книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

нелинейную импульсную систему рис. 6-1 на систему, изображенную на рис. 6-10 [Л. 6-8], где

Условие абсолютной устойчивости (6-24) запишется

Рис. 6-10.

Если предположить, что k—г>0, вышеприведенное выражение примет вид:

0».(/<a) + fe->

(6-36)

G * (/со) - h r - 1

Другими словами,

Это условие можно выразить так:

Начиная с неравенства (6-35), можно воспользовать­ ся геометрическими представлениями, но такой подход требует построения характеристики

G* (}ю) [1 -f- rG* (/о>)]-1.

Поэтому Я. 3. Цыпкин предложил более простой гео­ метрический метод. Положим, что [Л. 6-9]

162

Рис. 6- 12. Система, не удовлетворяющая условиям абсолют­ ной устойчивости (неустойчивости — а). Абсолютно устойчи­ вая система (б—д ) .

6. Необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости

Критерий, предложенный Я. 3. Цыпкиным, позволяет получить достаточное условие абсолютной устойчивости. Однако в некоторых случаях это достаточное условие совпадает с необходимым и достаточным условием устой-

Рис. 6-13.

чивости линеаризированной импульсной системы управ­ ления. Постараемся же определить класс нелинейных импульсных систем (сектор О, К), для которого условия абсолютной устойчивости являются необходимыми и до-

статочными. Эта задача, сформулированная Айзерманом и Летовым 1 [Л. 6-3] для непрерывных систем, решается легко: частотная характеристика линейной импульсной

системы G*(/(о) должна иметь вид, указанный на рис. 6-13,а и б. Частотный критерий абсолютной устойчи­ вости определяет необходимые и достаточные условия устойчивости для всех нелинейных импульсных систем первого порядка, рис. 6-13,а (амплитудная, широтная и временная модуляции) и для всех систем, имеющих такие частотные характеристики, как на рис. 6-13,6 (максимум абсолютной величины действительной части

G*(/m) лежит на действительной оси).

7. Оценка степени устойчивости

Чтобы оценить качество нелинейной системы регу­ лирования [Л. 6-7], используем вместо уравнений (6-9) и (6-10) уравнения

1 Автор допускает здесь неточность, так как эта задача впервые была сформулирована М. А. Айзерманом. (Прим, ред.)

164

следует, что действительная часть дискретной функции Попова должна быть положительной, т. е.

Определение условий, при которых нелинейная им­ пульсная система имеет степень устойчивости бо, осуще­ ствляется при рассмотрении, как и прежде, частотного критерия _устойчивости, использующего разомкнутую

G*(—6о+ /со) или замкнутую G*i(/w) характеристики

для каждой выбранной величины бо-

Так как полюсы передаточной ; функции С* (—

зависят от б и так как увеличение б приводит к отдале­ нию от правой полуплоскости (все полюсы остаются в левой полуплоскости), наибольшая величина б = бМакс получается для

(6-52)

т. е. величины, которая соот­ ветствует еще устойчивой им­ пульсной линейной части за­ мкнутой системы.

Это увеличение б возможно до того момента, пока полюсы G*(—б+ /со) находятся в начале координат или на мнимой оси (рис. 6-14).

б) КРИТЕРИЙ ДЖУРИ И ЛИ

Е. И. Джури и В. В. Ли [Л. 6-11] предложили в 1964 г. метод, очень близкий к методу Я. 3. Цьппкина и основан­ ный также на геометрическом критерии устойчивости. Это достаточное условие вводит в рассмотрение макси­ мальный наклон нелинейной характеристики и исполь­ зует частотную передаточную функцию линейной части.

1. Описание системы

Этот метод, так же как и метод Я. 3. Цыпкина, не базируется на использовании второго метода Ляпунова. Класс рассматриваемых нелинейных импульсных систем

165

иллюстрируется структурной схемой рис. 6-15. Предпо­ лагается, что нелинейная функция Л'(е) непрерывна и удовлетворяет условиям

ция была расположена в первом и четвертом квадрантах,

Считаем, что непрерывная линейная часть состоит из непрерывной части и фиксатора нулевого порядка, пре­ образующего дискретную последовательность в кусочно­ непрерывную функцию.

Преобразование Лапласа линейной части согласно этой гипотезе будет иметь вид:

где Gi(p) является передаточной функцией n-го порядка относительно р, без особенности в правой полуплоскости (она не содержит чистых интеграторов, при этом не воз-

166

которое не имеет особенностей на или же внутри окруж­ ности единичного радиуса с центром в начале координат

2-ПЛОСКОСТИ.

Предполагается, что входной сигнал системы равен нулю e(f) = —s(t), а выходной сигнал системы в п-й момент времени запишется как

тп

Первая сумма отражает влияние начальных условий линейной части Gt(p) \g{t) — импульсная переходная функция]

где р (п )— полный выходной сигнал интегратора, ро— начальное значение выходного сигнала интегратора для

/= 0 .

Допущения, сделанные относительно G\(p), таковы,

Af(n) =f(n + l) —f(n).

Исследуемая система допускает нулевое решение:

167

2. Условие абсолютной устойчивости

Нелинейная импульсная система, принадлежащая

кисследуемому ,классу, абсолютно устойчива (устойчиво

еенулевое решение), если существует неотрицательное число q, такое, что неравенство

ReG*(2)[l + q(z—1)] + ^~1—0,5k'q[(z—

удовлетворяется на единичной окружности z — е'ш= е ‘шТ.

Для того, чтобы применить этот критерий, требуется только знание г-иреобразования от линейной части вдоль единичной окружности, причем последнее может быть просто получено по ее частотной передаточной функции. Джури и Ли отмечают, что если q= 0, то при­ ходим к ранее предложенному критерию Я. 3. Цыпкина.

Доказательство, весьма трудное для этого критерия, базируется на тех же положениях, что и метод Попова (Л. 6-3], использованный Я. 3. Цыпкиным [Л. 6-7]. Ука­ жем, однако, основные моменты доказательства. Джури и Ли вводят вспомогательные функции

"1 0 ; я < 0; я > У ;

168

при

и (6-10); (6-74) и (6-12) доказывается полная аналогия этого метода с методом, предложенным Я- 3. Цыпкиным.

Исходя из вспомогательных функций, подобных приведенным выше, возможно распространить критерий абсолютной устойчивости на системы, не имеющие интегрирующих элементов.

3. Обобщение Я. 3. Цыпкиным критерия Джури и Ли

Через несколько месяцев после появления критерия Джури и Ли Я. 3. Цьшкин [Л. 6-10] предложил более общее доказательство описанного выше критерия с обоб­ щением его на случай, когда нелинейная характеристи­ ка располагается в секторе г, k.

Общий ход доказательства остается тот же, за иск

лючением классической подстановки вместо г, е‘ ш= = е 1шТ, при этом получаем следующий критерий:

Нелинейная импульсная система, нелинейность кото­ рой заключена в секторе г, k и максимум производной по ошибке меньше k', абсолютно устойчива, если суще­ ствует число q, большее или равное нулю, определяемое как

У “ -

1 6 9

Кроме того, функция

должна иметь полюсы с отрицательной действительной частью (вследствие того, что замкнутый контур устой­ чив) .

Сравнение выражений (6-76) и (6-35) показывает, что условие устойчивости, приведенное выше, более широкое, чем соответствующее условие для случая, когда q = 0, если имеем:

3. Я. 3. Цыпкин предложил для случая 9 = 0 более простой гео­ метрический критерий, основанный на годографе, получаемом из со­ отношения

б *(/со)=Л *+/5*.

Однако применение и этого упрощенного соотношения встречает определенные трудности.

в) ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ

Пример 6-1. Импульсная система первого порядка (Л. 6-8]. Рас­ смотрим импульсную систему рис. 6-17, имеющую период квантова­ ния Т и содержащую импульсный элемент, фиксатор нулевого по­ рядка, объект первого порядка [Л. 6-8]:

° ( р ) = 1 + Рт1 : р = т г *

Рис. 6-17.

Разностное уравнение, связывающее s и х, имеет вид:

Нелинейное уравнение, соответствующее рис. 6-18, будет:

e$b(п) _ j

170