книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы
.pdfПреобразование
Лапласа
Е ( Р )
1
е-ЯР
1
Р
1
Рг
1
~РГ
1
nfc+l
L(па)
Рр
Р+ а
Т а б л и ц а 2-1
Преобразования Лапласа, z-преобразования, модифицированные г-преобразования
Функция |
2-преобразование |
Модифицированное 2-преобразование Е (г, т ) |
|
времени |
|||
|
|
e(t)
»(0
(t - k T )
и (О
t2
2
1
~Г
g ~ a i
£(2)
Z-- 1
Tz
( г - \ у
|
T*z ( z + |
1) |
||
|
2 (z — I)3 |
|||
lim |
(— 1)* |
д* f |
z |
|
kt |
да* z — е—аТ |
|||
а->О |
||||
z — а
z ■— е,—аТ
Е (г, т)
1
£- k - 1+т
_ j__
Z — ■ 1
|
|
тТ |
Т |
|
г — 1+ |
( г — I) 2 |
|
_г |
m |
2m |
1 |
2 I z — 1 |
(z — l )2 ^ ( z — l )3 |
||
|
[' |
|
|
|
|
dk ( |
e~amT |
-aT
am z — a
„—amT z — e—aT
Преобразование |
Функция |
Лапласа |
времени |
1
(р + |
я )2 |
t e ~ a i |
|
|
|||
1 |
|
t * |
|
(.P + a ) h + l |
kl е “ |
||
а |
|
1 — |
|
р ( р + |
а) |
||
|
|||
а1 — e ~ at
Р2{ р + |
а) |
( |
a |
а |
|
|
sin a t |
р 2 - f a 2 |
|
||
|
|
||
Р |
|
|
cos a t |
р* + |
а* |
|
|
|
|
||
а |
|
|
shat |
р2— |
а2 |
|
|
|
|
||
z-преобразование
T z e ~ aT
(z — e ~ aTY
( — 1)* |
d * |
/ |
z |
\ |
kl |
d a * |
\z _ |
e~ aT |
) |
(1 — e - aT) z
(z—1) ( z — e - aT)
T z
( г - 1 ) 2
(1 — e ~ aT) z
a (z — 1)_(z — e ~ 'aT)
z s x n a T
z2 — 2zcosar -f- 1
z (z — cos aT) z2 — 2zcos aT + 1
zstiar
z2 — 2zcha7" + 1
Продолжение табл. 2-1
Модифицированное z-преобразование E (z, m)
Te~~amT [e ~ aT + |
m (z - |
e ~ aT)] |
|||
|
(z — e ~ aTY |
|
|||
( — |
1Y |
dk |
f |
e - amT \ |
|
kl |
d a * [ z - e ~ aT J |
||||
|
1 |
|
e~~amT |
||
2 — |
1 |
Z — e ~ aT |
|||
|
|
|
1 |
|
|
T |
' |
m T ~~ ~~a |
+ |
p—amT |
|
( г - 1)2 |
2 |
i |
|
||
’ |
|
|
|||
z sin m a T + sin (1 — m ) a T |
|||||
z2 — 2z cos a T |
+ |
1 |
|||
z cos maT — cos (1 — m) aT |
|||||
z2— 2z cos aT + |
1 |
||||
z sh maT -f- sh (1— m) aT |
|||||
|
z2 — 2z ch aT + |
1 |
|||
Преобразование |
Функция |
z-преобразование |
|
Лапласа |
времени |
||
|
р2—а1 |
ch at |
Р (Р2 + а2)
р2 (^2 + а2)
1 />(/> + я)2
b — а
(Pi+ я)(р + Ь)
4 - Г“ (0 —
— cos at]
1
t ■— —£■ sin at
r f - M O -
— (1 +at)e~at]
e~at— e ~ bt
z(z — ch aT)
z2— 2z ch aT + 1
1 a
z (z — cos aT) z2— 2г cos aT + 1
Tz |
|
(2 -1 )2 |
|
1 |
2sina7' |
a z2— 2г cos aT + |
|
2 |
z |
z — i |
2 — e - aT |
„ |
—aT |
aTe z |
|
|
e~aT)2 |
z - e ~ aT |
z - e ~ bT |
Продолжение табл. 2-1
Модифицированное z-преобразование Е (2, т )
z ch maT — ch (1 — m) aT
|
|
z2— 2г ch aT + 1 |
|
|
1 __ z cos amT— c o s ( l — m) aT |
||
|
— 1 |
z2— 2z cos a T 1 |
|
mT |
T______ z sin maT + sin ( 1 — m) aT |
||
z — l ”1' |
( z — l )2 |
a (z2— 2 z c o s a 7 ' + l ) |
|
1 |
( |
1 4- amT |
aTe~aT |
|
|
|
„ —amT |
z — 1 ~ U |
— e~aT |
(.z — e~aT)2 |
|
|
|
g —amT |
g —bmT |
|
z — e~ аГ |
z — e~bT |
|
<У)
о
ф*
Преобразование |
Функция |
2-преобразование |
Лапласа |
времени |
|
(&— а ) (р + с)
(р + а) {р + Ь)
ab
Р(Р +а ) (Р +Ь)
а2
Р{Р + «)2
а2 ( / > + 6 )
Р(Р + а)2
ъ
(р + а)2 + Ь2
' №?р + а 4*1.
(р + а)2 + Ь2
(с — a) e~at+ |
{ c — a)z |
(& — c)z |
|
+ (Ь — с) е ~ ь* |
z — e~aT |
z — e~~bl |
|
Ье~а* |
z |
, |
bz |
1 + а — Ь |
z — 1 |
{a—b) (z — e~aT) |
|
ае~ь* |
|
|
az |
а — Ь |
(a - b ) (z - e - br) |
||
|
|
z |
z |
1— (\+at)e-“ t
b — be~at +
. + а (а — b)te~at
e~at sin bt
e~at cos bt
2 — 1 |
2 — e~aT |
|
aTe~aTz |
(2 — e~aT)2 |
|
bz |
bz |
2 — 1 |
2 — eTaT |
|
—aT |
a(a — b) Те z |
|
|
(2 — e~ aT)2 |
ze~~aTsin bT |
|
z2—2ze~~aTcos bT-\-e~2aT |
|
z2— ze~~aTcos bT
z2— 2ze~aTcos ЬТ-\-e~2ar
Продолжение табл. 1-2
Модифицированное z-преобразование E (z, m)
|
|
(c - a )e ~ amT |
, |
( b - c ) e~bmT |
|
|
|
|
z — e~aT |
|
|
z - e - bT |
|
i |
, |
be~amT |
|
ae~-bmT |
|
|
2 |
1 |
(a — b) (z — e~aT) |
(a — 6) (z — e |
|
||
|
1 |
1 + amT . |
|
aTe~aT |
|
|
|
|
e—amT |
|
|||
z — 1 |
2 — e~aT |
(z |
— e~ aT)2 |
|
||
b |
1 |
amT (a — b) — b , |
aT {a— b) e~aT ' |
— amT |
||
2 — 1 ‘ |
z ~ e ~ aT |
' |
e |
|
||
{ z - e - aT)2 |
|
|||||
|
\z sin mbT ~\-e |
aTsin (1 — m) bT\ - a m T |
|
|||
|
|
z2— 2ze |
aT cos bT + e~2aT |
|
||
|
[zzosmbT— e |
^ c o s ^ — m) bT] e amT |
|
|||
|
|
z2 — 2ze |
aT cos bT-{-e 2aT |
|
||
Учитывая определение преобразования Карсона кван тованной функции, возможно переписать соотношение
(2-18) в виде
где R eg > c — абсцисса сходимости f(t).
Но F*(p) и G*(p) — функции только етР. Можно произвести подстановку 2 вместо етР и г вместо егч. Та
ким образом |
F*(q) |
будет |
функцией г |
или |
F*(r), |
|
a G* (р—q) — функцией z/r или |
G(z/r). С |
другой сто |
||||
роны, |
|
|
|
|
|
|
|
dq= (T-leTi)dr=(T~ir-i)dr-, |
|
|
|||
C {in t)g (t)n T (t)} = |
z{[f(t)g(t)}} |
|
|
|||
|
|
Г |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
= S |
|
|
|
|
|
(2-20) |
|
|
|
Г |
|
|
|
где контур Г — окружность радиуса еТс. |
|
теоремы |
||||
Уравнение |
(2-20) |
выражает |
содержание |
|||
о свертке z-преобразований произведения двух функций времени при известных 2-преобразованиях сомножите лей. Очевидно, что эта теорема может быть обобщена на случай перемножения нескольких дискретных функций. В общем случае при помощи теоремы Коши о вычетах можно найти интеграл комплексной свертки. При приня тых предположениях (интеграл равен нулю на полу окружности с радиусом, равным бесконечности) полу чаем:
Z [f(0 g (0 ] = S R esr-1F(r) = -L R e s G |
(2-21) |
Выбор метода зависит от числа и сложности полюсов функций F (р) и G(p).
5—35 2 |
65 |
2-2. ОБРАТНОЕ z-ПРЕОБРАЗОВАННЕ
Дискретная функция f(t) для t=tiT, т. е. f(nT), мо жет быть получена из F(t) с помощью обратного г-пре- образования. Эта операция обозначается:
f(nT)=Z~\F(z)], |
(2-22) |
где F(z) — ^-преобразование /(/).
Следует заметить, что обратное 2-преобразовапие по зволяет найти значения функции времени в моменты
квантования. Для того чтобы |
получить f(tiT), можно |
|||
воспользоваться несколькими методами. |
|
|
||
|
|
а) |
МЕТОД ВЫЧЕТОВ |
|
Умножим на zn~l каждый член уравнения |
(2-1). По |
|||
лучим: |
|
|
|
|
zn~lF(z) = f (0)zn~l+ f (T)zn~2+ ... |
|
|||
... |
+f(nT)z~l+ ... |
|
|
|
Но согласно теореме Коши |
|
|
|
|
I = ~ ^ z hdz ( 1 |
для k= |
— 1; |
(2-23) |
|
с |
\ 0 для k ф — 1, |
|
||
где С — контур интегрирования, охватывающий начало координат.
\(пТ) = ^ j'z^'F(z) dz = SRes F (г) г” ' 1. (2-24)
С '
Контур С охватывает начало координат, а также по люсы F(z).
Пример 2- 1. Найдем оригинал выражения (2-3)
Тг
н д = |
(2л 1)г-; |
|
1 Г |
Tzn |
|
ПпТ) - ъ 2 г \ |
JT=Vidz' |
|
С’ |
|
|
где С' — контур интегрирования, |
охватывающий |
начало координат |
и двойной полюс 2= 1. |
|
|
Таким образом, получаем: |
|
|
ЦпТ)=пТ. |
(2-25) |
|
66
•б) РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ПО СТЕПЕНЯМ г- '
Выражение (2-2) позволяет утверждать, что {(пТ) является ко
эффициентом при z ~ n разложения |
в ряд по степеням |
г -1 выраже |
|
ния F(z). |
|
|
|
Пример 2-2. Вернемся к предыдущему примеру и найдем ори |
|||
гинал |
|
|
|
F |
— |
( г — I) 2 ’ |
|
откуда |
|
|
|
F (2) = 7 [ 'F + ^ ~ + - J r + - '- + ^ + - - - |
: |
||
/(пТ) = пТ.
в) МЕТОД РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Этот метод подобен методу разложения на простые дроби, пред ложенному для дискретного преобразования Карсона. Он заключает ся в разложении F(z) на простые дроби таким образом, чтобы выделить члены вида z(z—е~аТ)~ 1, оригинал которых равен e~ai. Для того, чтобы получить сумму членов вышеуказанного вида, не обходимо разлагать z~lF(z), а не F(z).
Пример 2-3. Ищем оригинал
F(z) |
1 |
(1 __ e~aJ)z |
|||
"ТГ 1 |
'ы |
1 |
|||
откуда |
|||||
|
|
|
|
||
F(z) _ |
1 |
|
1 |
||
г |
|
2 — 1 г _ е-« г ’ |
|||
|
|
г |
|
z |
|
F(z)' ~ г - |
1 |
г - е-«т |
|||
Таблица 2-преобразований позволяет написать:
}(пТ) = 1— е~апТ.
(2-26)
(2-27)
2-3. МОДИФИЦИРОВАННОЕ z-ИРЕОБРАЗОВАНИЕ
Во многих дискретных системах, в частности в гиб ридных системах, знание выходной величины в про межутке между моментами замыкания импульсного эле мента позволяет получить очень важные при изучении динамики системы сведения. Так как ^-преобразование не позволяет произвести полное исследование этих си стем, то для линейных систем была предложена моди фикация этого метода. Основа метода заключается во
5* |
67 |
введении фиктивного запаздывания АТ и в изменении АТ от 0 до Т для того, чтобы судить, что происходит между двумя моментами квантования.
а) ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Чтобы получить значения функции в f(t) моменты, отличные от i=nT (п= 0, 1, 2 ...), в /(/) вводится неко торое запаздывание АТ (рис. 2-3). Для того чтобы не рассматривать при вычислении преобразования вопросов сходимости, обычно производят
замену переменных
Л = 1—/я; 0^/nsg: 1, (2-28)
причем время t выражено при помощи соотношения
/ = (я— 1+m)T\ я = 0, |
1, 2, ...; |
0 < т < 1 . |
(2-29) |
Рис. 2-3. Введение запазды вания ДТ.
Модифицированное г-преоб- разование функции f(t) опреде ляется с помощью выражения
00
F (г, щ) = |
Zm Щ= S [/(« - |
1 + m) T\ z~n. |
(2-30) |
|||
|
|
|
n=0 |
|
|
|
Доказывается, |
что |
|
|
|
||
lim zF (z, m) = |
F (z), |
так как t = |
0+, |
T+,..., nT+\ |
(2-31) |
|
m^O |
|
|
|
|
|
|
lim F (z, m) = |
F (z), |
так как £ = |
0-1, T~, nT~. |
(2-32) |
||
т->1 |
|
|
|
|
|
|
Так как оригинал функции от z не содержит разры вов, эти две функции эквивалентны. В табл. 2-1 даны модифицированные г-преобразования некоторых функ ций.
б)
Ниже мы их приводим без доказательств.
Теорема о начальном значении
lim f (t) = |
lim z F (z, m). |
(2-33) |
t-+0 |
z-+co |
|
|
m-+0 |
|
68
|
Теорема о конечном, значении |
||
lim f[(n, |
т)Т]= Т\т —— - F (z , т). |
(2-34) |
|
Л-»00 |
2-И |
2 |
|
Теорема о смещении в области действительного переменного
Zmf(t + k T ) = z hT ' ( z , n i ) |
(2-35) |
при k целом, начальные условия равны 0.
Теорема о смещении в области комплексного переменного
Zm[e-“‘f(t)] = Zm[f(p + a)]=
= e- a T ( m - l ) F ( Z e a T y m ) . |
(2-36) |
Теорема о производной
Производная по ^от/(/) в момент t=(n + m— 1) совпа дает с производной по m от f(n + m— 1):
Zmlf' (t)\ = - ^ F (z>mY
Z m \ f " ( t ) \ = - ^ - F { z , m ) . |
(2-37) |
Теорема свертки в комплексной области
Применяя ту же схему расчета, что и для г-преобра- зования, получаем:
Zm [ {t,/ m) g ( t , m)\ = |
—1F ( pm), X - j |
p |
|
Г |
|
XG (jp, rnjdp= ^ P ~ ' G ( z , m) F ( - y , m) dp. (2-38)
r |
ч |
в) |
ОТЫСКАНИЕ ОРИГИНАЛА |
ПО МОДИФИЦИРОВАННОМУ г-ПРЕОБРАЗОВАНИЮ
Основное свойство модифицированного z-преобразо-
•вания заключается в том, что оно дает информацию о выходном сигнале системы между моментами кванто вания. Разные методы позволяют получить оригинал по модифицированному 2-преобразованию.
69
1. Метод вычетов
Этот метод является некоторым обобщением предло женного для z-преобразования метода, причем m рас сматривается как параметр при интегрировании
|
|
f (пТ) = |
|
1F (2) dz. |
(2-39) |
|||
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
Пример 2-4. Найдем оригинал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
С ~ тТ |
|
|
|
||
|
|
/ ■ ' ( г , « ) = - ----------- |
j------------------------- |
2 — |
|
|
|
|
|
|
Л — |
1 |
с |
|
|
|
|
|
|
1 Г |
г " |
|
е ~ гпТ |
(2-4°) |
||
|
[ (пТ, т) = |
|
~J— |
= r dz’ |
||||
где |
С — окружность |
с центром |
в начале |
координат |
2-плоскости, |
|||
охватывающая полюсы 2 =1 и 2= е -7’ : |
|
|
|
|
|
|||
f (п, |
Т, /п) ~ е т Т |
; R es------------- |
|
т Н" Res |
х |
<■э |
||
|
|
U= 1(2— 1)(2 -С |
) |
г = е - г ( 2 — 1)(2 — С т ) |
J |
|||
откуда получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (пТ, m) —е |
тТ |
|
|
|
(2-41) |
||
2. Метод разложения в ряд
В общем случае F (z, гп) задано в виде отношения полиномов по степеням г, деление числителя на знаме натель позволяет разложить это отношение в ряд по степеням г-1:
*-/ |
|
F (z, m) = Yi di N z~\ |
(2-42) |
»=о |
|
где А и j — величины наивысших степеней г в числителе
и знаменателе |
F(z, гп). Коэффициент |
при |
z~n равен |
|
f (пТ, гп). |
|
|
|
|
Пример 2-5. Рассмотрим |
|
|
|
|
|
z |
е—т Т |
|
|
|
/•(г, m) = -JZTT |
,-Т |
|
|
Разложение в ряд по степеням г -1 выражения F(z, m) дает: |
||||
F(z, |
rn) = e - mT z - ' + e-rnT (\ — е ~ т) |
г - 2 |
+ |
|
... + |
e ~ mT (1 — c~nT ) (1 — e~T) z ~ n + |
(2-43) |
||
70