книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

Риг. 2-4. Оригинал мо­ дифицированного г-пре- образования.

2-4. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИМПУЛЬСНЫМ СИСТЕМАМ

Широкое использование метод г-преобразования на­ ходит при исследовании линейных импульсных систем.

а) ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Рассмотрим систему с передаточной функцией G(p) и импульсными элементами, включенными так, как это показано на рис. 2-5. Определяем импульсную переда­ точную функцию как отношение G(z)=S(z)/E(z), при­ чем предполагается, что выходной сигнал также кван-

туется с той же частотой некоторым фиктивным импульсным элементом, работающим синхронно с дей­ ствительным. Найдем импульсную передаточную функ­ цию замкнутой системы, показанной на рис. 2-6.

71

Символ над GH(z) означает, что ^преобразование берется для произведения функций GH. Именно так и следует поступать, а не использовать произведение z-преобразований G и Я.

б) МОДИФИЦИРОВАННАЯ ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Модифицированная импульсная передаточная функ­ ция, соответствующая системе, изображенной на рис. 2-5, определяется как отношение G(z, m )=S(z, m)/E(z). Предполагается, что выходной сигнал как бы пропу­ скается через элемент запаздывания (1—т)Т и затем уже квантуется фиктивным импульсным элементом.

Таким же образом находится импульсная передаточ­ ная функция замкнутой системы, изображенной на рис. 2-6:

2-5. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ ИМПУЛЬСНОЙ СИСТЕМЫ

Главной задачей при исследовании линейных систем является отыскание условий устойчивости. Для линей­ ных непрерывных систем задача сводится к тому, чтобы корни характеристического уравнения F (р) были распо-

72

ложены в левой полуплоскости р. Эти необходимые и до­ статочные условия были развиты для импульсных систем, описываемых с помощью метода ^-преобразования. Шур [Л. 2-10], Кон {Л. 2-11] и Марден [Л. 2-12] доказали, что корни устойчивого характеристического дискретного уравнения F(z) на плоскости z должны располагаться внутри окружности единичного радиуса, Э. И. Джури [Л. 2-13] предложил также упрощенный метод. Кроме того, были развиты также и геометрические критерии, являющиеся обобщением критерия Найквиста.

Мы укажем только лишь на критерии, нашедшие наи­ большее практическое применение.

а) АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

1. Критерий Шура — Кона

Дискретная линейная система устойчива, если лю­ бому ограниченному входному сигналу соответствует ограниченный выходной. Импульсная система, изобра­ женная на рис. 2-6, устойчива, если корни ее характе­ ристического уравнения

по модулю меньше единицы (за исключением случая скрытых колебаний ‘ ) .

Критерий Шура — Кона позволяет узнать, будут ли

корни по модулю меньшими единицы.

Для этого образуют определитель порядка 2/г

k= 1, 2, ..., п; ап сопряжено с ап.

1 Под устойчивостью системы понимается устойчивость дискрет­ ной последовательности sn.

73

Критерий. Полином F(z) имеет все корни, меньшие единицы, если Д*<0 при к нечетном и А/г> 0 при к чет­ ном.

Пример 2-8. Рассмотрим импульсную систему, представленную на рис. 1-9. Она может быть представлена в виде классической структурной схемы рис. 2-7. Импульсная часть системы характери­ зуется тем, что выходной сигнал в промежутках между моментами п'Г и (п+ 1)Т постоянен и равен nkren (рис. 1-10). Система состоит из интегратора с последовательно включенным фиксатором нулевого порядка, а ее передаточная функция будет:

2. Модифицированный критерий Рауса

Критерий Рауса позволяет узнать, являются ли все действительные части корней полинома отрицательными.

74

Эта теорема применяется к /преобразованному с помо­ щью билинейного преобразования уравнению (2-50)

Все действительные части корней F(w) отрицатель­ ны, если все миноры А; положительны:

Пример 2-7. Вернемся к примеру, приведенному в предыдущем

Следовательно, нужно, чтобы й<2.

3. Упрощенный критерий Э. Джури

Э. И. Джури [Л. 2-13] предложил в 1962 г. упрощен­ ный критерий, позволяющий получить условия устойчи­ вости для систем второго, третьего, четвертого и пятого порядков.

1. Пусть

Условия устойчивости записываются в виде нера­ венств

75

б) ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

1. Обобщение критерия Найквиста

Критерий Найквиста, предложенный как метод иссле­ дования устойчивости линейных непрерывных систем, применим и для дискретных систем. Задача состоит в построении годографа функции

равно количеству неустойчивых полюсов функции G(z).

Пример 2-8. Рассмотрим еще раз систему, изображенную на рис. 1-12, для которой

76

Этот важный метод, используемый при синтезе непре­ рывных систем, находит применение и для дискретных линейных систем. Для того чтобы узнать, устойчива ли система, строим геометрическое место корней, т. е. гео­ метрическое место корней 1+ G(г) = F {z) =0, при k, изменяющемся от 0 до оо, и определяем значения к, для которых это геометрическое место расположено внутри окружности единичного радиуса. Правила те же, что и

3. d ветвей годографа исходят из d полюсов G(z), и

вэтой точке имеем k— 0.

4.d ветвей годографа стремятся к п нулям G(z),

a d—п — к бесконечности, и для этих точек £ = оо.

77

5. Годографы, состоящие из участков действительной оси, соединяющей полюсы или нули G(z), начинаются

вполюсе или нуле, лежащем правее.

6.Исходные точки на оси — это кратные корни k, получающиеся при решении

7.Пересечение с мнимой осью соответствует чисто мнимым корням характеристического уравнения.

8.Годограф определяется и вычисляется с помощью двух соотношений:

Система устойчива, если k<2.

2-6. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ г-ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ И ЛИНЕЙНЫМИ РАЗНОСТНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

Этот параграф содержит краткое исследование раз­ ностных уравнений с помощью z-преобразования. Мы ограничимся несколько поверхностным изложением зада­ чи, так как целый ряд публикаций [Л. 2-3, 2-4] был по­ священ этой проблеме.

78

а) МЕТОД РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИИ

Этот метод очень полезен для практического исполь­ зования, если располагают вычислительной машиной. Он позволяет выявить связь, существующую между 2-преоб­ разованием и разностными уравнениями. Эта связь ана­ логична связи, существующей между преобразованием Лапласа и дифференциальными уравнениями.

Найдем оригинал

(2-74)

Задача заключается в разложении N (z) и D(z) в ряд по степеням z~l.

Определение коэффициентов при соответствующих членах с определенной степенью z~l позволяет получить разностное уравнение, соответствующее F(z). Это урав­

Это уравнение можно записать следующим образом:

В зависимости от величины D{t) последовательное решение этого уравнения дает решение задачи. Отметим, однако, что соотношение (2-76) годится для любого значения я, если только 7<0, D(t) и N(t) равны нулю.

Интересно отметить, что разностное уравнение (2-76) очень про­ сто получить, исходя из уравнения (2-75), если рассматривать z как оператор смещения (т. е. z{E(z)— >-£[(«+()7]).

79

б) МЕТОД z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Этот метод состоит в решении линейного разностного уравнения с помощью z-преобразования. Рассмотрим разностное уравнение

известная для всех значений я^гО.

Задача состоит в отыскании хп как функции параме­ тра пТ (я-положительное целое).

Применим z-преобразование к уравнению (2-77); с помощью соотношения (2-6) получим:

Тогда обратное z-преобразование позволяет опреде­ лить Хп- Этот метод обладает наряду с многими другими тем преимуществом, что начальные условия вводятся автоматически и нет необходимости искать постоянные интегрирования.

Пример 2-11. Возьмем приведенное выше разностное уравнение

80