книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

позволяет вычислить в моменты квантования величины, необходимые для решения задачи.

В этой главе мы вспомним методы графов и переменных состоя­

ния и рассмотрим их обобщение на случай нелинейных импульсных систем.

5-1. ГРАФ ЛИНЕЙНОЙ ИМПУЛЬСНОЙ СИСТЕМЫ

а) КРАТКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ ГРАФА

Граф передачи сигнала изображается в классической форме гра­

1

Граф передачи исследуемой системы получается из уравнений, характеризую­ щих линейную зависимость между раз­ ными переменными. После нескольких элементарных преобразований, основан­

ных на вычетах, можно определить передаточную функцию. Метод Мезона (Л. 5-3] позволяет определить передаточную функцию, при­ менив общее правило, которое гласит: передаточная функция между двумя узлами графа определяется соотношением

ZThAh

SGjGj-Gft — сумма тройных произведений передаточных функций всех

% h i

Х8

о -

х 1

л

Рис. 5-2.

141

дует понимать как не имеющий ни одной общей точки с рассматри­ ваемым каскадом.

Пример 5-1. Ищем проводимость Т= хе1хх графа рис. 5-2. Мы показали на рис. 5-3 различные контуры

Каскады приведены на рис. 5-4. Первая передаточная функция

не содержит разомкнутых контуров. Вторая передаточная функция

откуда получаем выражение для общей передаточной функции

б) ГРАФ ИМПУЛЬСНОЙ СИСТЕМЫ

Мы видели, что передаточная функция непрерывной линейной системы может быть получена с помощью метода графов. Следую­ щий этап состоит в распространении этого метода на анализ им­ пульсных систем. Однако очевидно, что применение метода Мезона не всегда так просто, как в рассмотренном выше случае.

142

Действительно, нельзя заменить импульсный элемент с помощью эквивалентной передаточной функции, и метод Мезона не может применяться ни к каким другим графам, как только к таким, кото­ рые содержат узлы, характеризующие либо непрерывные сигналы, либо дискретные сигналы. Однако большинство импульсных систем в зависимости от того, какая из их координат нас интересует, будет нести информацию как в непрерывной, так и в дискретной формах. Поэтому необходимо модифицировать классический метод графов. Это было проделано в различных публикациях Р. Ашем и др. [Л. 5-4], М. Зальцером [Л. 5-5] и В. С. Ку [Л. 5-6]. Рассмотрим одно­ контурную импульсную систему, представленную на рис. 5-5, ошибка которой е — квантованная величина. Тогда имеем:

Построение графа производится последовательно.

1. Построение предварительного графа

Исходя из структурной схемы системы, строим первый граф, эквивалентный системе. Так, структурная схема рис. 5-5 представ­ ляется в виде графа рис. 5-6.

Рис. 5-5.

Обозначим все источники сигналов Е, а зависимые переменные и переменные на выходе импульсного элемента как х2—е*. Ветви, исходящие от узлов, обозначающих зависимые переменные, описы­

ваются передаточными функциями, вычисляемыми по правилу Мезо­ на (G, Н).

2. Построение импульсного графа

Этот этап требует более внимательного отношения. Рассмотрим рис. 5-6. Так как граф имеет импульсный элемент, то нельзя непо­ средственно применить правило Мезона. Однако можно записать:

143

исключить импульсный элемент из рис. 5-6 при условии, что к узлу

Эти три уравнения содержат только дискретные переменные и позволяют построить дискретный граф рис. 5-7. Использование пра­ вила Мезона приводит тогда к выражению

G* (в)

5* {р) = ----- 1 = ^ ~ - Е* (р), (5-20) 1 + HG*(p)

Показано, что правило Мезона позволяет выразить квантован­ ные величины графа как функции входных сигналов.

Но граф содержит не только квантованные сигналы. В ряде слу­

144

функцией между узлом x*i импульсного графа и узлом х2 предвари­ тельного графа. Совокупность двух графов, соединенных таким обра­ зом, составляет полный граф и позволяет рассчитать неквантованпые переменные. Такой граф изображен на рис. 5-8 и имеет X2=X*t.

Величина непрерывной выходной величины графа получена с по­ мощью правила Мезона

G(p)

В ряде исследований показано [Л. 5-7, 5-8], что использование ма­ триц весьма удобно при исследовании и расчете импульсных систем с переменными во времени элементами, а также с нелинейными эле­ ментами.

Метод переменных состояния является мощным средством иссле­ дования импульсных линейных систем. С одной стороны, матричное описание приводит систему к системе дифференциальных или разно­ стных уравнений первого порядка, решение которых легко найти. С другой стороны, начальные условия могут быть легко учтены, и исследование разных типов линейных импульсных систем можно рассматривать в общем стандартном виде.

Последующее рассуждение распространяется без труда на диф­ ференциальные уравнения, с помощью которых описывается непре­ рывная часть системы регулирования.

Рассмотрим переменные состояния линейной системы. Всякая дискретная система может быть описана системой п разностных уравнений первого порядка

пп

рез значения входного сигнала е и переменных состояния х, т. е. получен из уравнения

Два предыдущих уравнения запишутся в матричной векторной форме:

S(kT)=CX(kT)+DE(kT). (5-27)

Эти матричные уравнения являются дискретными уравнениями относительно переменных состояния системы (в ряде случаев их на­ зывают уравнениями относительно передаточных функций состоя-

Рис. 5-9.

ния). Они описывают систему только в дискретные моменты времени. Решение этих уравнений с помощью прямого и обратного 2-пре­ образования и теоремы свертки не вызывает затруднений. Примене­ ние этого метода на практике облегчается тем, что за импульсным элементом следует фиксатор. В этом случае выходной сигнал эле­ мента, состоящего из импульсного элемента и фиксатора, является

ступенчатой функцией

где

kT+ = kT+ x; 0 < т «£7\

З а м е ч а н и е . Этот метод весьма полезен при численных рас­ четах. Именно поэтому этот метод до его применения для нелиней­ ных систем был главным образом использован для решения различ­ ных задач, связанных с импульсными системами с дискретным ре­ гулятором (рядом дискретных корректоров).

Пример 5-2. Рассмотрим импульсную систему (рис. 5-9). Здесь Вс является фиксатором нулевого порядка [передаточная функция

Матричное уравнение, аналогичное (5-26) и соответствующее системе дифференциальных уравнений (передаточная функция G(p) связывает непрерывные переменные), запишется с помощью преоб­ разования Лапласа каждого из членов:

146

рр ( р + 1)

y(to) = e(to) — * i (*„)■

(5-34)

Граф передачи сигналов импульсной системы с учетом соотношений (5-32) и (5-33) приведен на рис. 5-10. Уравне­ ния для переменных состояния в этом случае могут быть по­ лучены с помощью правила Мезона для случая рис. 5-10.

Например,

З а м е ч а н и е . Легко записать уравнения для переменных со­ стояния непрерывной части G(p) в виде

^0 + [< - <0-1 + *-»-*•>] у (*„) + С»*

и

5-5. МЕТОД ГРАФОВ

а) ОБЩИН МЕТОД

Метод переменных состояния, применяемый совместно с мето­ дом графов, является мощным средством анализа и синтеза линей­ ных импульсных систем. Ту и Вадханафути [Л. 5-10] использовали их для исследования нелинейных импульсных систем, состоящих из

Рис. 5-11.

фиксатора нулевого порядка и линейной импульсной системы, с включенным в нее дискретным корректирующим устройством—зве­

описан как усилитель с коэффициентом К(кТ)=Кк, постоянным

148

Получение решения алгебраических уравнений ,в общем виде затруднено, самый простой путь — применение численных методов [Л. 5-6]. Пусть задано, что

х, (0) = 0,138;

х2 (0) = 0,762;

150