книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

сумма последовательности абсолютных значений, если

^ < 1 —r|/i|.

З а м е ч а н и е . Условия (7-47) и (7-54) не являются достаточ­ ными, обеспечивающими асимптотическую устойчивость. Необходимо

Если принять r=m, то устанавливается эквивалентность усло­ вий (7-46) и (7-54). Наибольшая область начальных условий опре­

б) СИСТЕМА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Можно также установить закон постепенного убыва­ ния решений системы двух разностных уравнений перво­ го порядка и отыскать область начальных условий, для которой этот закон удовлетворяется. С. Мира [Л. 7-8] рассматривает систему

где величины а.ц являются функциями х(п), у(п) и я. Предположим, что для конечного я для данных на­

231

f

Наложим на коэффициенты а^- условия

и отыщем неравенства, связывающие переменные х(п),

*/(«)•

Уравнения (7-58) позволяют записать:

откуда

\х{п+\) |+ \у{п+\) |<f|an| + |a2i|J|Jc(n) |+

Соотношения (7-59) позволяют найти область началь­ ных условий в дискретной фазовой плоскости х(п), у(п), гарантирующую требование, чтобы изменение перемен­ ных происходило бы по (7-62).

Таким образом, мы получаем фиксированную после­ довательность кривых, ограничивающих область, для ко­

Ф. Лоран {Л. 7-9] обобщил вышеописанный критерий на случай нелинейных систем, описываемых разностным матричным уравнением. Однако, сославшись на соответ­

232

Эти неравенства можно было бы очень легко дока­ зать прямым способом.

2. Конечно-разностное уравнение второго порядка

накладывает на а ограничение

— га > 1

100 г >

Неравенство (7-66) может быть изображено в плоскости коэф­ фициентов (рис. 7-5). На рис. 7-5 производится сравнение областей устойчивости для линейного и нелинейного уравнений.

Области устойчиЬости

линейной системеI Область устойчибости ' начальны х услобий

Области -1

асимптотичес­ кой устойчивости нелинейной системы

Iх on-ej<~ jfxa+/j+l XocjJ

Рис. 7-5.

Условия (7-54) запишутся:

Соответствующие области асимптотической устойчивости изобра­ жены на рис. 7-5.

Пример 7-6 [Л. 7-7]. Обратимся снова к уже исследованной не­ линейной системе (рис. 7-6). Соотношения между входными и вы­ ходными сигналами различных элементов

233

f

Примем k0= fe,£2, D — e г/г'< 1 , s = 0.

Уравнение в конечных разностях, описывающее систему, будет:

234

ограничены, но и не полностью решают поставленную задачу. При каждом конкретном использовании их в соответствии с изложенными работами следует искать область начальных условий, наиболее соот­ ветствующую решаемой задаче.

Интересно отметить, что вышеприведенные условия всегда более жестки, чем условия асимптотической устойчивости. С другой сторо­ ны, чем меньше требуемая длительность переходного процесса аТ, тем меньше должна быть область, внутри которой должны нахо­ диться коэффициенты нелинейного уравнения, что легко объяснимо..

7-4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ КОЛЕБАНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

За последние годы отмечаются большие успехи в обла­ сти исследований нелинейных импульсных систем, при­ чем работы ведутся главным образом в направлении исследования устойчивости.

Вопросы, связанные с рассмотрением предельных ко­ лебаний, носят совершенно иной характер; ниже будет сделана попытка сделать их краткий обзор без подроб­ ного рассмотрения доказательств предложенных крите­ риев, (для более подробного знакомства с ними даются ссылки на литературу). Вопреки тому, что в настоящее’ время многие авторы заинтересовались задачей исследо­ вания периодических или почти периодических колеба­ ний в системах с различными нелинейностями, в боль­ шинстве случаев в нелинейной импульсной системе су­ ществует непериодическое неустойчивое колебание (либо; колебание с бесконечным периодом).

Теоретическое исследование таких колебаний из-за их: непериодичности весьма затруднено, и, как нам известно,, этому вопросу посвящено небольшое число публика­ ций.

а) ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЕ

А. Халанай (Л. 7-10] получил некоторые результаты: по установлению существования периодических и квазипериодических решений систем конечно-разностных урав­ нений. Мы остановимся на основных идеях этих работ.

235-

г

Легко показать, что решение задачи о существовании периодических решений системы (7-82) эквивалентно решению задачи о существовании периодических реше­ ний для уравнения (7-84).

Пусть

F(0, га) — Gj(ra); F(X, ra)-F(0, га) = ==pF1i[X(n)]. (7-87)

Система (7-82) запишется в этом случае как

X ( n + l ) = A ( n ) X ( n ) + G l(n) +

(7-89)

Если

га—1

Ф («) = Ц G (га, гаг) (гаг), т=0

236

где Ф (п) — периодическое решение системы

то уравнение (7-84) приводится к виду

N -1

Х(я) = ф (я) + |Л£ Q (я, т) F, [X (яг), т\. (7-91) т=0

Решение строится в виде постепенно сходящейся по­

Теорема 1. Рассмотрим систему

X (п+ 1) = A (n) X (п) + Gi (п) + pFijX (п) , п],

где A, Gi, Ft — периодические функции с периодом N. Если система

Х (п + 1 )= А (п )Х («)

не имеет никаких других периодических решений с пе­

(7-82), функция F(X, п] непрерывна относительно X и если

|Р[Х, Я Ц < Н | Х | ) ; ^ < ^ Г .

где М — константа, определяемая только лишь системой (7-88), то в системе (7-82) возможно периодическое ре­ шение с периодом N.

В этой теореме предполагается, что в системе (7-82) не существует никакого другого периодического решения с периодом N, кроме нулевого.

2 3 7

матрицы которой А и А-1, вектор F — квазипериодические функции.

Если нулевое решение системы

Х («+ 1) = А (п )Х (п )

является равномерно асимптотически устойчивым, то си­ стема (7-93) допускает квазипериодическое решение, равномерно асимптотически устойчивое и удовлетворяю­ щее ограничению вида

Теорема 4. Исследуем систему

где Х0 и Х( — периодические функции п с периодом N. Предположим, что для е= 0 в системе возможно пе­ риодическое решение Х0(я), которое является равномер­ но асимптотически устойчивым. Тогда для достаточно малого |е| система, возможно, имеет периодическое ре­

шен:-! з, которое при е— й) стремится к Х0(я). Теорема 5. Рассмотрим систему

Х(п + 1) — А(п)Х(п) + eX i[п, Х(я), п]; е>0 (7-96)

и предположим, что А, А-1 и Xt — квазипериодические функции относительно п, и что система

допускает все квазипериодические решения.

Пусть Х(п, 0) — матрица решений системы (7-97) при Х(0, 0) = Е и

Z[п, Х(п), е]=

238

квазипериодическое решение, которое для г— Я) стремит­ ся к решению Х(п, 0)г0:

Х(п) = Х(«, O)z(n).

Уравнение (7-96) запишется тогда так:

z(n+ 1) = z(n ) +eZ[n, z(n), е].

З а м е ч а н и е . Доказательство этих теорем очень сложно и гро­ моздко. Кроме того, отметим, что эти теоремы позволяют судить лишь о существовании периодических и квазипериодических решений систем конечгго-разностных уравнений; периодическое решение не может быть получено только лишь приближенным образом.

б) ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ СИММЕТРИЧНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИИ

Я. 3. Цыпкин [Л. 7-11] предложил метод для опреде­ ления симметричных периодических решений нелинейно­ го разностного уравнения и исследовал их устойчивость.

1. Определение колебаний

Для того чтобы получить периодические решения основной частоты для уравнения с конечными разностя­ ми, необходимо произвести трудоемкие вычисления. По­ этому Цыпкин предлагает приближенный метод, пригод­ ный, когда частота колебаний по крайней мере в 3 раза ниже, чем частота импульсного элемента.

Рассмотрим нелинейное уравнение с конечными раз­ ностями вида

1=П i=0

у[п)=<Цх(п)1 (7-101)

где Ф(х) — симметричная нелинейная функция и m>m'. Отыщем симметричные периодические решения х(п)

с частотой co = it/lV (где N — половина периода колеба­ ний, N — целое).

С физической точки зрения можно доказать, что эти решения могут быть представлены разложением в ряд Фурье

239

Значения а\—a^exp (jcpk) — искомые комплексные амплитуды. Первый индекс указывает, что суммирование производится лишь по нечетным значениям, и

N — 1, если N четное;

Ni — N, если N нечетное.

Если х(п) — периодическая функция, то у(п) будет периодической и сможет быть записана в виде полинома Фурье

^k = N t

N1

i=0

Подставляя (7-102) и (7-103) в уравнение (7-101) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему алгебраических уравнений, опреде­ ляющих желаемые комплексные амплитуды:

2 4 0