книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

ляемую натуральными числами, можно считать f(n) не­ прерывной функцией п. В таком случае имеем уравнение первой степени с конечными разностями. Для соотноше­ ния вида

ношение является разностным уравнением р-го порядка. Решить рекуррентное соотношение — это значит опре­

Пример 1-1. Для линейного разностного уравнения второго по­ рядка с постоянными коэффициентами

Это уравнение связывает значения f, отстоящие соответственно на один или два интервала. Без потери общности путем простой за­ мены переменных можно перейти к последовательностям первого порядка.

Уравнение (1-10), полностью соответствующее вышеназванным определениям, может быть представлено в другой форме, более ясно иллюстрирующей аналогию с дифференциальным уравнением.

Ьг= яг.

Аналогия между уравнением (1-11) и линейным дифференциаль­ ным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами ясна. Др соответствует dP/dnP. Различие заключается в конечной величине независимой переменной п в разностных уравнениях, стре­ мящейся к нулю в дифференциальном уравнении.

в) ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим вектор F(n), определенный через

f{n)

01

- и

14 «

й через В(п) вектор-столбец

О

В (л )= ;

о

е

Если для данного п функция fp удовлетворяет соот­ ношению (1-2), то F (п) удовлетворяет рекуррентному соотношению

и соответственно уравнение (1-13) называется неодно­ родным уравнением,а уравнение

называется однородным уравнением, соответствующим уравнению (1-13).

1-2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КАРСОНА

где p= a+ jсо — комплексная величина (параметр преоб­ разования).

Выражение (1-15) можно сравнить с классическим преобразованием Карсона

Сходство между этими двумя выражениями очевид­ но [непрерывная переменная t, соответствует дискретной переменной х, и непрерывная функция f (t) — ступенча­ той функции f(x)].

Интеграл, определяемый выражением (1-15), сходит­ ся к конечному пределу, когда р>оо, где сг0 — радиус сходимости.

15

1. Теорема суперпозиции

J Дискретное преобразование Карсона обладает свой­ ством суперпозиции, т. е. преобразование произведения функции на константу можно записать:

то получим:

C{f(x)]=F*(p)=aG*(p)+bH*(p),

16

где

б* (Р) = С [£(.V)]; И* (Р) =С{1г (х)].

2. Теорема смещения

Дискретное преобразование Карсона функции J f(x) обозначается так:

С [(/ (х)] = F* (р) = р J J / (х) e~Pxdx,

О

откуда следует, что

Clf(x + k)]= p Jj(f(x + k)e-p*dx =

О

00

= р ( J f (г)е~р{г~к) dr.

г—к

Считая r = x-\-k, получаем:

Интегрирование от 0 до бесконечности не зависит от обозначения, принятого для переменной. Учитывая это, получаем:

сКссГУоП/иц*3

3.Изображение приращений (разност

C W ( x ) ] = C [ f ( x + l ) - f ( x ) ] = C[f(x+ \)] -

Аналогичным образом докажем, что изображение второй разности будет:

С[Д2Д*)]=(еР— 1 )2F*{p)-f(0) (е*— 1]*—Д/(0) (еР— 1) (1-25)

A /( 0 )= f( l) - f (0 ) .

Таким же образом

С,[Д2/(х) ]= ( е Р - 1)3F* (р) —f (0) [еР— 1Р -

Эта теорема очень полезна при отыскании оригинала, соответствующего произведению изображений.

5.Теорема о конечных и начальных значениях

Применение выражения (1-24) позволяет показать,

)

18

и

уравнений (1-3) и (1-23):

Af ( * ) = / ( * + ! ) —f(x);

C [ A f ( x ) l = ( e P - l ) [ F * ( p ) - f m

Рассмотрим несколько примеров. Используем при этом табл. 1-1, в которой приведены преобразования

Найдем С (а), где а — действительная величина,

f(x)=a и A f{x )= a —а = 0.

Применив уравнение (1-23), получим:

(еР— 1)С (а)—а(еР— 1) = 0 ,

С (а)=а. (1-36)

2.Изображение равномерно нарастающей функции

Пусть f(x) — х (рис. 1-5),

А(х) = х + 1—х = 1.

Согласно уравнению (1-36) (п = 1 )

(ер— l)C (x) = 1,

откуда

0-37)

Таким же образом можно показать, что если f(x) — =х?, то

Д (*2) = (х + 1) 2 _ Х2= 2х + 1;

С(х2)= 2 С ( х )+ С (1 ),

20

и с помощью вышенайденных результатов

Аналогичным способом показывается, что

3. Изображение экспоненциальной нарастающей функции

Найдем преобразование \{x)— dx, где d — действи­ тельная величина. Если d= 0, то мы получаем преоб­ разование Лапласа (рис. 1-6) от единичной ступенчатой функции

A (dx) = dx+l—dx(d— 1) dx.

Отметим, что разность Ad* имеет тот же характер, что и функция d* (так же, как и для непрерывной экс­ поненциально-показательной функции):

С [Adx]= (d— l)C{d*];

(er>— 1) С [dx]—eP+1 = (d— 1) С (dx) ,

откуда

21

Таблица 1-1

Дискретные преобразования Карсона

22