книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

23

4. Изображение синусоидальной функции

Необходимо вначале найти преобразования двух функций sin рх и cos рх:

Д (sin рх) = sin р(х + 1) —sin fix=

='(cos р— 1) sinpx + sinp cos px;

A(cos px) = co s p(x + 1)—cos px =

= (cos 6— 1)cos px—sin p sin px,

Решая эти два уравнения, получаем:

24

С некоторыми ограничениями на начальные условия доказано, что, зная дискретное преобразование Карсона некоторой функции, можно легко найти разностное уравнение, связывающее значения этой функции для разных моментов квантования.

Достаточно рассматривать ер как оператор сдвига. Преобразо­ вание Карсона дает тогда непоаредственио уравнение с конечными разностями.

Пример 1-2. Преобразование константы будет (1-36): С (а) —а.

Следовательно, если

у(п)=ах(п),

то при С(х) = ( е Р — I ) - 1 разностное уравнение будет:

(е?— \)у=х,

т. е.

у( п+1)—у(п)=х(п).

Справедливость выражения очевидна из рис. 1-5.

1-3. ОБРАТНОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КАРСОНА

Изучение преобразований дискретных функций пока­ зывает, что все эти функции являются функциями ер, а не р. Следовательно, предпочтительнее во время вся­ ких алгебраических выкладок считать в качестве пере­ менной ер, а не р.

25

В пашем распоряжении два метода расчета обратно­ го преобразования Карсона применительно к дискретным функциям: разложение на элементарные дроби и разло­ жение в рядно степеням е*\

а) РАЗЛОЖЕНИЕ НА ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДРОБИ

Метод состоит в разложении выражения на сумму элементарных дробей, в которых е? является перемен­ ной. Тогда с помощью таблицы дискретных 1преобразований Карсона некоторых функций можно найти ориги­ нал. Объясним этот метод на примере.

Пример 1-3. Нужно найти обратное преобразование функции

2(>

б) РАЗЛОЖЕНИЕ в РЯД ПО СТЕПЕНЯМ еР

Метод состоит в разложении в ряд по степеням ер. Наиболее трудная задача состоит в нахождении обрат­ ного преобразования бесконечного ряда в явном виде. Это суммирование составляет вообще трудную задачу, и, исключая отдельные частные случаи, применение ме­ тода затруднено.

Пример 1-4. Нужно найти обратное преобразование функции

1-4. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ

Для решения линейного разностного уравнения мож­ но использовать два метода: прямой метод и метод, ис­ пользующий преобразование Карсона.

27

а) ПРЯМОЙ МЕТОД

Доказано [Л. 1-1], что методы, позволяющие интегри­ ровать линейные уравнения, близки к методам решения линейных разностных уравнений. Например, общее ре­ шение линейного разностного уравнения третьего по­ рядка

f (х + 3) +/?/ (% + 2) + qf (х + 1) + г/ (х )— 0 (1-52)

имеет частные независимые решения: }(х)и /(хД, }(х)з, которые должны удовлетворять неравенству

для линейной комбинации с постоянными коэффициен­ тами.

Например, если р, q, г — постоянные и г ф 0, то корни характеристического уравнения а, р, у получаются из соотношений

/ (х -f- т) — хт;

(1-54)

х 3 рх2+ qx + г = 0.

Условие независимости решения ах, |3Х и ух запишет­ ся так:

1 1 1

Величины а, у — различны, и общее решение сле­ дующее:

28

Схеме рис. 1-10 соответствует разностное уравнение первого по­ рядка. Импульсный элемент К управляется последовательностью импульсов с периодом Т. Напряжение на пластинах конденсатора в предположении а (0 )= 0 для л-го импульса

с — Е (1 — е ~ т^).

Выражение для напряжения на пластинах конденсатора на л-м периоде будет:

y ( « ) = T e r r (ап — ’ );

29

6) МЕТОД, ИСПОЛЬЗУЮЩИМ п р е о б р а з о в а н и е

КАРСОНА

Рассмотрим применение дискретного преобразования Карсона для решения линейного разностного уравнения

в форме дискретного преобразования Карсона с учетом начальных условий; полученное уравнение решается алгебраически так, чтобы получить искомую функцию; с помощью обратного дискретного преобразования Кар­ сона находится решение разностного уравнения.

Заметим, что разностное уравнение может быть запи­ сано двумя различными способами: в обычном виде, если вводить величины f(x), f(x+l ) ■■., или с помощью разностей первого, второго и т. д. порядков f(x), Af(x),

Л В Д . . .

Как правило, эти два способа написания в действи­ тельности эквивалентны, но не одинаково удобны в раз­ ных случаях; первый способ решения быстрее. Важней­ шее преимущество по отношению к классическому мето­ ду решения конечно-разностных уравнений заключается в том, что нет необходимости вводить в рассмотрение произвольные постоянные. Для его использования необ­ ходимо иметь таблицу дискретных преобразований Кар­ сона (см. табл. 1-1).

ePF*(p) — (eP— 1)/(0)—aF*(p)=c.

При начальных условиях /( 0 )= ц вышеприведенное уравнение запишется как

сер —-1

F*{P) ер — а ^ ер — а ’

30

Из табл. 1-1

а* —

Это выражение было уже найдено прямым методом. Для этого примера оба метода тождественны по своей трудоемкости, но для разностных уравнений высшего порядка использование преобразова­ ний Карсона позволяет получить результат быстрее и с минимумом выкладок.

Пример 1-7. Решаем уравнение

1-5. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ

а) ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

По аналогии с решением обыкновенного дифферен­ циального уравнения скажем, что решение линейного разностного уравнения устойчиво, если

Общее решение является линейной комбинацией ча­ стных решений для п корней г, уравнения (1-67):

М

Определим теперь условия устойчивости решения уравнения (1-67).

б) ОБОБЩЕНИЕ КРИТЕРИЯ РАУСА — ГУРВИЦА НА СЛУЧАИ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИИ

Решение уравнения (1-67) устойчиво, если корни г* характеристического уравнения (1-68) по модулю мень­ ше единицы. Это условие

следует из общего выражения (1-69) решения уравнения

( 1- 68) .

Критерий устойчивости, изложенный А. Гурвицем и Е. Дж. Раусом, легко применим для рассматриваемого случая. Достаточно только произвести ^-преобразова­ ние, произведя подстановку

тогда условие устойчивости (1-70) приобретает вид:

Re (гг;,-) <0. (1-72)

Проиллюстрируемвышеизложенное на нескольких примерах.

1. Уравнение первого порядка

Рассмотрим следующее разностное уравнение (нача­ ло координат соответствует точке равновесия):

Корень характеристического уравнения будет

г——а,

аусловие устойчивости запишется как

22