книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

Свойства, которыми они обладают, основаны на ин­ вариантности области устойчивости и ее границы отно­ сительно преобразования, определяемого (6-197). Гра­ ница области устойчивости существует тогда, когда:

а) существуют неустойчивые точки равновесия; б) существуют неустойчивые циклы конечного или

бесконечного порядка для точек, удовлетворяющих со­ отношениям

Хп+т— Хп; Уп+т— Уп\ ш — 2, 3, . . ( 6 - 1 9 8 )

в) существуют точки равновесия, разделенные ко­ нечным числом неустойчивых циклов;

г) существуют точки равновесия, лежащие между бесконечными неустойчивыми циклами;

д) могут существовать особые точки различного вида.

Последовательность второго порядка F (х) опреде­ ляется как F2 = F[F(x)] — выражение, полученное под­ становкой в F(x), вместо xF(x). Это определение сразу же обобщается и для и-го порядка. Подобным образом определяют последующие члены отрицательного поряд­ ка, названные предшествующими. Например, F\(x) должно удовлетворять соотношению

F-i[F(x)] = F0(x) =х.

Если существуют неустойчивые точки, то их можно найти среди действительных корней алгебраической си­ стемы уравнений x —f(x, у), y = g(x, у). Подобным образом могут быть определены неустойчивые цик­ лы конечного порядка как действительные корни алге­ браической системы, состоящей из уравнений (6-197) и (6-198).

Бесконечные циклы и точки п. «д» можно определить как общий предел вспомогательных минимальной и ма­ ксимальной последовательностей.

Предыдущие координаты точек находят, исходя из со­ отношения (6-197), выражая хп, Уп как функцию хп+\,

в п. «д», использование алгоритма не встречает особых трудностей, особенно при использовании цифровой вы­ числительной техники.

201

2. Метод ХаланаА

А. Халаной получил {Л. 6-13, 6-16] дискретный ана­ лог метода, .предложенного В. М. Поповым для непре­ рывных систем управления. Это доказательство интерес­ но в том смысле, что оно не использует второго метода Ляпунова.

Рассмотрим дискретную систему, описываемую урав­ нением

причем у(п) задана уравнением (6-199).

202

/=о

lim у(1) — 0. Эта теорема обобщает геометрический кри- /-VOO

терий Я. 3. Цыпкина.

3.Метод, основанный на работах С. Банаха

Втехнической литературе можно наблюдать тенден­ цию использования функционального анализа для реше­ ния некоторых задач устойчивости. Именно в этом духе ряд авторов [Л. 6-49], основываясь на трудах С. Банаха [Л. 6-50], точнее на принципе сжатых отображений, пред­ ложили метод анализа устойчивости нелинейных им­ пульсных систем.

Этот принцип относится к операциям, произведенным

над элементами полного метрического типа. Понятие

Обозначим через F операцию, определенную в про­ странстве X, которое ассоциирует точке Х\ полного ме­ трического пространства X другую точку xi, принадле­

Если операция F такова, что для двух произвольных точек Xi, х2 пространства X условие

D[F(xi), E(x2)]<laD(xiX2); 0 < a < l ,

(6-205)

то во всем пространстве х существует только одна точка xs, такая, что

X s =F(xs).

Эта точка xs названа фиксированной рабочей точ­ кой, а операция называется операцией сжатия. Во вре­ мя операции сжатия процесс итерации, начиная с ка­ кой-нибудь точки Хо пространства X, стремится к точке

203

Анализ устойчивости. Уравнение дискретной системы автоматического управления т-го порядка может быть представлено как

где Хи — вектор состояний m-го порядка, характеризую­ щий систему в момент пТ\ А (Х „)— квадратная матри­ ца, элементы которой ап зависят от вектора Х„.

Анализ устойчивости производится в два этапа:

1. Нужно точно определить, что понимают под поня­ тием «расстояние» точек Х„ от начала координат, и най­ ти совокупность Е точек Х„, где

Это условие накладывает некоторыеограничения на составляющие вектора Хп.

2. Определить подмножество Р, такое, что операция

далее искать наибольшее подмножество Р, обозначаемое Лиакс, принадлежащее Е. В этой области операция F удовлетворяет условиям Банаха и'область Р Макс являет­ ся областью устойчивости относительно фиксированной точки. Эта область приближается к области, связанной с начальными условиями (см. гл. 7).

Применение метода. Определение необходимых соот­ ношений приводит к условиям

m тп

смотренному с помощью геометрического метода Цыпкина (рис. 6-26). Разностное уравнение, связывающее s их, будет:

204

Определим нелинейную характеристику x=f(e) (рис. 6-27), та кую, чтобы достигалась асимптотическая устойчивость системы.

Уравнение системы запишется:

и условие устойчивости, полученное при использовании критерия Венгжина — Видаля, будет:

Сравним это условие с условием, полученным при использовании критерия Цыпкина [см. уравнение (6-84)]. Это условие таково, что нижняя граница, получаемая по этому условию, приближается к гра­ нице, получаемой с помощью второго критерия Цыпкина (сектор г, k0).

Пример 6-4. Системы второго порядка. Принципиальная схема нелинейной системы представлена на рис. 6-28 (идеальный импульс-

E H S

Рис. 6-28.

нрш элемент находится перед интегратором). Соотношения, связы­ вающие входные и выходные сигналы отдельных элементов, будут:

205

Достаточное условие асимптотической устойчивости (6-148) вы­ ражается с помощью неравенства

С помощью этого неравенства построены заштрихованные обла­ сти рис. 6-29. Для линейной системы kf(z)=cte условие устойчивости будет:

Эта область ограничена кривыми а и Ь.

Рис. 6-29.

В т о р о й м е т о д . Исходя из уравнений (6-220) — (6-223), мож­

206

Условия для строк и столбцов (6-125) и (6-126) запишутся как

*./(«)<■(— o n * * 1'

Тогда очевидно, что области устойчивости, определенные по ме­ тоду Калмана и Бертрама, отличаются от областей, полученных по Венгжину и Видалю. В частности, при применении критерия Калма­ на и Бертрама коэффициенты усиления и k2 не принимают тех же значений, что и в случае использования критерия Венгжина и Вида­

Это последнее уравнение с учетом значений, которые принимают переменные при ф= я и ф= 0, позволяет начертить годограф импульс­ ной передаточной функции (рис. 6-30).

Для этого случая критерий Цыпкииа будет иметь вид:

(6-238)

2 1—D

<к 1 + U •

207

Это условие очень просто получить, и оно, очевидно, отличается от условий, получаемых другими авторами. В каждом конкретном случае применения критериев устойчивости следует определить, ка­ кой из них более общин. Именно это мы попытаемся увидеть иа кон­ кретных численных примерах.

Численные примеры. Мы видели, что критерий Калмана и Берт­ рама накладывает условие £><0,5. Выберем £>=0,25, k\=\, k2=0,25. Критерий Цыпкина запишется так:

Нельзя утверждать, что наибольшая область устойчивости нели­ нейной системы, полученная вышеприведенными методами, опреде­ ляется неравенством

Действительно, нужно было бы найти единственную функцию Ляпунова, которая привела бы к этому неравенству, что не имеет места.

Пример 6-5. О. Шеа предложил [Л. 6-37] применить его крите­ рий к системе

Он рассмотрел функцию

Используя уравнение (6-160), запишем:

00

П(1 - ф [х (ОД = П + *1 (Я) + *\ (Я)] П +

k—n

208

Учитывая уравнения (6-159), получаем:

Граница устойчивости — окружность xf + х\~ 1, а область асим­

птотической устойчивости будет xf - f х\ < 1. Легко увидеть на этом

примере, что аналитические условия, предложенные, например, Кол­ маном и Бертрамом, являются более жесткими.

Пример 6-6. Пури и Дрэйк [Л. 6-39] предложили критерий, вы­ ражающийся системой неравенств (6-171). Применительно к урав­ нению

где с — константа, критерий запишется:

15 .

О < [1 + csin (п)\ х 2п -\- х2п +i<3i ;

Пример 6-7. [Л. 6-40]

) = :4 w ;

(6-251)

*2 (k.+ 1)]= X2 (k).

Исследование системы уравнений с помощью обратного преобра­ зования дает:

хг (к) = ± У х, ( k + l ) ;

(6-252)

X, (ft) = ± VX2(ft -f- 1) .

Обратное преобразование не дает одного единственного значе­ ния, для каждого заданного значения Xi(ft+1) или x2(ft+ l) полу­ чаем соответственно четыре или нуль значений. Несмотря на это, некоторые замкнутые кривые, охватывающие начало координат, являются преобразованными с помощью вышеприведенного уравне­ ния в одну замкнутую кривую, охватывающую начало координат. (Обратное преобразование первого квадранта является всей плоско­ стью.) Так как нулевое решение исходных уравнений асимптотически устойчиво, выберем функцию Ляпунова в виде

где ДГ, определенно-отрицательна для xf (ft) + xf < 1.

Так как обратное преобразование над участками границ перво­ го квадранта производится i раз, то для окружности единичного радиуса получаем:

шинстве случаев невозможно найти границу устойчивости, так как слишком сложно определить выражение г'-й границы. Ее гораздо легче оценить, чем определить точно.

Чтобы одновременно расширить области устойчивости и не­ устойчивости, применим обратное преобразование для обеих границ.

210