книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы
.pdfКритерий, определяемый неравенством (1-70), запи шется для данного случая в виде трех неравенств:
° о / ( 1) > 0 ; |
|
|
|
flof(— 1) > 0 ; |
|
||
— К |
п г г C l , |
|
|
т. е. |
|
|
|
а 0 |
а \ 4 " а 2 |
> 0 ; |
] |
«о — |
+ |
J |
|
ao — a2> 0 . |
|
||
С помощью (1-76) можно получить:
w2 (а0+ a, - f а3) + w(2а0 — 2а2) - f (а„ — а, +
(1-77)
аг) = 0 .
(1-78)
Критерий Гурвица, примененный к этому уравнению, определяет условия устойчивости (1-77).
3. |
Уравнение третьего порядка |
||
Пусть |
|
|
|
$ох(п —К3) —Кй\Х(/т-р2) -Р uiX(п -Р 1) -Р а$х(н) — 0. |
(1-79) |
||
Учитывая преобразование (1-71), уравнение (1-79) |
|||
запишем как |
|
|
(1-80) |
biW^-\-bzw-рЬз— 0, |
|||
где |
|
|
|
Ь0— а0~Ьа\ а24" аз1 |
|
||
Ь1= 3 (<20 |
(23) -)—<2, |
й2, |
(1-81) |
Т>2 — 3 (а0 4- а8) — а1— а2\ |
к ' ' |
||
Ь, = а0 — а,-\-а„ — а,. |
|
||
Критерий Гурвица накладывает следующие ограни |
|||
чения: |
|
|
|
Ь0> 0 ; |
|
|
|
К > 0 ; |
|
(1-82) |
|
*2> 0 ; |
{ |
||
Ь3> 0 ; |
|
|
|
ь а — ь0ь, > о-, |
|
|
|
3 — 352 |
|
|
33 |
з к ~ а,) + а, — а2> 0;
З ( я 0 + а 3) — а , — а 2 > 0 ;
а0- а, + а, — а, > 0; |
|
(1-83) |
|
|
|
а0 ‘ Лд -(- <2](23 AqAj |
0. |
|
4. Уравнение |
четвертого |
порядка |
а0х(п + 4) + а 4л:(п+ 3) -f a2x(n + 2) + а 3х(/г+ 1) + |
||
+ а4х (п )= 0 . |
|
(1-84) |
Учитывая ^-преобразование, это уравнение можно |
||
переписать как |
|
(1-85) |
b0wi+ biw3 + b2W2+ b3w+ bit—-0, |
||
где |
|
|
— а о ~Ь а \ “Н а г Н- а з + а А |
|
|
bt — 4а0-j- 2а, — 2а, — 4а4; |
|
|
Ь2 = 6 а 0 — 2 а 2 - f - 6 а 4; |
|
( 1- 86) |
63 = 4а0 — 2а, + 2а3 — 4а4; |
|
|
^4 = а0 — а1+ а2 — #3 + aV
Критерий Гурвица
К> 0;
К> 0 ;
&2>0; |
(1-87) |
Ь3> 0 ; |
|
Ь4> 0 ; |
|
|
&А — &<А > 0; |
|
W |
, - |
~ Ь\ К > о. |
З а м е ч а н и е . Все |
найденные условия являются необходимыми |
|
и достаточными условиями устойчивости решения разностного урав нения.
1-6. УСТОЙЧИВОСТЬ с и с т е м ы АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ОПИСЫВАЕМЫХ РАЗНОСТНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ
Существуют различные методы исследования устойчи вости. Эти методы основаны на использовании условий устойчивости, приведенных в предыдущем параграфе, применительно к конечно-разностному уравнению.
4
Рассмотрим систему, структурная схема которой изо бражена на рис. 1-11. Возможно записать разностные уравнения, связывающие вход к и выход х импульсного элемента, а также вход х и выход у линейного объекта регулирования. Кроме того, устройство сравнения мож но описать соотношением
e= s~y.
Исключим промежуточные переменные х н у . Исследова ние системы заключается тог да в исследовании разностно го уравнения, связывающего ошибку в разные дискретные моменты времени со входом s системы, рассматриваемым в те же моменты:
} [ е (п + р ), е (п + р — 1),
=g[s(n + p), ...,
Рис. 1-11. Импульсная * следящая система.
..., е(га), |
п] = |
s(n), п]. |
(1-88) |
Рели считать, что система автоматического регулиро вания линейна, то о ее устойчивости можно судить по устойчивости соответствующего уравнения
f[e(n + p), е(п + р— 1), ..., е(п), /г]= 0, (1-89)
полученного в предположении, что входной сигнал ра
вен нулю. |
функцию |
|
|
Можно определить {Л. 1-5] передаточную |
|
К j |
(р) звена как отношение преобразования |
ступенча |
той |
функции, соответствующей выходному |
сигналу |
V j(p ), к .преобразованию ступенчатой функции входно го сигнала объекта X j (р):
YJ (Р) |
|
У * (р) |
К J (Р) = |
; к*(р) |
X* (/>) • |
Весьма важно отметить (преобразование Карсона ступенчатой импульсной функции с амплитудой А рав но А), что передаточная ступенчатая функция звена рав на реакции звена на единичный ступенчатый входной сигнал.
Пример 1-8. Реакция системы первого порядка k0(l + T]p)~l на единичный ступенчатый сигнал
3* |
35 |
Следовательно, переходная ступенчатая функция
p „ = £0J (l - е~пТ^ ) ,
ИЛИ
|
е р _ |
1 |
Г рах — --------------, |
||
J * |
ер — |
еа |
откуда |
|
|
K * ( p ) = kо £ г = £ > D - ^ e a .
а) ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ РАУСА — ГУРВИЦА
Применение критерия, предложенного в § 1-5,6, к характеристи ческому уравнению (1-89) позволяет определить условия, которым должны удовлетворять параметры, чтобы обеспечивалась устойчи вость системы. Предметом рассмотрения могут быть либо корни ха рактеристического уравнения, либо корни уравнения, полученного после билинейного преобразования.
Рис. |
1-12. иСтруктурная схе- |
Рис. 1-13. Характеристик |
||
ма |
линейной импульсной |
ка импульсного |
элемента, |
|
|
системы. |
входной сигнал |
которого |
|
|
|
единичная |
ступенчатая |
|
|
|
функция. |
|
|
Пример 1-9. Рассмотрим структурную схему рис. 1-12 (период регулирования приравнивается единице путем соответствующей за мены переменной). Предположим, что импульсный элемент содержит интегратор и обладает характеристикой рис. 1-13 (реакция на сту пенчатый вход), другими словами, имеет место соотношение
x=nkr1.
При помощи табл. 1-1 дискретных преобразований получаем:
X* (р) kr
С-90)
Это выражение очевидно, так как (рис. 1-13)
Xn+l 'X7i=^rBn- |
(1"91) |
Безынерционный объект описывается разностным уравнением
yn = k0х„, |
(1-92) |
36
причем
0 для t < |
О; |
|
y(t) = |
1. |
|
1 для |
|
|
Учитывая выражение |
|
|
8п Sn—Уп |
|
(1-93) |
и исключая промежуточные переменные из уравнений |
(1-91) — (1-93), |
|
получаем уравнение |
|
|
е.п-м-Н(£— l)e n= s „ +1—sn, |
k=k0kT. |
(1-94) |
Так как система линейна, то ее устойчивость определяется устой |
||
чивостью решения уравнения (1-94) без правой части |
(я = 0): |
|
en+ i-f (к—1)8П=0. |
|
(1-95) |
Условие устойчивости, выведенное из неравенства |
(1-76), запи |
|
сывается в виде |
|
(1-96) |
k<2. |
|
|
Пример 1-10. Рассмотрим импульсныйэлемент (период регули рования Т), дискретная передаточная функция которого
X* (р) |
е? |
= |
(М37) |
Возьмем астатический объект (идеальный интегратор)
x(t) =k^t=k^Tn,
дискретная передаточная функция которого по Карсону
Y* (Р) |
|
|
|
|
|
k0T |
(1-98) |
||
~X*~JpY — Ко (р) — |
еР__| • |
||||||||
Переход к разностным уравнениям, соответствующим |
(1-97) и |
||||||||
(1-98), |
Хп+i |
Хп—^ г б п +1» |
(1-99) |
||||||
|
|||||||||
с учетом соотношения |
Уп-И |
Уя = koTx-n |
( 1-100) |
||||||
е |
|
— |
У |
|
" |
—у |
|
( 1-101) |
|
|
п |
|
|
||||||
приводит к уравнению |
|
S п |
|
п |
|
|
п |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б п + 2 + е п+1 (А7*—2) 4-871=0, k—kokr. |
( 1-102) |
||||||||
Применение критерия |
|
Рауса — Гурвица к характеристическому |
|||||||
уравнению |
P+r{kT—2 )+ 1=0 |
|
|||||||
|
(1-103) |
||||||||
дает:
О |
Sr |
| ^ |
Л |
||
Л |
|
ч |
0 > 0.
(1-104)
Система является структурно неустойчивой. Ее нельзя стабили зировать, меняя величины параметров. В этом случае нужно изме нять ее структуру.
37
Пример 1-11. Рассмотрим импульсную систему (период регули рования Т), структурная схема которой приведена на рис. 1-14.
Соотношения, связывающие вход и выход различных элементов системы, будут:
|
|
%п+ 1 |
|
Хп — klen+l; |
|
|
|
|
, |
-г |
а У — и |
(1-105) |
|
|
|
У Л-Т1 |
^ кгх, |
|||
|
|
|
■= |
s — у. |
|
|
|
|
Полагая D = е т!т' |
1, |
k = |
||
Рис. 1-14. Импульсная систе |
= kik2 |
и |
предполагая, |
что |
s = 0, |
|
получаем: |
|
|
|
|||
ма второго порядка. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Xn-hl %п—^1еп-!-1» |
|
(1-106) |
||||
Уп+1— УпD “Ь h x n (1 |
D), |
|||||
т. е. |
Ч = —Уп, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-107) |
||
e»+2 + en+il^(l—D) — 1—£)] + еп£)=0. |
||||||
Условие устойчивости, полученное из неравенств (1-77), будет:
1г< |
2 ■ |
+ D |
|
(1-108) |
||
■D ' |
|
|||||
З а м е ч а н и я , а) Если за |
импульсным элементом |
не |
следует |
|||
интегратор, то имеем: |
|
|
|
|
(1-109) |
|
Xn=klEn, |
|
|
||||
откуда условие устойчивости имеет вид: |
|
|
|
|||
|
1 + D |
|
|
|
|
|
k < - 1 — D |
• |
|
( 1- 110) |
|||
б) Если объект является инерционным звеном второго порядка, |
||||||
например |
|
|
|
|
|
|
У(Р) _ |
|
^2 |
|
|
|
|
х(р) |
(1 + |
7 |
» 2’ |
|
|
|
то условие устойчивости будет: |
|
|
|
|
|
|
, _________ (1+Д )г(1 + |
Д2-Д )________ |
’ |
.. .... |
|||
R<' ( l — D — TlD/T)(\— D — D2 — 2TiD/T) |
u |
' |
||||
в) Если за импульсным элементом следует звено первого по |
||||||
рядка |
|
|
|
|
|
|
уп +1= у пО > + к 2( 1 - 0 , ) х „ , |
|
( 1- 112) |
|
|||
и если за ним следует объект с передаточной функцией первого по рядка
хп+1 = x„D2+ kt (1 — Ds) |
D2 = e~T/Tl, |
(1-113) |
38
то разностное уравнение, описывающее систему, будет:
6п + 1—£п+ 1{Di + ^ 2) "Ь&n[D\D2-\- &( 1—D\) (l—^ 2) ]= 0> (1-114)
а условие устойчивости выражается неравенством |
|
|||||
|
k " |
(1 — D,)(l — Ог) |
' |
(1-П5) |
||
|
|
|
б) |
КРИТЕРИИ НАЙКВИСТА |
||
Обозначим через К*г{р) импульсную передаточную |
||||||
функцию импульсной |
системы |
(рис. 1-15), т. е. |
|
|||
|
К*г(р) = - |
Х*(р) |
|
(1-116) |
||
|
Е * ( р ) |
’ |
||||
и через |
К*о(р) — импульсную передаточную |
функцию |
||||
объекта |
|
|
|
|
|
|
|
К*Ар) = - |
У* (р) |
|
(1-117) |
||
|
Х * ( р ) |
|
||||
Замкнутая система описывается |
уравнением |
|
||||
|
Е* (р) |
S* (р) |
|
|
(1-118) |
|
|
1 + А Л ( р ) К * г ( р ) ' |
|||||
|
|
|
||||
Это соотношение справедливо при использовании дис |
||||||
кретных |
преобразований как |
Лапласа, так и |
Карсона. |
|||
|
Т ® 7 |
Рис. 1-15 Линей |
|
|||
|
|
|
||||
|
У |
|
ная |
импульсная |
|
|
|
|
|
|
система. |
|
|
К*о(р)
Применение преобразования Карсона позволяет написать для выражения (1-117) при учете С (а)=а и уравнения (1-69) следующее соотношение:
s ( / 7 |
т |
|
|
) = ; c oS+ c kepk\ |
|
(1-119) |
|
|
fe=l |
|
|
где С0,...,Ст являются константами; ер •— корни |
уравне- |
||
ний |
|
|
|
1+ |
К* (р) = 0; |
} |
(1-120) |
|
|
|
|
К* (р) = К*0 (р) К*п (р). |
39
Передаточная функция системы, полученная с помо щью преобразования Карсона, соответствует устойчивой системе, если
| < | < 1 . |
. |
(1-121) |
Примем |
|
(1-122) |
р= еР. |
|
Необходимое и достаточное условие устойчивости вы ражается при помощи неравенства
рк<\. (1-123)
На комплекснойплоскости р это равносильно требо ванию, чтобы корни pft уравнения
1 +К*(р) = 0 |
(1-124) |
Рис. 1-16. Область устойчи- |
Рис. 1-17. Устойчивая си- |
вости в плоскости р. |
стема. |
находились внутри окружности единичного радиуса,
уравнение которой р — е,1р (рис. 1-16). Если это условие
не выполняется, то функция е(/) содержит по крайней мере одну составляющую, неограниченно возрастающую во времени. Произведем преобразование
Р= е{\ |
(1-125) |
причем физменяется от 0 до 2я.
Это преобразование аналогично выбору p= ja> (со из меняется от — оо до + оо), и внутренняя область круга единичного радиуса в плоскости р преобразуется в об
ласть, ограниченную кривой К*(е,Ц1) в плоскости К* {р).
40
Из выражения (1-125) |
следует, что в плоскости |
К*(р) точка — 1 для всех |
корней выражения (1-124) |
должна быть левее изображения окружности с радиусом, равным 1; это изображение есть кривая К*(/ф), для
которой |
<р |
изменяется |
от О |
|
|
до 2л. |
|
|
|
|
|
Критерий Найквиста, пред |
|
||||
ложенный для импульсных си |
|
||||
стем, утверждает, что импульс |
|
||||
ная линейная система устойчи |
|
||||
ва, если на комплексной пло |
|
||||
скости |
годограф К* {jср) |
пере |
|
||
даточной |
функции |
разомкну |
|
||
той системы не охватывает точ |
|
||||
ки — 1, /0 при изменении сротО |
|
||||
до 2я (на практике достаточно |
|
||||
произвести проверку при изме |
|
||||
нении <р от 0 до л, так как го |
Рис. 1-18. Неустойчивая си |
||||
дограф |
симметричен относи |
стема. |
|||
тельно действительной оси). |
|
||||
На рис. 1-17 и 1-18 приведены примеры устойчивых |
|||||
и неустойчивых систем. |
|
|
|||
Кривая |
К*(е!г) |
называется |
импульсной частотной |
||
функцией. Чтобы упростить обозначения, мы в дальней шем будем опускать звездочку.
Пример 1-12. Вернемся к системе автоматического регулирова ния, показанной на рис. 1-12. Импульсная передаточная функция по Карсону импульсного элемента
к
К Л Р ) = ev — 1
и объекта
Ко(р)=£о,
откуда
К № ~ ер k— _ k1 |
_ |
e i f k_ |
р j— |
1’ |
||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
k |
k |
г |
- 1 |
sin ф |
1 |
|
К<«'»> = -^ s- y+ /зГп Г - г |
= — |
[ |
|
0-126) |
|
|
Геометрическое место |
точек, |
|
соответствующее |
уравнению |
|
|
(1-125), — это прямая, параллельная |
мнимой оси, а действительная |
|
||||
41
часть |
равна — /г/2 (величина, полученная для cp = jt, рис. |
1-19). Си |
стема |
автоматического регулирования устойчива, если |
6< 2; этот |
результат был получен алгебраически при рассмотрении разностного
уравнения (1-96). |
|
|
|
|
|
|
выше |
З а м е ч а н в е. Условия устойчивости, полученные двумя |
|||||||
изложенными методами, могут быть найдены из рассмотрения раз |
|||||||
ностного |
уравнения (1-95), соответ |
||||||
ствующего постоянному или нулево |
|||||||
му входному сигналу, при отыскании |
|||||||
его |
оригинала. |
При |
решения |
(1-58) |
|||
с учетом |
того, |
что |
|
|
|
||
|
|
|
еп = Х о (1 -£ )п, |
(Ы 27) |
|||
условие |
|
устойчивости |
соответствует, |
||||
очевидно, |
выбору коэффициента |
уси |
|||||
ления й<2. Это выражение дает воз |
|||||||
можность отыскивать реакции систе |
|||||||
мы |
на |
|
соответствующий |
входной |
|||
сигнал. |
|
скачкообразного |
входного |
||||
|
Для |
с |
|||||
сигнала |
амплитудой |
А |
выражение |
||||
(1-127) |
позволяет найти в зависимо- |
||||||
мости от величины к соответствую |
|||||||
щую реакцию в (рис. |
1-20— 1-24). |
||||||
|
Пример 1-13. Вернемся к системе |
||||||
регулирования, описанной в примере |
1-10. Используя соотношения |
||||||
(1-97) и (1-98), получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
К (efv) = |
е’4 |
kT |
|
|
kT (Д * -!)2 |
4 sin2 |
1 |
(1-128) |
|
|
/ |
|
2 |
|
Геометрическое место |
точек функции К |
|
является |
полу |
прямой, указанной на рис. 1-25, а согласно рассмотренному крите рию система неустойчива.
,Е(п)
А |
|
|
|
|
|
|
1 |
Г“1 |
|
1п |
|
0 |
! |
1 |
!— 1— |
||
1 |
г |
з |
ч- |
5 |
|
|
|
|
__ |
• ‘ |
|
Рис. 1-20.
г (л) »
А
к=1
1 1 Л
1 г з
Рис. 1-21
Пример 1-14. Вернемся |
к импульсной системе, представленной |
на рис. 1-14. Соотношения |
(1-106) позволяют написать: |
К(Р) = |
k( 1—£)) ер |
(1-129) |
(ер — 1)(£Р — D) |
42