, но более простое доказательство...
Описание дискретного метода Ляпунова. Предпо ложим, что нелинейное разностное уравнение «-го по
рядка имеет вид: |
|
|
f(Xn', Хп+lj . • 4 |
~ 0, |
(6-100) |
где хп, ..., Хп+т— ступенчатые |
функции. |
а точка рав |
Начальные условия xit ..., |
хт заданы, |
|
новесия определяется как |
|
|
Хп+т~ •- .~Хп = 0 |
(6-101) |
|
и предполагается приведенной соответствующей заменой переменных к началу координат. Если возможно найти скалярную функцию V(хп+т, ■■■, хп), удовлетворяющую условиям: а) функция V(хп+т, ..., хп) везде положи тельна, кроме начала координат, где она равна нулю; б) первая разность AV(хп+т, ..., хп) этой функции от рицательна (в начале координат она равна нулю)1, то решение хп уравнения (6-100) асимптотически устойчи во, т. е.
Ншхп= 0. |
(6-102) |
/г->оо1 |
|
1 Такие функции именуются соответственно |
положительно и |
отрицательно определенными (Прим, перев.). |
|
12— 352 |
1 7 7 |
Приведем доказательство от противного. Функция V(xn+m, •• хп) является функцией последовательности одной переменной п, которую мы обозначим V(n). Со гласно условию «б» эта последовательность является монотонно убывающей. Следовательно, существует ее предел. Докажем, что предел может быть только нулем. Предположим, что предел равен положительной величи не Ь Ф 0. В соответствии с определением пределов для всякого произвольного положительного числа е возмож но найти число N, для которого, если n>N, выполняется неравенство
|V(п)—L\ <е. |
(6-103) |
Это неравенство можно написать в виде
L—е < У (н )< А + е. |
(6-104) |
Согласно условиям «а» и «б» функции V и АУ равны нулю только в начале координат: хп — •■■хп+т-i= 0. Так как предел L положителен и не равен нулю, то V(n) отличается от нуля, и всегда возможно найти такое по ложительное число ц, что для всякого tl>N
|
A V ( N ) < n < 0 ; |
|
1 |
(6- |
||||
|
........................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
AV (N |
k — 1) < |
< 0, |
) |
|
|||
,: (A,.+ |
i , - |
v w |
< |
y |
’ < 0 ; ................... |
|
\ ( б . ,» , |
|
V(N + k ) - V ( N + k — 1 )< — tj< 0 . J |
||||||||
Возьмем сумму двух членов неравенств (6-106) |
||||||||
V(N + k) = |
V (N)+ |
N+ k |
|
|
||||
£ Д У (л )< |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
N + k |
|
|
|
|
|
|
< V(N) - |
j |
tj= |
V (IV) - |
fttj, |
(6-107) |
||
■откуда |
|
|
|
N |
|
|
|
|
0< V(N+k) <V(N) —kr\. |
|
(6-108) |
||||||
|
|
|||||||
Применим |
для |
любого |
значения |
k |
неравенство |
|||
(6-104) к выражению |
(6-108): |
|
|
|
||||
0<L —г< V(N + k) < V(N) —kr\ < L+ е.
(6-109)
178
Если k— |
>-оо, неравенство (6-109) |
не удовлетворяется |
и ненулевой |
предел L не существует. |
Согласно условию |
«а» V(п) может быть равен нулю только в начале ко ординат, где все переменные равны нулю, откуда имеем:
lim хп — 0. Я-»00
Система в этом случае асимптотически устойчива.
З а м е ч а н и е . Недавно, исходя из рассмотрения числовой по следовательности, Р. Гессинг [Л. 6-26] предложил новое доказатель ство этой теоремы Ляпунова [См. также (6-58). Прим. ред.].
Теорема неустойчивости. Относительно неустойчиво сти Ляпунов сформулировал две теоремы.
Первая теорема Ляпунова о неустойчивости1. Если
существует функция Ляпунова |
V(х, t), непрерывная |
в области G и полная производная которой V отрица |
|
тельно определена в G(V, Е/> 0), |
то положение равно |
весия х = 0 неустойчиво. |
|
Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости. Пред положим, что если в области D(h0, to) существует огра ниченная функция V(х, t), обладающая следующими свойствами:
а) полная производная V'=dV/dt имеет вид:
V' = aV+W(x, |
t), |
(6-110) |
где а — положительная константа, a |
W(х, t ) — полуоп- |
|
ределенная функция; |
в 0, |
то существуют во |
б) W(х, t) не превращается |
||
всей области D{hb ti) Л произвольно большое и hi про
извольно малое, |
величины х, такие, что V(х, t) |
и W(Xj t) будут одного |
знака для t>ti, и положение |
равновесия неустойчиво. |
|
Эти две теоремы обобщили Н. Г. Четае,в [Л. 6-27] и ряд других советских авторов, но, как нам известно, не было сделано никаких обобщений, касающихся систем,, описываемых разностными уравнениями. Можно, одна ко, считать, что это обобщение может иметь место (см.. [Л. 6-56]).
1 Во избежание недоразумений приведем более строгую форму лировку этой теоремы. «Если для дифференциальных уравнений си стемы можно найти функцию V(x, t), такую, что ее полная произ
водная по времени V(x, t), составленная |
в силу этих уравнений, |
есть функция знакоопределенная, а сама |
функция V не является |
знакопостоянной функцией знака, противоположного с V(x, t), то
движение системы неустойчиво». |
(Прим, ред.) |
12* |
17ft |
3. Критерий Калмана —■Бертрама
Основываясь на теореме Н. Н. Красовского [Л. 6-28] относительно нелинейной разностной системы, Р. Е. Калман и Ж. Е. Бертрам [Л. 6-24] предложили алгебраиче ский критерий устойчивости, базирующийся на прямом методе Ляпунова. Следует сравнить этот критерий с кри терием, основанным на работах С. Банаха, который бу дет описан ниже [см. § 6-2,6 (3)].
По Калману и Бертраму функция f(x) является функцией сжатия, если
llf(Jc)IKIIxU; f(0)= 0 . |
(6-111) |
Символом |[х|| обозначена норма х. Норма является функцией, которая приписывает каждому вектору (или
точке) |
х в данном пространстве действительное число |
||х||, такое, что: |
|
а) |
||х||^0 для любого х. |
б) |
11х + у1К||х|| + ||у|| для любых х я у. |
в) |
Нctx||= |а| •||х|| для любого х и любой комплекс |
ной константы а. |
|
г) |
||х||= 0, включая х = 0. |
Эвклидова норма, например, есть величина, опреде ляющая расстояние между некоторой точкой эвклидова пространства до начала координат:
II х |= 1 /^ S
гг=!
Критерий. Рассмотрим дискретную автономную дина мическую систему, описываемую векторным разностным уравнением
x(4+i) —h[x(tk)]; h ( 0)=0. |
(6-112) |
Это уравнение эквивалентно системе п разностных уравнений (х*— переменная состояния);
Xi ( 4 + l ) —/ i j f X j (th) >. • X n ( f f t ) ] > I= l, . . ft-
(6-113)
Если h является ограниченной по норме для всех х, то система (6-112) в этом случае асимптотически устой чива, и одна из ее функций Ляпунова будет;.
1/ (х )= ||х ||. |
(6-114) |
180