книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

т. е.

z2x (0) — 2zx (0) + zx ( 1) — Tzy (0) z 2— 2z -I- 1

(2-82)

Если начальные условия нулевые, то получаем снова уравне­ ние (2-75).

2-7. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

Метод свертки 2-:преобразований позволяет найти ре­ шение класса нелинейных дискретных систем, описывае­ мых нелинейными разностными уравнениями вида

торых допущений с помощью свертки 2-преобразований.

а) ДОПУЩЕНИЯ

1. Состояние равновесия х0 нелинейного разностного уравнения (2-83) определяется из решения уравнения

Г

2. Нелинейная функция F[x(n), ..., х(п + г— 1)] отно­ сительно своих переменных х(п), ..., х(п+г— 1) аналитична в окрестностях точки равновесия (например, поли­ номиальная функция, часто встречаемая при исследова­ нии импульсных систем, содержащих элемент

снасыщением).

3.Точка равновесия асимптотически устойчива в том

смысле, что х(п) стремится к точке равновесия х0, если

п — »-оо.

Главная особенность при решении разностного урав­ нения (2-83) заключается в предположении, что F(z) = = 'Z{x(n)\ — мероморфная функция вида

00

а й0=1.

Задача тогда состоит в нахождении ^-преобразования функций типа Z[f(n + k)1} или Z[f (п+ z) hf (п+ q)1] и т. д.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о свертке ^-преобразований.

б) СВЕРТКА В z-ОБЛАСТИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ

где Г — контур, охватывающий все особенности p~iF(p). Согласно (2-20)

82

бы исключить неизвестные коэффициенты при z~h, доста­ точно приравнять члены с равными степенями z~h. Это

делены. Тогда возможно, учитывая нелинейность и на­ чальные условия, определить условия сходимости отно­ сительно х(п).

Отметим, что, вообще говоря, довольствуются первы­ ми членами разложения, что обусловлено, с одной сто­ роны, большой сложностью расчетов, а с другой сторо­ ны, приближенностью решения разностного уравнения. Возможности метода, теоретически пригодного для ре-

84

шения любых разностных уравнений (2-94), в действи­ тельности ограничены исследованием некоторых нелиней­ ных разностных уравнений первого или второго порядка.

г) ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ

Пример 2-12. [Л. 2-12]. Рассмотрим нелинейное разностное урав­ нение первого порядка

85

В зависимости от величины у(0) у (и) получаем из уравнения (2-102). Однако точное решение получить практически почти невозможно, что

z — 1

Уоо = Iim — ; — У {г) = А = 0 ,5.

г-*1 6

Рассмотрим нелинейную импульсную систему. Метод применим для исследования импульсных систем со сла­ бонелинейными элементами. Он позволяет найти выход­ ной сигнал в дискретные моменты времени как функцию

Рис. 2-10. Нелинейная импульсная система.

любого входного сигнала. Недостатком метода является представление нелинейности в виде разложения в конеч­ ный ряд. Это приводит к линеаризации нелинейностей типа реле. Метод довольно удобен для характеристик типа насыщения. Локальная устойчивость системы сле­ дует из уравнения линеаризованной системы.

Рассмотрим пример, предложенный Джури [Л. 2-16]. Структурная схема представлена на рис. 2-10. Фиксатор нулевого порядка характеризуется тем, что выходной сигнал в промежутках между моментами пТ и (п +1)Г постоянен и равен г(пТ). Передаточная функция фикса­ тора нулевого порядка будет: •

1—е~тР

• >

Р

86

откуда

Рассмотрим случай, когда входной сигнал является единичной ступенчатой функцией, причем линеаризиро­ ванная система описывается уравнением

(z — 1) (г + 1— 2е~г)

при а=1, решение которого получаем при помощи таб­ лицы обратных преобразований:

s(n7')=0,5[l — (—0,264)"] при Т= 1. (2-106)

Линеаризированная система устойчива, если при п— v

— >-оо s(tit)— >-0,5. Полагаем 6 достаточно малым по сравнению с единицей, таким, чтобы нелинейная система была устойчивой, например 6= 0,1. В этом случае по ана­ логии с методом свертки имеем:

Подставляя это уравнение, а также выражение (2-89) в разностное уравнение (2-104), получаем:

(2- 108)

87

предполагаем, что начальные условия пулевые.

Сравним коэффициенты в обеих частях при z(z— I ) - 1,

Уравнения позволяют рассчитать методом последо­ вательных приближений все неизвестные; например, если Ь = 0,1, получаем:

Решение s(tiT) устойчиво, так как при a i< l e~ait — исчезающая во времени функция, и аналогично этому то же происходит и для так как <+ = а*<1. Тогда для нулевых начальных условий из уравнения (2-107) получаем:

88

Сохраняя шесть первых членов s(tiT), Джури пока­ зал на этом примере, что полученный результат близок к точному, полученному вычислением рекуррентного со­ отношения с точностью до третьего знака.

2-8. ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА z-ПРЕОБРАЗ ОБАИИЯ

а) РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ, КОЭФФИЦИЕНТЫ КОТОРЫХ — ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Рассмотрим уравнение

где я — целое число; fi и gi — периодические функции, характеризующие изменения соответствующих перемен­ ных с периодом, равным единице:

fi(t)=U(t + 1);

gi(t)=gi(t+l ) .

Джури и Муллин [Л. 2-17] предложили следующий метод.

Принимаем:

t= n+ p + nr,

89

Согласно уравнению (2-6)

Z [ x { n - \ - i)\ = ziX (г) — X I x (/)

/=о

p

Z \ x ( n p +m)] — zP+1X(z, tn) — '£ix(i, m)zr>+l-i.

/=о

Подставим эти два уравнения в уравнение (2-117). Получаем:

р

Это уравнение позволяет получить Аг(г), и , исполь­ зуя выражение (2-118), можно получить, наконец, выра­ жение для X (z, т). Отыскание оригинала х(п, т) осу­ ществляется просто с помощью обратного модифициро­ ванного 2-преобразования.

б) РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИИ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим уравнение

90