Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3411 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Различные частные случаи могут иметь место, когда


один или оба корня равны — 1		(рис. 3-5 и 3-6).
З а м е ч а н и е . Граничные условия		зависят от условия четности
п, которое	накладывается в импульсной системе соотношениями
(3-21) для	получения последующих точек (каждая соответствует пе

риоду квантования), воспользуемся фазовой траекторией непрерыв ной системы (четный ряд), с помощью которой определяем:

an+i — ~ е	х lT ап\ )
	(3-23)
^n+i = — е	Т>Х . )

либо фазовой траекторией, симметричной по отношению к началу координат (нечетный ряд).

101

Последовательные точки, соответствующие периоду квантова ния 2 Т, находятся тогда либо на одной, либо на другой фазовой траектории соответствующей непрерывной системы.

К о р н и и м е ю т з на к и (Ti>0; тг<0)

Дискретная система описывается матричным уравне нием

4V		я
\				0,г, 4 .
\	\	Ч		®+o,r,z,j.jr
	\	Ч		®+o,r,z,j.jr
	\	0о		/
W	\	0о		/	X
W	\	^	/		X
©	\
			©	1	^11
1Л5 Ч			©	II	^11
1Л5 Ч			0		х,=1

л+ х. = 1; хг=1

Рис. 3-6.

М-п+1	•ц	01	«п	(3-24)
v „ +l	0	т21	Vn

Поставим в соответствие ей систему, описываемую дифференциальными урав нениями со следующими граничными условиями:

da'	x\
dt		0	u'	(3-25)
dv'	0	т',	vf

Для дискретных моментов времени

U п + 1 --------	^ п + п	tt п --------Щн	(3-26)
о'п+1 =	( — 1)П+Х ;	0'п = ( — 1)"»п-

Интегрируя уравнения (3-25) с учетом граничных условий, получаем:

т 1 j. In |т, j,

(3-27)

^2 = ~ f- 1П|Х2 |.

Как и в предыдущем случае, последовательные изо бражающие точки импульсной системы лежат на фазо вой траектории непрерывной системы (четный ряд), оп ределяемой как

	е%''ти. •
	иП+1— с	(3-28)
	- 'n + l — е* ' . Г vn	(3-28)
	- 'n + l — е* ' . Г vn

либо (нечетный ряд) на траектории, симметричной пре дыдущей по отношению к оси и.

102


Если \|t i \|		и	I-Гг \|	меньше единицы,			то	существует
устойчивый		узел	типа 3 (рис.		3-3,		кривая а).		Если
\|t i \| и	\|тг\|	больше		единицы,	то	особая		точка — это
неустойчивый узел типа 3 (рис. 3-3,							кривая Ь).		Если
\|Ti \| и	j Тг\| охватывают единицу,				то	определяется			седло

или седловина типа 3, причем особая точка всегда не устойчива (рис. 3-4, кривая с).

Различные частные случаи будут иметь место, когда один или оба корня равны +1 или — 1 (рис. 3-5 и 3-6).

2. Корни ti и Гг комплексно-сопряженные

Корни ti и т2 характеристического уравнения предпо лагаются комплексно-сопряженными и имеют вид а ± /(3. Нужно рассмотреть два частных случая в зависимости

от знака а.		а > 0
1) С л у ч а й		а > 0
Дискретная система представляется тогда в виде
^п-fА	= Т	cos 9	si n 9	v„	a	p	a n
Vn+t	= Т	— sin 0 cos 0			- P	“	Vn
Vn+t		— sin 0 cos 0			- P	“	Vn
							(3-29)
или же		ГО+1 =		Л£/«.			(3-30)
		ГО+1 =		Л£/«.			(3-30)
Поставим в		соответствие		ей	непрерывную систему
		du'		a'
		dt		a'	a'		(3-31)
		dv'	— (S' a.'		V		(3-31)
		dv'	— (S' a.'		V
		dt
с граничными условиями
		^ П+1 == Wn+Il					(3-32)
		Uл— tlfi■					(3-32)
		Uл— tlfi■
Систему дифференциальных уравнений (3-30) запи-
шут:			du!
			du!	ГО'.			(3-33)
			dt	ГО'.			(3-33)
			dt
Решение ее будет:							(3-34)
		го	= <?ГГГО.				(3-34)

Сравнивая уравнения (3-34) и (3-30), получаем:

											(3-35)
					п —О
откуда можно представить Г в виде
		Г =	у'		COS у		Sin у				(3-36)
		Г =	у'	— sin у cos у							(3-36)
				— sin у cos у
где
		Г =		(а'* +			р ' У ;
	cos <? =		a'о /		.			S'			(3-37)
	cos <? =		—г ;		sln? :						(3-37)
			-гг ’		sln? :			l
			I	Йe				l
			0 < ' р < т с ,
тогда					n— Y'n
pn — y'ri		cos у sin у			n— Y'n			cos щ sin щ
		— sin у cos у						— sin щ cos щ
откуда
	00	.{ ,nTn				00
		.{ ,nTn				П	rnT n		Y	.
	n2j	= nl 0 - COS Щ				П	rnT n		Y	.
Л =	n2j	= nl 0 - COS Щ				n	=	nl0 s m n i?
Л =	00					Y00 4		v	'	f t r	(3n-38)
	00		s;n Щ			Y00 4		v	'	f t r	(3n-38)
	2 j	nl	s;n Щ			2	J
	n=	0				n=0
Сравнение матричных уравнений								(3-39)	и (3-38)		дает
	у cos 0 =			ytnTn			cos <р;
	у cos 0 =		V				cos <р;
			п—О								(3-39)
				Tyrnflt							(3-39)
		У s in e	2	Tyrnflt		sin?;
	у (cos 8 - f			Уsin 8) =			e f T e i<f,				(3-40)

104

т. е.

на фазовой траектории непрерывной системы, опреде ляемой соотношениями (3-33) и (3-42), причем возмож ны два варианта:

если у<1, точка v является устойчивым фокусом типа 1 (рис. 3-7, кривая а);

если у = ( « 2+ р 2) 1>а>1, то особая точка (начало коор

динат) является неустойчивым фокусом типа 1					(рис. 3-7,
кривая Ь).
2) С л у ч а й	а < 0	системы		запишутся	так:
Уравнения дискретной		системы		запишутся	так:
	И « + 1		1*1 9	ип	(3-43)
	Vn+l		-М »1	vn
Соответствующая непрерывная система
du!
dt	о!	P'	a '	; Г > о .	(3-44)
dv'	— P'	(X	V	; Г > о .	(3-44)
dt
а граничные условия будут:
	и п+1 = {		1)и+1ип+„;1		(3-45)
	« ' » = ( —		l ) n«n-	J	(3-45)
	« ' » = ( —		l ) n«n-	J
Решение этой разностной системы следующее?
	Un+l =	- e TTUn,			(3-46)

105

где

In y

Тт

(3-47)

In у

ТТ

Если (а2+,р2)1/2 > 1, то начало координат — неустой чивый фокус типа 2 (рис. 3-8, кривая а). Если (а2-|-

-J- р2)1/2 <С 1. то особая точка (начало координат) являет ся устойчивым фокусом типа 2 (рис. 3-8, кривая Ь).

Четные и нечетные точки состояния системы лежат на фазовых траекториях непрерывной системы, симме тричных относительно начала координат (сплошные и пунктирные линии рис. 3-8).

3) С л у ч а й а = 0 Если корни являются чисто мнимыми и сопряженны

ми а=0, то возможно (в зависимости от величины (3) следующее:

	Рис. 3-8.	Рис. 3-9.
1.	Если \|3=/= 1, тогда у = Р	и 0= л/2. В системе осей

координат 0и и Qv переходят от одной точки к следую щей путем поворота на я/2 и подобного преобразования центра 0 по отношению к (3.

Если |3<1, точка 0 является устойчивым фокусом (рис. 3-9). Если |3>1, то начало координат — неустойчи вый фокус.

106

2. Если |3= 1, в системе осей 0и, Ov подобное преобразование вырождается не более чем через четыре перио да квантования. Изображающая точка совпадает с уже полученной точкой.

Если (а2 + р2) 1/2= 1, то в системе осей 0и, Оу перехо дят от одной точки к другой путем поворота на угол 0=arccosa. Различные точки, соответствующие траекто

рии, расположены на многоугольнике. Многоугольник является замкнутым, если существует целое число К такое, что Ш= 2Ыя (N — целое).

Говорят, что в этом случае имеем вершину (рис. 3-10).

3. Корни Ti и гг равные действительные

Всегда можно привести заменой базиса матрицу Л импульсной системы к жордановой форме

“ п+ . __	а	р	1	ип	(3-48)
t'n+ J	0	а	\|	Vn
Ип+1		A.Uп.			(3-48'>

1. С л у ч а й а = 0 Соответствующая (3-48) непрерывная система имеет

вид:

da'	a' (S	а'
И Г
		(3-49)'.
dv’
	0 а'	vr
dt

ЮГ

Другими словами,

da'	- I V .		(3-50)
dt	- I V .		(3-50)
Если учитывать граничные условия
и П+1— ^П+1»			(3-51)
и п=		9
решение системы (3-50) будет:
ип+1--~еггип			(3-52)
с	со
	со
; л = егг=	V	Тп рп	(3-53)
; л = егг=	L	п!	(3-53)
	п=О
Причем Г является матрицей Жордана, так			же как
и матрица егт. Однако
r = e'I +		p'J,	(3-54)
где

1 =	1	0 .	1	0	1	;	Jp= 0	ДЛЯ р53=2,
1 =		9	------	О	О	;	Jp= 0	ДЛЯ р53=2,
	0	1		О	О
	0	1
откуда
		(a'I +		p'J)p =			rp;	\
		Г Р = = а ' Р 1 + p a ' p - ^ ' J .						)

Из соотношений (3-53) — (3-55) следует:

а'

Та '

(3-55)

(3-56)

Импульсная система имеет свои изображающие точ ки на фазовой траектории непрерывной системы, опре деляемой матрицей

In а

ТТа

(3-57)

0	In а
	In а
	~Т~

2) С л у ч а й а < 0

108

Тогда соответствующая (3-48) непрерывная система будет:

(3-58)

сграничными условиями

ип+1— (— 1)”+1ип+1; 1

(3-59)

"'п = ( - 1 ) “ И„. J

Рассуждение, подооиое предыдущему, показывает, что изображающие точки четной последовательности им пульсной системы лежат на фазовой траектории непре рывной системы, определяемой как

da' __	Yu',	(3-60)
dt	Yu',	(3-60)
где	1>пМ
	1>пМ	р
	т	7 > 1
	0	In \|а[
	0	Т
		Т
		(3-61)

Рис. 3-12.

и точки нечетной последовательности — на траектории, симметричной предыдущей по отношению к началу ко ординат.

На рис. 3-11 и 3-12 мы покажем два примера импульс ных систем с разными знаками а. Если f3s=0, мы нахо дим: р7=0; а/ = Г -1 1п|а|.

109

З а м е ч а н и е , Так как решение непрерывной системы задано в экспоненциальной форме, то фазовые траектории непрерывной си

стемы всегда соответствуют узлам.	*
в) ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ
1. Л и н е й н о е ур а вн е н и е в т о р о го п о р я д к а
Положим, что разностное уравнение имеет вид:
хп+2+Лхп+1+ ВХп—0.	(3-62)

Для того, чтобы корни ti и т2 были меньше единицы, нужно чтобы

П 1 ) > 0 ;	1 + Л +	В > 0 ; )
f (— 1) > 0;	V - A +	B > 0;	\	(3-63)
I v ^ l C i ;	- К Д < 1 .		J
В плоскости коэффициентов А, В эти условия позволяют по
строить картину расположения особых точек			и ход траекторий
в исследуемых областях (рис. 3-13). Парабола			А2—4В =0	является
решением уравнения (3-62).

2. Импульсная система второго порядка

Рассмотрим систему, состоящую из идеального им пульсного элемента, фиксатора нулевого порядка, усили тельного звена с коэффициентом а и линейного звена второго порядка (рис. 3-14). Действие регулятора систе мы описывается:

	sn—	Sn,
f	x n+1=r--e-°-5x n — aen(l — £-°'6);
l	sn+1 = 2(e~°’b — e~')xn +	e " s n — asn (l - f e~l— 2e'°-b).
	Исключая промежуточные переменные, получаем:
	Sn+2— (e~°’5 + e-1)-srH-i-j-aen+i(l + e _1—2e~0<5) +
	+ e-1-5s„—ae« (2e-*—e1-5—e-°.s) = 0.		(3-64)
HO

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3411 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ