книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

Метод исследования импульсных систем, основанный на ступенчатых функциях и разностных уравнениях, дает информацию о значениях функции f(i) только в момен-

56

ты замыкания импульсного элемента. Чтобы устранить этот недостаток, возможно использовать модифицирован­ ное дискретное преобразование Карсона [Л. 5], описы­ ваемое уравнением

+00

Cm\f(x)] = F*m(p) = p j J f ( x - A T ) e'Pxdx.

— 00

Это преобразование, предложенное С. Венгжином и А. Буковым, аналогично модифицированному z-преоб- разованию Р. Баркера и Э. И. Джури (см. гл. 2) и при­ водит к сложным расчетам. Принимая во внимание, что использование этого метода ограничивается исключи­ тельно линейными импульсными системами, мы не будем более подробно излагать его.

Глава вторая

МЕТОД z-П РЕОБРАЗОВАНИЯ

Метод z-преобразования был создан в 1730 г. Де Муавром [Л. 2-1]. Позже в 1812 г. Лаплас распространил этот метод на теорию вероятностей. Метод z-преобразо­ вания является одним из способов, позволяющим иссле­ довать линейные системы в частотной и временной об­ ластях. Это преобразование может быть использовано для отыскания решения линейного разностного уравне­ ния. Однако, так же как и дискретное преобразование Лапласа или Карсона, применение z-преобразования по­ чти исключительно ограничено линейными системами. Мы ограничимся общим описанием этого метода, цель которого дать необходимые сведения, которые могут быть применены для исследования дискретных нелиней­ ных систем.

2-1. РАЗЛИЧНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА

В большинстве дискретных систем сигнал рассматри­ вается в дискретные моменты времени пТ (п— О, 1, ...), где Т— константа, называемая периодом квантования (регулирования). Исследование таких линейных дискрет­ ных систем может быть произведено с помощью z-пре­ образования [Л. 2-2—2-6] *.

1 См. также работу энциклопедического характера [Л. 2-18], в которой в других терминах дается полное изложение методов, со­ ответствующих дискретному преобразованию Лапласа {Прим. ред.).

57

а) ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Если / ( / ) — непрерывная функция времени и Т— фиксированное положительное число (которое можно принять за единицу), то считают /(/) определенной для /^гО, причем z-преобразование /(/) есть функция ком­ плексной переменной z

Если функция f(t) имеет разрыв при t= a, то f(nT) является правым пределом /(/). Часто используют обо­ значения f(tiT), f.(n), fn. z-преобразование совпадает, следовательно, с преобразованием Карсона квантован­ ной функции при замене етР на z, а свойства, на кото­ рые мы укажем, такие же, как и свойства дискретного преобразования Карсона.

Пример 2-1. г-преобразовапие функции f(t)=t запишется при помощи (2-1) как

00

Г ( г ) = 2 (0 - = Х пТг~п;

п—О

J

Если Т= 1, то следует сравнить это соотношение с выражением

ер

С (х) ~~ ( е р - 1 ) 2 •

б) СВОЙСТВА z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

1. Линейность

При а и й-константах легко доказать, что

58

2. Т е о р е м а с м е щ е н и я

Рассмотрим случай смещения в действительной обла­ сти. Если функция f(t) смещена на величину kT

(рис. 2-1), то

Если функция /(/) смещена на kT (рис. 2-2), то учет того, что f(t + kT)=0 при /< 0, приводит к тому, что вы­ ражение (2-5) запишется как

4. Теоремы о начальных и конечных значениях

Если ^-преобразование функции /(/) будет F(z) и

59

а) ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Если f ( t ) — непрерывная функция времени и Т— фиксированное положительное число (которое можно принять за единицу), то считают /(/) определенной для /^ 0 , причем ^-преобразование f(t) есть функция ком­ плексной переменной г

Если функция f(t) имеет разрыв при t= a, то f(tiT) является правым пределом /(/). Часто используют обо­ значения f(nT), f,(n), fn. г-преобразование совпадает, следовательно, с преобразованием Карсона квантован­ ной функции при замене етР на 2, а свойства, на кото­ рые мы укажем, такие же, как и свойства дискретного преобразования Карсона.

Пример 2-1. г-преобразопапие функции / ( / ) = / запишется при помощи (2-1) как

ос

)

Если Г=1, то следует сравнить это соотношение с выражением

„<?р

С(ер — I)2 ‘

б) СВОЙСТВА г-ПРЕ0БРА30ВАНИЯ

1. Линейность

При а и 6-константах легко доказать, что

Z(af+bg)=aZ(f)+bZ(g). (2-4)

58

2. Т е о р е м а с м е щ е н и я

Рассмотрим случай смещения в действительной обла­ сти. Если функция f(t) смещена на величину kT

(рис. 2-1), то

Если функция /(/) смещена на kT (рис. 2-2), то учет того, что f(t + kT)=0 при К О , приводит к тому, что вы­ ражение (2-5) запишется как

Z[f(t + kT)] = *F(z) - z * f (0) — zk~lf (T) —

При смещении в комплексной области легко дока­ зать, что

Практически метод состоит в замене членов с z на zeaT.

3. Изменение масштаба

Определение 2-преобразования позволяет напи­ сать:

(2-8)

4. Теоремы о начальных и конечных значениях

Если z-преобразование функции /(/) будет F(z) и если предел F (г) при 2— >-оо существует, тогда

59

Таким же образом, если функция (1—z~l)F(z) не имеет полюса, лежащего вне круга единичного радиуса на z-плоскости, имеем:

Z[A*f(n7')] = ( z - l)hF ( z ) - z ' £ ( z - 1)*->~1Д/(07’);

/=о

(2-13) £[V ftf('i7’)] = ( l - z - T ^ z ) . (2-14)

Нетрудно найти при помощи этих формул выраже­ ния:

Эти соотношения будут применены впоследствии для решения линейных уравнений с помощью z-преобразо- ваний.

6. Преобразование суммы

В табл. 2-1 даны г-преобразования различных функций.

7. Теорема комплексной свертки

Пусть F*(p) и G*(p) — преобразования Карсона от f(t) и g(t). На основании теоремы о свертке в ком­ плексной р-области, сформулированной в [Л. 2-7, 2-8], получаем:

60